MagistrskodeloMentorica:prof.dr.MarjetkaKnezLjubljana,2022 DPH-KRIVULJEINPOLINOMSKEVIJAƒNICE UNIVERZAVLJUBLJANIFAKULTETAZAMATEMATIKOINFIZIKOPedago²kamatematikaSimonBesednjak

UNIVERZA V LJUBLJANI

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Pedago²ka matematika

Simon Besednjak

DPH-KRIVULJE IN POLINOMSKE VIJAƒNICE

Magistrsko delo

Mentorica: prof. dr. Marjetka Knez

Ljubljana, 2022

Zahvala

Zahvaljujem se mentorici prof. dr. Marjetki Knez za strokovno vodenje, svetovanje, podporo in £as pri izdelavi zaklju£nega magistrskega dela.

Zahvala gre tudi moji druºini, ki me je med ²tudijem nan£no in moralno podpirala, ter prijateljem, ki so mi stali ob strani.

Kazalo

Program dela ix

1 Uvod 1

2 Osnovni pojmi in uvodne denicije 3

2.1 Prostorske krivulje . . . 3

2.1.1 Osnovne lastnosti . . . 3

2.1.2 Lo£na dolºina in tangenta na krivuljo . . . 3

2.1.3 Ukrivljenost in Frenetovo ogrodje . . . 4

2.2 Bézierjeve krivulje in Bernsteinovi polinomi . . . 6

2.3 Kvaternioni . . . 8

3 Krivulje s pitagorejskim hodografom 11 3.1 Denicije . . . 11

3.2 Lastnosti PH-krivulj . . . 13

3.3 Izraºanje prostorskih PH-krivulj v kvaternionski obliki . . . 18

3.4 Izraºanje prostorskih PH-krivulj s Hopfovo preslikavo . . . 19

3.4.1 Pretvorba med predstavitvama . . . 20

4 DPH-krivulje 21 4.1 DPH-krivulje in vija£nice . . . 22

4.2 Kvaternionska predstavitev DPH-krivulj . . . 24

4.3 Predstavitev DPH-krivulj s Hopfovo preslikavo . . . 26

5 Klasikacija DPH-krivulj nizkih stopenj 29 5.1 DPH-krivulje stopnje 3 in 5 . . . 29

5.1.1 Primerst(h) = 0 in st(w) = 1 . . . 30

5.1.2 Primerst(h) = 2 in st(w) = 0 . . . 30

5.2 DPH-krivulje stopnje 7 . . . 30

5.2.1 Primerst(h) = 0 in st(w) = 2 . . . 31

5.2.2 Primerst(h) = 2 in st(w) = 1 . . . 32

5.2.3 Primerst(h) = 4 in st(w) = 0 . . . 33

6 Polinomske vija£nice in Hopfova preslikava 34 6.1 Kompleksne premice in kroºnice . . . 36

6.2 Polinomske vija£ne krivulje stopnje 3 in 5 . . . 38

6.2.1 Polinomske vija£ne krivulje stopnje 3 . . . 38

6.2.2 Polinomske vija£ne krivulje stopnje 5 kvadrati£na reparame- trizacija . . . 38

6.2.3 Polinomske vija£ne krivulje stopnje 5 mnoºenje z linearnim polinomom . . . 39

6.3 Polinomske vija£ne krivulje stopnje 7 . . . 41

6.3.1 Kubi£na reparametrizacija . . . 41

6.3.2 Mnoºenje s kvadrati£nim polinomom . . . 42

6.3.3 Reparametrizacija in multiplikacija . . . 43 6.4 Polinomske vija£ne krivulje vi²jih stopenj . . . 44

7 Nevija£ne DPH-krivulje 46

7.1 Primer st(h) = 0 inst(w) = 2 . . . 49 7.2 Primer st(h) = 2 inst(w) = 1 . . . 50 7.3 Primer st(h) = 4 inst(w) = 0 . . . 52

8 Izra£unani primeri 54

9 Hermitova interpolacija z DPH-krivuljami stopnje 5 69

10 Zaklju£ek 75

Literatura 77

Kazalo slik

1 Primer preproste vija£nice . . . 16

2 Os vija£nice v primerjavi z enotsko tangento, normalo in binormalo . 17 3 Primer vija£ne krivulje, pridobljene s postopkom kubi£ne reparame- trizacije . . . 56

4 Primer vija£ne krivulje, pridobljene s postopkom mnoºenja z linear- nim polinomom . . . 57

5 Primer vija£ne krivulje, pridobljene s postopkom reparametrizacije in multiplikacije . . . 59

6 Primer vija£ne krivulje (st(h) = 0, st(w) = 2) . . . 60

7 Primer nevija£ne krivulje (st(h) = 0, st(w) = 2) . . . 62

8 Primer vija£ne krivulje (st(h) = 2, st(w) = 1) . . . 63

9 Primer nevija£ne krivulje (st(h) = 2, st(w) = 1) . . . 65

10 Primer vija£ne krivulje (st(h) = 4, st(w) = 0) . . . 66

11 Primer nevija£ne krivulje (st(h) = 4, st(w) = 0) . . . 68

12 Interpolacijske DPH-krivulje . . . 74

Program dela

Pomemben razred parametri£no podanih krivulj v ra£unalni²ko podprtem geometrij- skem oblikovanju predstavljajo krivulje s pitagorejskim hodografom (PH-krivulje).

Karakterizirane so z lastnostjo, da je njihovo vektorsko polje enotskih tangent ra- cionalno. Prostorske PH-krivulje, pri katerih je celotno Frenetovo ogrodje podano racionalno, pa imenujemo DPH-krivulje. V magistrskem delu opi²ite moºne kon- strukcije DPH-krivulj, razi²£ite njihovo povezavo s polinomskimi vija£nicami ter obravnavajte Hermitov interpolacijski problem z uporabo DPH-krivulj stopnje pet.

Izpeljane teoreti£ne rezultate ponazorite z numeri£nimi primeri.

Osnovna literatura

[7] R. T. Farouki, C. Giannelli in A. Sestini, Helical polynomial curves and double Pythagorean hodographs I. Quaternion and Hopf map representations, J. Symb.

Comput. 44(2) (2009) 161179.

[8] R. T. Farouki, C. Giannelli in A. Sestini, Helical polynomial curves and do- uble Pythagorean hodographs II. Enumeration of low-degree curves, J. Symb.

Comput. 44(4) (2009) 307332.

[5] R. T. Farouki, Pythagorean-hodograph curves: algebra and geometry insepara- ble, Geometry and Computing 1, Springer, Berlin, 2008.

Podpis mentorice:

DPH-krivulje in polinomske vija£nice Povzetek

V magistrskem delu se ukvarjamo s krivuljami s pitagorejskim hodografom, po- linomskimi vija£nicami ter DPH-krivuljami. Na za£etku se bomo seznanili z osnov- nimi lastnostmi parametri£no podanih prostorskih krivulj, Bézierjevimi krivuljami, Bernsteinovimi polinomi ter vektorskim prostorom kvaternionov. Nadaljevali bomo z obravnavo krivulj s pitagorejskim hodografom, spoznali nekaj lastnosti teh krivulj in jih izrazili s pomo£jo kvaternionov ter Hopfove preslikave. Vpeljali bomo pojem polinomskih DPH-krivulj in klasicirali razli£ne tipe teh krivulj pri nizkih stopnjah.

Raziskali bomo povezavo teh krivulj z vija£nimi krivuljami, ki imajo polinomsko pa- rametrizacijo, in si ogledali razli£ne postopke, s katerimi lahko konstruiramo razli£ne tipe DPH-krivulj. Ogledali si bomo ²e pogoje za obstoj nevija£nih DPH-krivulj ter podali nekaj primerov. Za konec bo sledilo ²e poglavje o Hermitovi interpolaciji z vija£nimi DPH-krivuljami stopnje 5.

DPH curves and helical polynomial curves Abstract

The topic of the master thesis is a subclass of Pythagorean-hodograph curves, named DPH curves, and their relationship with helical polynomial curves. At the beginning, we will get acquainted with the basic properties of parametric spatial curves, Bézier curves, Bernstein polynomials and vector space of quaternions. We will continue with the discussion on Pythagorean-hodograph curves, learn some of the properties of these curves and how to represent them using quaternion and Hopf map form. The concept of polynomial DPH curves will be introduced and classica- tion of dierent types of these curves at low degrees will be given. We will investigate the similarities between DPH curves and helical curves that have polynomial para- metrization and describe various procedures by which we can construct dierent types of DPH curves. The conditions for the existence of non-helical DPH curves and some examples will be given. Finally, there will be a chapter on the Hermite interpolation by helical DPH curves of degree 5.

Math. Subj. Class. (2020): 65D17

Klju£ne besede: parametri£na krivulja, Frenetovo ogrodje, ukrivljenost, Bézier- jeva krivulja, kvaternioni, Hopfova preslikava, PH-krivulja, DPH-krivulja, Hermi- tova interpolacija

Keywords: parametric curve, Frenet frame, curvature, Bézier curve, quaternions, Hopf map, PH curve, DPH curve, Hermite interpolation

1 Uvod

Ra£unalni²ko podprto geometrijsko oblikovanje (angl. Computer aided geometric design ali kraj²e CAGD) je matemati£no podro£je, ki preu£uje razli£ne ra£unalni²ke in matemati£ne metode za opis geometrijskih oblik. Osnovno orodje predstavljajo parametri£no podane krivulje in ploskve, ki se jih uporablja v ra£unalni²ki graki in animaciji, vizualizaciji podatkov, numeri£ni aproksimaciji in podobno. To podro£je se je za£elo razvijati v 50. letih 20. stoletja, ko se je z razvojem ra£unalnikov pojavila potreba po £im bolj enostavnem in natan£nem ra£unanju omenjenih geometrijskih oblik za uporabo v na£rtovanju in proizvodnji. Poseben razred krivulj, ki imajo pomembno vlogo v CAGD, so krivulje s pitagorejskim hodografom. Ta razred krivulj sta leta 1990 denirala matematika Farouki in Sakkalis [9]. Zaradi svojih lastnosti imajo ²iroko uporabo pri numeri£nem krmiljenju v CNC-strojih, pri na£rtovanju poti, pri izdelavi animacij in na podobnih podro£jih.

Prostorske krivulje s pitagorejskim hodografom imajo racionalno parametrizirano enotsko tangento in torzijsko ukrivljenost, vendar v splo²nem nimajo racionalno parametriziranih izrazov za eksijsko ukrivljenost, za enotsko normalo in enotsko binormalo. Zato se je uvedel pojem DPH-krivulj. Te krivulje imajo racionalno parametrizirano Frenetovo ogrodje ter obe ukrivljenosti, tako torzijsko kot tudi e- ksijsko. Izkaºe se, da so te krivulje globoko povezane z vija£nimi polinomskimi krivuljami.

V magistrskem delu bomo obravnavali naslednja poglavja:

ˆ V drugem poglavju bomo spoznali osnovne pojme, ki jih bomo potrebovali v naslednjih razdelkih. To so parametri£no podane prostorske krivulje, ukri- vljenost in Frenetovo ogrodje. Seznanili se bomo s Bézierjevimi krivuljami, Bernsteinovimi polinomi ter z vektorskim prostorom kvaternionov.

ˆ V tretjem poglavju bo sledila obravnava krivulj s pitagorejskim hodografom.

Ogledali si bomo denicijo in nekaj lastnosti, spoznali pa bomo tudi, kako jih izraºamo s pomo£jo kvaternionov in s Hopfovo preslikavo.

ˆ V £etrtem poglavju bomo uvedli pojem DPH-krivulj. Ogledali si bomo, kako so povezane s polinomskimi vija£nimi krivuljami, ter spoznali, kako jih laºje obravnavati s pomo£jo kvaternionov ali Hopfove preslikave.

ˆ V petem poglavju bo sledila klasikacija DPH-krivulj nizkih stopenj. Ugotovili bomo, kateri so algebrai£ni pogoji za obstoj teh krivulj do vklju£no stopnje 7.

ˆ V ²estem poglavju bomo podrobneje spoznali, kako konstruirati polinomske vija£ne krivulje s pomo£jo Hopfove preslikave. Ogledali si bomo razli£ne po- stopke konstrukcij, ki nam bodo dali razli£ne tipe polinomskih vija£nih krivulj.

ˆ V sedmem poglavju bo sledila obravnava pogojev za obstoj in konstrukcijo nevija£nih DPH-krivulj stopnje 7.

ˆ V osmem poglavju bomo uporabili predstavljene teoreti£ne izsledke na izra£u- nanih primerih ter videli kvalitativne razlike v postopkih konstrukcij razli£nih tipov DPH-krivulj in polinomskih vija£nih krivulj.

ˆ Za konec bomo v devetem poglavju obravnavali ²e problem interpolacije dveh to£k in pripadajo£ih tangent z DPH-krivuljami stopnje 5.

2 Osnovni pojmi in uvodne denicije

2.1 Prostorske krivulje

2.1.1 Osnovne lastnosti

Krivulje v prostoru si lahko predstavljamo kot tirnice, po katerih potuje to£ka v gibanju. Najlaºje jih podamo v parametri£ni obliki

r:I →R³, I ⊆R, r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈I,

kjer sox, y inz obi£ajne skalarne funkcije parametra t. Ve£ razli£nih parametrizacij lahko opisuje isto krivuljo. V nadaljevanju bomo predpostavili, da so x, y in z vsaj dvakrat zvezno odvedljive funkcije. Odvod krivulje r dobimo tako, da krivuljo odvajamo po komponentah:

r^′ :I →R³, r^′(t) = (x^′(t), y^′(t), z^′(t)), t ∈I.

Vektorsko polje, ki ga pri tem dobimo, imenujemo tudi hodograf krivulje r. Ve£ o parametri£no podanih krivuljah si lahko bralec prebere v [14].

2.1.2 Lo£na dolºina in tangenta na krivuljo

Pravimo, da je krivuljarregularna, £e je zvezno odvedljiva in je njen odvodr^′(t)̸=0 za vse vrednosti t ∈ I. Od sedaj naprej bomo privzeli, da je krivulja regularna.

Odvod regularne krivulje pa lahko zapi²emo tudi v malce druga£ni obliki

r^′(t) =σ(t)t(t), (2.1)

kjer je σ funkcija, ki slika z za£etne domene I v R, σ(t) = ∥r^′(t)∥=√︁

x^′2(t) +y^′2(t) +z^′2(t), (2.2) in predstavlja lo£no dolºino krivulje v odvisnosti od parametrat, stpa je ozna£eno enotsko tangentsko vektorsko polje na krivuljor,izra£unano pri parametru t,

t(t) = r^′(t)

∥r^′(t)∥ = r^′(t)

σ(t). (2.3)

S pomo£jo funkcije σ lahko izrazimo tudi dolºino loka krivulje. ƒe je I = [a, b], potem je lo£na dolºina enaka

∫︂ b a

√︁x^′2(t) +y^′2(t) +z^′2(t)dt =

∫︂ b a

∥r^′(t)∥dt=

∫︂ b a

σ(t)dt. (2.4)

Na intervalu I = [a, b] lahko dolºino loka od to£ke a do t izrazimo tudi kot funkcijo parametra t:

s=s(t) =

∫︂ t a

σ(ξ)dξ. (2.5)

ƒe je krivulja r regularna, je po osnovnem izreku analize funkcija (2.5) zvezno od- vedljiva in povsod razli£na od ni£:

ds

dt =σ(t) =∥r^′(t)∥.

Torej lahko vzamemos=s(t)kot nov parameter naI.Taki parametrizaciji pravimo naravna parametrizacija krivulje r. Ozna£imo ρ(s) = r(t(s)). Izra£unamo odvod krivulje po parametru s:

dρ

ds =r^′(t(s))dt(s)

ds = r^′(t(s))

ds dt

= r^′(t(s))

∥r^′(t(s))∥.

Dobili smo enotski tangenti vektor (2.3), kar pomeni, da je dolºina ∥ρ^′(s)∥ vedno enaka 1. Druga£e povedano: parametri£na hitrost pri naravni parametrizaciji je identi£no enaka 1. Ve£ o naravni parametrizaciji si lahko bralec prebere v [12, str.

51].

2.1.3 Ukrivljenost in Frenetovo ogrodje

Sedaj bomo uvedli dve novi enotski vektorski polji, ki bosta skupaj z enotsko tan- gento v vsaki to£ki na krivulji tvorili ortonormirano bazo za prostor R³.V nadalje- vanju bomo ponekod v ena£bah in izpeljavah zaradi preglednosti izpustili parameter t.

Ker je t enotsko tangento polje, vedno velja t· t = ∥t∥² = 1. ƒe to ena£bo odvajamo, dobimo, da je t^′ ·t = 0, kar pomeni, da je t^′ pravokoten na t pri vsa- kem parametru t. Torej lahko (implicitno) deniramo enotsko vektorsko poljep na naslednji na£in: odvod enotske tangente je enak

t^′(t) = σ(t)κ(t)p(t), (2.6)

kjer je t ↦→ κ(t) nenegativna funkcija parametra t. Tako ima vektorsko polje p isto smer kot t^′. Prav tako je p pravokoten na enotsko tangento t. Da bi lahko p eksplicitno izrazili, si s pomo£jo ena£be (2.1) oglejmo drugi odvod krivulje r:

r^′′(t) =σ^′(t)t(t) +σ(t)t^′(t). (2.7) Iz (2.1) in zgornje ena£be sledi naslednja enakost:

r^′(t)×r^′′(t) =σ³(t)κ(t)t(t)×p(t). (2.8) Ker je p denirano kot enotsko vektorsko polje, ki je ortogonalno nat, je potem

κ(t) = ∥r^′(t)×r^′′(t)∥

σ³(t) = ∥r^′(t)×r^′′(t)∥

∥r^′(t)∥³ . (2.9)

To lahko naredimo, saj smo predpostavili, da je κ(t)nenegativna funkcija. Sedaj si oglejmo, £emu je enaka naslednja koli£ina:

r^′×r^′′

∥r^′×r^′′∥ ×t= 1

∥r^′×r^′′∥ (︃

σ³∥r^′×r^′′∥ σ³ t×p

)︃

×t

= (t×p)×t

=−(t·p)t+ (t·t)p (2.10)

=p.

Koli£ini p pravimo normala ali glavna normala na krivuljo r, koli£ini κ pa eksij- ska ukrivljenost krivulje r. Enostavno se da preveriti, da je eksijska ukrivljenost neodvisna od izbire parametrizacije krivulje. Denirali smo ºe enotsko tangento in enotsko normalo. Najti moramo ²e eno enotsko vektorsko polje, ki je ortogonalno na obe prej²nji. To lahko naredimo direktno z vektorskim produktom

b=t×p= r^′×r^′′

∥r^′×r^′′∥. (2.11)

Tej koli£ini pravimo binormala krivulje r.Vektorska polja t,p,b na vsaki to£ki kri- vuljertvorijo ortonormirano bazo prostoraR³.To trojico imenujemo tudi Frenetovo ogrodje. ƒe je binormala nek konstanten vektor za vsak parameter t (z dolºino 1), sledi, da vektorski polji t in p leºita v isti ravnini, kar pomeni, da celotna krivulja r leºi v tej isti ravnini.

Recimo, da velja b^′ ̸= 0. To pomeni, da imamo opravka s pravo prostorsko krivuljo. ƒe odvajamo ena£bo (2.11) in uporabimo (2.6), dobimo, da je odvod binormale enak b^′ = t×p^′. Ker ima za vsak parameter t vektor p dolºino 1, sta potem vektorski polji p in p^′ ortogonalni (to lahko takoj preverimo z odvajanjem skalarnega produkta vektorskega poljap s samim seboj). Torej se da izraziti p^′ zb int, kar pa pomeni, da se da b^′ izraziti z t×b:

b^′(t) = σ(t)τ(t)t(t)×b(t) = −σ(t)τ(t)p(t). (2.12) Funkciji t ↦→ τ(t) pravimo torzijska ukrivljenost krivulje r. Da se dokopljemo do njenega eksplicitnega zapisa, najprej preuredimo in odvajamo ena£bo (2.8):

(r^′×r^′′)^′ = (σ³κb)^′

r^′×r^′′′ = 3σ²σ^′κb+σ³κ^′b+σ³κb^′

=−σ⁴κτp+σ²(3σ^′κ+σκ^′)b.

V zadnjem koraku smo upo²tevali vrednost koli£ineb^′.ƒe vrednostr^′×r^′′′ skalarno pomnoºimo z r^′′, dobimo

(r^′×r^′′′)·r^′′ =−σ⁶κ²τ. (2.13) Pri tem smo upo²tevali (2.7), (2.6) in ortonormiranost Frenetovega ogrodja. ƒe zamenjamo vrstni red v me²anem produktu v zgornji ena£bi in upo²tevamo (2.9), vidimo, da je torzijska ukrivljenost enaka

τ(t) =

(︁r^′(t)×r^′′(t))︁

·r^′′′(t)

∥r^′(t)×r^′′(t)∥² . (2.14) Vidimo torej, da je torzijska ukrivljenost krivulje neni£elna natanko takrat, ko so r^′, r^′′ inr^′′′ linearno neodvisni, kar je ravno takrat, ko je krivulja res prostorska.

Poskusimo sedaj izraziti ²e odvod glavne normale. Najprej iz formul (2.10) in (2.11) opazimo, da veljap =b×t. Sedaj odvajamo

p^′ = (b×t)^′

=b^′×t+b×t^′

= (−στp)×t+b×(σκp)

=−σκt+στb.

Pri ra£unanju smo uporabili formuli (2.6) in (2.12) za odvod enotske tangente in odvod binormale. Vse te tri formule lahko kompaktneje zapi²emo v matri£ni obliki

⎡

⎣ t^′ p^′ b^′

⎤

⎦=σ

⎡

⎣

0 κ 0

−κ 0 τ 0 −τ 0

⎤

⎦

⎡

⎣ t p b

⎤

⎦. (2.15)

ƒe je krivulja r podana v naravni parametrizaciji, vemo, da je njena parametri£na hitrost identi£no enaka 1: σ ≡ 1. Zato se v naravni parametrizaciji te formule izraºajo takole:

⎡

⎣ t^′ p^′ b^′

⎤

⎦=

⎡

⎣

0 κ 0

−κ 0 τ 0 −τ 0

⎤

⎦

⎡

⎣ t p b

⎤

⎦. (2.16)

Tem formulam pravimo tudi Frenetove formule.

2.2 Bézierjeve krivulje in Bernsteinovi polinomi

Krivulje, podane s polinomsko ali racionalno parametrizacijo, se v ra£unalni²ko pod- prtem geometrijskem oblikovanju na ²iroko uporabljajo, saj nam omogo£ajo u£in- kovitej²e ra£unanje. Take krivulje bomo kraj²e imenovali polinomske ali racionalne krivulje. Eden izmed najpomembnej²ih tipov teh krivulj so Bézierjeve krivulje. Spo- mnili se bomo, kako pridemo do njih preko Bernsteinovih polinomov ter si ogledali nekaj lastnosti [3, str. 75].

Splo²na Bézierjeva krivulja stopnje n v R^d je podana s parametrizacijo

r: [0,1]→R^d, r(t) =

n

∑︂

i=0

b_iB_iⁿ(t), (2.17)

kjer so

Bⁿ_i(t) = (︃n

i )︃

(1−t)ⁿ⁻ⁱtⁱ (2.18)

Bernsteinovi bazni polinomi stopnje n z binomskimi koecienti (︃n

i )︃

= n!

(n−i)!i! za 0≤i≤n in (︃n

i )︃

= 0 za i > n, i <0.

To£ke b_i ∈ R^d imenujemo kontrolne to£ke. ƒe jih poveºemo z daljicami, dobimo kontrolni poligon Bézierjeve krivulje. V tem magistrskem delu se bomo ukvarjali s krivuljami v R³.

Na²tejmo sedaj nekaj najpomembnej²ih lastnosti Bézierjevih krivulj.

ˆ Vsaka Bézierjeva krivulja interpolira za£etno in kon£no kontrolno to£ko: r(0) = b₀ inr(1) =b_n.

ˆ Simetri£nost: Kontrolni poligon b₀, . . . ,b_n in kontrolni poligon b_n, . . . ,b₀, kjer si to£ke sledijo v obratnem vrstnem redu, opisujeta isto krivuljo.

ˆ Ana invarianca: ƒe z ano preslikavo Φpreslikamo kontrolni poligon in tako pridobimo novo krivuljo (denirano na preslikanem kontrolnem poligonu), je to natanko ista krivulja, kot £e bi za£etno krivuljo preslikali s preslikavoΦ:

n

∑︂

i=0

Φ(b_i)B_iⁿ(t) = Φ (︄ _n

∑︂

i=0

b_iBⁿ_i(t) )︄

.

ˆ Konveksna ovojnica: Za vsak t ∈ [0,1] leºi to£ka r(t) v konveksni ovojnici kontrolnega poligona.

ˆ Reparametrizacija: ’e posebej pri interpolaciji krivulj pride prav, £e imamo podan t. i. globalni parameter u ∈ [a, b]. Potem lahko izrazimo lokalni para- meter t ∈ [0,1] s transformacijo t = (u−a)/(b−a) in tako krivuljo (2.17) reparametriziramo na interval [a, b].

To£ke na Bézierjevih krivuljah ponavadi ra£unamo z de Casteljaujevim algoritmom, o katerem si lahko zainteresirani bralec ve£ prebere v [3, str. 80]. Zanimal nas bo tudi odvod ali hodograf Bézierjeve krivulje. Dolo£imo ga na naslednji na£in:

dr(t)

dt =r^′(t) =n

n−1

∑︂

i=0

∆b_iB_iⁿ⁻¹(t), (2.19) kjer je ∆b_i = b_i+1 −b_i za i = 0, . . . , n−1. Tej koli£ini re£emo prema diferenca.

Tako je hodograf r^′ pravzaprav Bézierjeva krivulja stopnje n−1.V kraji²£nih to£- kah krivulje velja r^′(0) = n∆b₀ in r^′(1) = n∆bn−1, kar pomeni, da sta tangentna vektorja v kraji²£nih to£kah na krivuljir vzporedna s prvo oziroma zadnjo stranico kontrolnega poligona.

Oglejmo si ²e nekaj lastnosti Bernsteinovih baznih polinomov:

ˆ Particija enote: Za vsaktje vsota Bernsteinovih baznih polinomov enaka ena:

n

∑︂

i=0

B_iⁿ(t) = (1 + (1−t))ⁿ= 1.

ˆ Vsak Bernsteinov bazni polinom je nenegativen na intervalu [0,1]. Z uporabo te in prej²nje lastnosti vidimo, da pri Bézierjevih krivuljah res velja lastnost konveksne ovojnice.

ˆ Simetri£nost: Iz (2.18) je razvidno, da velja Bⁿ_i(t) = Bⁿ_n−i(1−t). Posledi£no so tudi Bézierjeve krivulje simetri£ne.

ˆ Rekurzija: Polinome stopnje n lahko izrazimo s pomo£jo polinomov stopnje n−1na naslednji na£in:

B_iⁿ(t) = (1−t)B_iⁿ⁻¹(t) +tBⁿ⁻¹_i−1(t).

S pomo£jo te lastnosti se izpelje tudi de Casteljaujev algoritem.

ˆ Preprosto lahko preverimo, da velja:

Bⁿ_i(0) =δ_i,0 in B_iⁿ(1) =δ_i,n kjer je δ_i,j =

{︄1, £e i=j 0, £e i̸=j.

Zato Bézierjeva krivulja interpolira za£etno in kon£no kontrolno to£ko.

ˆ Lokalni maksimum: PolinomB_iⁿ(t) ima v to£ki t=i/n lokalni maksimum.

2.3 Kvaternioni

Kvaternioni so ²tevila oblikeA =a+a_xi+a_yj+a_zk,kjer soa, a_x, a_y, a_zrealna ²tevila.

Mnoºica {1,i,j,k} je baza vektorskega prostora kvaternionov, ki ga ozna£imo s H. Za simbole i,j,kveljajo zveze

i² =j² =k² =ijk=−1. (2.20) Tukaj je z 1 mi²ljena obi£ajna realna enota za mnoºenje. Iz (2.20) sledijo naslednje zveze:

ij=−ji=k, jk=−kj=i, ki=−ik=j. (2.21) Vsota dveh kvaternionov A=a+a_xi+a_yj+a_zkinB=b+b_xi+b_yj+b_zkje enaka

A+B= (a+b) + (ax+bx)i+ (ay +by)j+ (az+bz)k. (2.22) Produkt dveh kvaternionov je zaradi ena£b (2.20) in (2.21) enak

AB=(ab−a_xb_x−a_yb_y−a_zb_z)

+ (abx+bax+aybz−azby)i (2.23) + (ab_y +ba_y+a_zb_x−a_xb_z)j

+ (ab_z+ba_z+a_xb_y−a_yb_x)k.

Ker so produkti baznih elementov med seboj nekomutativni, v splo²nem veljaAB ̸=

BAzaA,B ∈H.Mnoºenje kvaternionov je asociativno, zato velja(AB)C = A(BC) za A,B,C ∈ H.

ƒe si bazne elementei,j,kpredstavljamo kot standardno bazo prostoraR³,lahko re£emo, da ima kvaternion A skalarni del a in vektorski del a = a_xi+a_yj+a_zk.

Kraj²e lahko zato kvaternion A zapi²emo kot A = (a,a). Vsako realno ²tevilo a lahko razumemo kot skalarni kvaternion (a,0), vsak trirazseºni vektor a pa kot vektorski kvaternion (0,a). Take kvaternione lahko preprosteje ozna£imo kar z a oziroma a.

ƒe pi²emo A= (a,a)in B= (b,b), lahko vsoto (2.22) kraj²e zapi²emo kot

A+B= (a+b,a+b), (2.24)

kjer uporabimo obi£ajno pravilo za se²tevanje vektorjev. Podobno iz (2.23) vidimo, da je produkt enak

AB = (ab−a·b, ab+ba+a×b), (2.25) kjer uporabimo obi£ajna pravila za se²tevanje vektorjev in za skalarni ter vektorski produkt.

Vsakemu kvaternionu A = (a,a) lahko dolo£imo konjugirano vrednost A^∗ = (a,−a) ter normo ∥A∥, ki jo podamo z

∥A∥=√

A^∗A=√

AA^∗ =√︁

a²+∥a∥². (2.26)

Iz pravila za produkt (2.25) ni teºko videti, da velja(AB)^∗ =B^∗A^∗.ƒe staa,bvek- torska kvaterniona (torej lahko nanju gledamo kot na vektorja vR³), lahko izpeljemo formulo za izra£un vektorskega produkta s pomo£jo kvaternionov:

1

2ab−1

2b^∗a^∗ = 1

2(−a·b,a×b)− 1 2

(︁−(−b)·(−a),(−b)×(−a))︁

= 1

2(−a·b,a×b)− 1

2(−b·a,b×a) (2.27)

= (0,a×b) = a×b.

ƒe je ∥U ∥ = 1, pravimo, da je U enotski kvaternion. Vsak enotski kvaternion lahko zapi²emo v obliki U = (cos¹₂θ,sin¹₂θn), kjer je θ ∈ [0,2π) in n nek enotski vektor v R³. Produkt dveh enotskih kvaternionov je vedno enotski kvaternion. Za vsak vektorski kvaternion v in enotski kvaternion U je produkt UvU^∗ vedno enak vektorskemu kvaternionu (torej kvaternionu, ki ima skalarni del enak 0). Produkt lahko interpretiramo kot rotacijo vektorja v za kot θ okoli osi n. Vidimo lahko, da doseºemo isto z uporabo kvaterniona −U = (−cos¹₂θ,−sin¹₂θn), ki poda zasuk za kot 2π−θ okoli osi, ki jo predstavlja vektor −n [10, str. 387].

V nadaljevanju nam bo pri²la prav re²itev ena£be

QiQ^∗ =c, (2.28)

kjer je c vektorski kvaternion. Zato se ji podrobneje posvetimo v naslednji lemi [6, poglavje 3.2].

Lema 2.1. Naj bo c vektorski kvaternion in naj bo v = _∥c∥^c = λi+µj+νk. Za c̸=−i se re²itev ena£be (2.28) izraºa v obliki

Q(ϕ) =

√︃1

2(1 +λ)∥c∥(︂

−sinϕ+ cosϕi+µcosϕ+νsinϕ 1 +λ j +νcosϕ−µsinϕ

1 +λ k)︂

, (2.29)

ali v ekvivalentni obliki Q(ϕ) =

√︃1

2(1 +λ)∥c∥(︂

i+ µ

1 +λj+ ν 1 +λk

)︂

(cosϕ+ sinϕi), (2.30) kjer je ϕ prosti parameter. ƒe je c=−i, je re²itev enaka

Q(ϕ) = cosϕj+ sinϕk. (2.31) Dokaz. Naj bo c̸=−i. Pi²imo Q= q₀+q_xi+q_yj+q_zk. Ob upo²tevanju pravil za mnoºenje vidimo, da je ena£ba (2.28) ekvivalentna sistemu treh ena£b

q₀²+q_x²−q_y²−q_z² =λ∥c∥, 2(q₀q_z+q_xq_y) = µ∥c∥, 2(q_xq_z−q₀q_y) =ν∥c∥ (2.32) za neznanke q₀, q_x, q_y, q_z. Ker imamo tri ena£be in ²tiri neznanke, bo splo²na re²itev ena£be (2.28) izraºena z enim prostim parametrom.

ƒe postavimoq₀ = 0,lahko s pomo£jo (2.32) preverimo, da je Q=±

√︃1

2(1 +λ)∥c∥(︂

i+ µ

1 +λj+ ν 1 +λk)︂

(2.33) partikularna re²itev ena£be (2.28). Naj bo sedaj A kvaternion, ki re²i ena£bo

AiA^∗ =i. (2.34)

Potem je tudi QA re²itev za (2.28), saj velja

(QA)i(QA)^∗ =Q(AiA^∗)Q^∗ =QiQ^∗. Kvaternion, ki re²i ena£bo (2.34), je oblike

A = cosϕ+ sinϕi, (2.35)

kar sledi iz naslednjega sistema ena£b, ki je ekvivalenten ena£bi (2.34), £e vzamemo A =a₀ +a_xi+a_yj+a_zk:

a²₀+a²_x−a²_y −a²_z = 1, 2(a₀a_z+a_xa_y) = 0, 2(a_xa_z−a₀a_y) = 0.

Pri tem jeϕ prosti parameter. Splo²na re²itev ena£be (2.28), podana v (2.29), sedaj sledi iz (2.33) in (2.35). Predznaka ± ni treba pisati, saj velja sin(ϕ+π) =−sinϕ in cos(ϕ+π) = −cosϕ. Zato nam ºe premik parametra ϕ za π spremeni predznak re²itve.

ƒe je c=−i, re²ujemo ena£bo

QiQ^∗ =−i. (2.36)

Kvaternion, ki re²i to ena£bo, je oblike

Q(ϕ) = cosϕj+ sinϕk. (2.37) To lahko preverimo podobno kot pri re²evanju ena£be (2.34).

3 Krivulje s pitagorejskim hodografom

Pomemben podrazred Bézierjevih krivulj so krivulje s pitagorejskim hodografom, saj je pri le-teh izra£un dolºine loka krivulje zelo preprost. Poleg tega ponujajo ²e marsikatere druge privla£ne lastnosti, zato jih je vredno analizirati. Uporablja pa se jih tudi v realnem svetu, npr. pri CNC-strojih. V tem poglavju si bomo ogledali denicijo in nekaj osnovnih lastnosti.

3.1 Denicije

Denicija 3.1. Prostorska polinomska krivulja r:I →R³, r(t) = (x(t), y(t), z(t)), kjer je I interval v R³, ima pitagorejski hodograf, £e obstaja tak realen polinom σ, da velja

x^′2(t) +y^′2(t) +z^′2(t) =σ²(t), t ∈I. (3.1) Temu pogoju pravimo tudi pitagorejski pogoj, krivulji pa kraj²e re£emo PH-krivulja.

ƒe imamo ravninsko krivuljo r : I → R², r(t) = (x(t), y(t)), je ta krivulja ravninska krivulja s pitagorejskim hodografom, £e velja

x^′2(t) +y^′2(t) = σ²(t) (3.2) za nek realen polinomσ.Naslednji izrek nam bo pokazal, kako izpolniti pitagorejski pogoj za prostorske krivulje.

Izrek 3.2. Naj za tuje realne polinome a(t), b(t), c(t) in d(t) velja pitagorejski pogoj a²(t) +b²(t) +c²(t) =d²(t). (3.3) Potem obstajajo taki realni polinomi u(t), v(t), p(t) in q(t), da se a(t), b(t), c(t) in d(t) izraºajo na naslednji na£in:

a(t) = u²(t) +v²(t)−p²(t)−q²(t), b(t) = 2(︁

u(t)q(t) +v(t)p(t))︁

, (3.4)

c(t) = 2(︁

v(t)q(t)−u(t)p(t))︁

, d(t) = u²(t) +v²(t) +p²(t) +q²(t).

Dokaz. Ena£bo (3.3) preuredimo in nato razstavimo:

b²(t) +c²(t) = d²(t)−a²(t),

[b(t) + ic(t)][b(t)−ic(t)] = [d(t)−a(t)][d(t) +a(t)]. (3.5)

ƒe sta si realna polinomab(t)in c(t)tuja, potem kompleksna polinoma b(t) + ic(t) in b(t) − ic(t) nimata skupnih ni£el. To sledi iz lastnosti ra£unanja najve£jega skupnega delitelja polinomov. Velja tudi, da nimata realnih ni£el in iz zapisa je o£itno, da je ni£la enega polinoma enaka konjugirani vrednosti drugega polinoma.

Ker stad(t)−a(t)ind(t) +a(t)realna polinoma, se ju lahko razcepi na kompleksno konjugirane pare linearnih polinomov na tak na£in, da en polinom iz vsakega para

deli polinom b(t) + ic(t),drug polinom iz para pa deli polinomb(t)−ic(t).Povedano druga£e, polinoma b(t)±ic(t) imata obliko

b(t) + ic(t) =f(t)g¯(t), b(t)−ic(t) = f¯(t)g(t), (3.6) kjer sta f(t)in g(t) taka dva kompleksna polinoma, da velja

d(t)−a(t) = f(t)f¯(t), d(t) +a(t) = g(t)g¯(t). (3.7) Kompleksna polinomaf(t)ing(t)lahko zapi²emo tudi kotf(t) = √

2(︁

p(t)+iq(t))︁

in g(t) =√

2(︁

v(t) + iu(t))︁

,kjer sop(t), q(t), v(t)inu(t)realni polinomi. ƒe vnesemo te izraze v ena£be (3.6) in (3.7), lahko iz njih dobimo izraze za polinome a(t), b(t), c(t) in d(t), kot so zapisani v (3.4).

ƒe je w(t) = gcd(b(t), c(t)) nekonstanten polinom, lahko iz ena£be (3.5) vi- dimo, da w²(t) deli natanko enega izmed polinomov d(t)−a(t) in d(t) +a(t), saj bi v nasprotnem primeru to pomenilo, da obstaja skupna ni£la polinomov b(t), c(t), d(t) − a(t) in d(t) + a(t), kar pa je v nasprotju s predpostavko, da so polinomi a(t), b(t), c(t) in d(t) tuji. ƒe delimo izraza b(t) + ic(t) in b(t)−ic(t) z w(t) ter enega izmed izrazov d(t)−a(t), d(t) +a(t)zw²(t)(delimo tistega, ki je deljiv s tem polinomom), pridemo do primera, ki smo ga ºe analizirali. Dokaz je tako kon£an.

Opomba 3.3. V izreku 3.2 lahko ena£be (3.4) glede na permutacije polinomova, b, c in u, v, p, q zapi²emo na ve£ razli£nih na£inov.

Enostavno je preveriti, da velja trditev izreka 3.2 tudi v drugo smer. Vidimo torej, da je r prostorska PH-krivulja natanko takrat, ko je njen hodograf oblike

x^′(t) = (︁

u²(t) +v²(t)−p²(t)−q²(t))︁

w(t), y^′(t) = 2(︁

u(t)q(t) +v(t)p(t))︁

w(t), (3.8)

z^′(t) = 2(︁

v(t)q(t)−u(t)p(t))︁

w(t)

za realne polinome u, v, p, q inw. Parametri£na hitrost se poenostavi v σ(t) =∥r^′(t)∥=x^′2(t) +y^′2(t) +z^′2(t) = (︁

u²(t) +v²(t) +p²(t) +q²(t))︁

w(t). (3.9) Pri tem polinomwpredstavlja skupni faktor komponent hodografa. Parametrizacijo prostorske PH-krivulje r dobimo z integracijo hodografa (︁

x^′(t), y^′(t), z^′(t))︁

.

Opomba 3.4. Za obravnavo ravninskih PH-krivulj se pogoj izreka 3.2 poenostavi na a²(t) + b²(t) = c²(t), ki velja natanko takrat, ko se da te polinome izraziti s polinomi u, v inw kot

a(t) = (︁

u²(t)−v²(t))︁

w(t),

b(t) = 2u(t)v(t)w(t), (3.10)

c(t) = (︁

u²(t) +v²(t))︁

w(t),

kjer sta si u in v tuja polinoma. Pri tem polinom w predstavlja skupni faktor polinomov a, bin c. Dokaz je dostopen v [5, str. 382]. Tako je potem ravninska PH- krivulja r(t) = (x(t), y(t))denirana s pomo£jo polinomov u, v inw preko odvodov

x^′(t) =(︁

u²(t)−v²(t))︁

w(t) in y^′(t) = 2u(t)v(t)w(t), (3.11) parametrizacijo krivulje pa dobimo z integracijo hodografa (︁

x^′(t), y^′(t))︁

.

Pri krivulji, ki je podana z ena£bami (3.8), sicer nimamo zagotovila, da je ta krivulja res regularna, saj imajo lahko komponente hodografa skupne polinomske faktorje.

Denicija 3.5. Za krivuljo s pitagorejskim hodografom r^′(t) = (x^′(t), y^′(t), z^′(t)) pravimo, da ima primitiven pitagorejski hodograf, £e je najve£ji skupni delitelj kom- ponent hodografa konstanten: gcd(x^′(t), y^′(t), z^′(t)) = konstanta.

V praksi se raje uporablja primitivne hodografe, saj skupna ni£la komponent hodografa implicira to£ko, kjer tangentni vektor ni dolo£en. Izbira tujih si polinomov u, v, pin q ter w≡1 ²e ne zagotavlja, da je potem hodograf res primitiven.

Izrek 3.6. Naj bodo realni polinomi p, q, v in u paroma si tuji in komponente hodografa take kot v (3.8), pri £emer vzamemo w≡1. Potem velja

gcd(x^′, y^′, z^′) = |gcd(u+ iv, p−iq)|². (3.12) Dokaz. Dokaz najdemo v [10, str. 371].

Vidimo torej, da je v primeru paroma si tujih polinomov u, v, p, q in w ≡ 1 najve£ji skupni delitelj komponent hodografa realen polinom sode stopnje, ki nima realnih ni£el. To pa pomeni, da je za realno krivuljo, ki je porojena s takimi polinomi, tangentni vektor dolo£en povsod in je zato regularna. V nadaljevanju bomo privzeli, da jew≡1.

3.2 Lastnosti PH-krivulj

Oglejmo si nekaj glavnih lastnosti krivulj s pitagorejskim hodografom. Iz karak- terizacije krivulj s polinomi u, v, p in q je razvidno naslednje: £e so ti polinomi maksimalne stopnje m in izberemo w ≡1, potem je krivulja (po mnoºenju polino- mov in integriranju) stopnje2m+1.Torej so PH-krivulje lihe stopnje. ƒe je polinom w lihe stopnje, je krivulja sode stopnje, vendar nas ti primeri zaradi neregularnosti ne bodo zanimali.

Naslednja lastnost se nana²a na dolºino loka PH-krivulje.

Trditev 3.7. Naj bo r(t) = (x(t), y(t), z(t)) regularna krivulja s pitagorejskim ho- dografom. Potem je lo£na dolºina krivulje od parametra a do parametrat izraºena v obliki

s(t) =

∫︂ t a

σ(ξ)dξ (3.13)

in je polinomska v odvisnosti od parametra t.

Dokaz. Lo£na dolºina krivulje med to£kama r(a) inr(t)je enaka s(t) =

∫︂ t a

∥r^′(ξ)∥dξ =

∫︂ t a

√︁x^′2(ξ) +y^′2(ξ) +z^′2(ξ)dξ

=

∫︂ t a

√︁σ²(ξ)dξ =

∫︂ t a

|σ(ξ)|dξ. (3.14)

Ker je krivuljar regularna, je potem∥r^′(ξ)∥ ̸= 0za vsak ξ iz denicijskega obmo£ja parametrizacije. Ker je |σ(ξ)| = ∥r^′(ξ)∥, se torej predznak σ(ξ) ohranja za vsak ξ. Ker se predznak σ ohranja in ker je σ polinom, sledi, da je tudi lo£na dolºina krivulje v polinomski odvisnosti od parametra t.

Integral polinoma, ki ga tako dobimo, ni zaºelen le, ker dobimo z njim natan£en rezultat, temve£ tudi zaradi tega, ker je hitro izra£unljiv. Dalje si oglejmo, kako izgleda Frenetovo ogrodje PH-krivulje. Kot lahko razberemo iz (2.3) in v skladu s karakterizacijo PH-krivulje s polinomi u, v, p in q, podano z (3.8), se lahko enotska tangenta krivulje izrazi na naslednji na£in:

t= r^′

∥r^′∥ = r^′

σ = (x^′, y^′, z^′) σ

= (u²+v²−p²−q²,2(uq+vp),2(vq−up))

p² +q²+v² +u² . (3.15) Vidimo, da je enotska tangenta PH-krivulje racionalna funkcija parametra t. Ali velja enako tudi za normalo in binormalo? ƒe se spomnimo formul (2.10) in (2.11), vidimo, da sta tako normala kot binormala odvisni od koli£ine ∥r^′×r^′′∥.Oglejmo si njen kvadrat

∥r^′×r^′′∥² = (y^′z^′′−y^′′z^′)²+ (z^′x^′′−z^′′x^′)²+ (x^′y^′′−x^′′y^′)². (3.16)

ƒe vstavimo v zgornjo ena£bo vrednosti iz (3.8) in upo²tevamo vrednost σ, z nekaj ra£unanja [4, str. 386] ugotovimo, da je

∥r^′×r^′′∥² =σ²ρ, (3.17)

kjer je

ρ= 4[(up^′−u^′p)²+ (uq^′−u^′q)²+ (vp^′−v^′p)²

+ (vq^′−v^′q)²+ 2(uv^′−u^′v)(pq^′−p^′q)]. (3.18) Zgornjo koli£ino se da izraziti (glej v [1, str. 118]) tudi druga£e:

ρ= 4[(up^′−u^′p+vq^′−v^′q)²+ (uq^′−u^′q+vp^′−v^′p)²]. (3.19) Iz vsega povedanega lahko sklepamo, da vsebujeta tako normala kot binormala £len

√︁ρ(t),kar pomeni, da v splo²nem tako normala kot binormala nista racionalni funk- ciji parametrat.V nadaljevanju nam bo pri²la prav stopnja polinomaρv odvisnosti od stopnje PH-krivulje, zato si oglejmo naslednjo trditev.

Trditev 3.8. Naj bo r PH-krivulja stopnje n. Potem je ρ polinom stopnje 2n−6.

Dokaz. V za£etku poglavja 3.2 smo omenili, da je stopnja krivulje r enaka n = 2m + 1, £e so polinomi u, v, p, q maksimalne stopnje m. Pokaºimo najprej, da je polinom up^′−u^′p stopnje 2m−2.Polinoma u in pzapi²emo v standardni bazi

u(t) =

m

∑︂

i=0

u_itⁱ in p(t) =

m

∑︂

i=0

p_itⁱ

za ustrezne koecienteu_i, p_i ∈R. Potem je polinom u(t)p^′(t)−u^′(t)p(t) enak (︄ _m

∑︂

i=0

u_itⁱ

)︄ (︄_m−1

∑︂

i=0

(i+ 1)p_i+1tⁱ )︄

− (︄_m−1

∑︂

i=0

(i+ 1)u_i+1tⁱ )︄ (︄ _m

∑︂

i=0

p_itⁱ )︄

. Koecient pri £lenu t^2m−1 polinomau(t)p^′(t)−u^′(t)p(t) je enak

u_mmp_m−mu_mp_m = 0,

medtem ko je koecient pri £lenut^2m−2 v splo²nem neni£eln:

u_m(m−1)pm−1 +um−1mp_m−(m−1)um−1p_m−mu_mpm−1 =−u_mpm−1+um−1p_m. Tako smo pokazali, da je polinom up^′ −u^′p res stopnje 2m−2. Podobno velja za ostale polinome, ki nastopajo v izrazu (3.18), kar implicira, da je

st(ρ) = 2(2m−2) = 4n−1

2 −4 = 2n−6.

Torej je polinomρ res stopnje 2n−6.

Opomba 3.9. ƒe sta polinomauinprazli£nih stopenj, je potem stopnja polinoma up^′−u^′penakast(u)+st(p)−2.To dokaºemo povsem analogno, kot v dokazu trditve 3.8.

Izrazimo sedaj ²e ukrivljenosti PH-krivulj. Fleksijska ukrivljenost (2.9) se izraºa kot

κ= ∥r^′×r^′′∥

σ³ =

√ρ

σ² . (3.20)

Sledi, da v splo²nem tudi eksijska ukrivljenost ni racionalna funkcija parametra t. Iz izraza za torzijsko ukrivljenost (2.14) pa je razvidno, da je le-ta racionalna funkcija parametra t, saj se v ²tevcu nahaja skalarni produkt vektorjev r^′×r^′′ in r^′′′, ki pa se ga da zapisati kot polinom, v imenovalcu pa imamo izraz (3.17), ki je tudi polinom.

Krivulje s pitagorejskim hodografom imajo zanimivo povezavo z vija£nimi po- linomskimi krivuljami. Oglejmo si najprej denicijo vija£nice [11, str. 41].

Denicija 3.10. Krivulja r je vija£nica, £e oklepa njena enotska tangenta t kon- stanten kotψ (kjer je 0< ψ ≤ ^π₂) z nekim ksnim enotskim vektorjem a. Vektor a predstavlja os vrtenja vija£nice.

Primer vija£nicer(t) = (5 cost,sint, t)vidimo na Sliki 1. Os vrtenja predstavlja vektor a= (0,0,1). Zlahka lahko po formuli (3.21) preverimo, da je kot med osjo a in enotsko tangentot enak π/4 za vsakt.

Ker sta vektorja a int enotska, potem velja

a·t= cosψ. (3.21)

Zanimivo dejstvo o vija£nicah, ki nam bo pri²lo prav kasneje, je Lancretov izrek [11, str. 41].

Slika 1: Na sliki je prikazan graf vija£nice r(t) = (5 cost,sint, t).

Izrek 3.11 (Lancret). Krivulja z neni£elno eksijsko ukrivljenostjo je vija£nica na- tanko takrat, ko je za vse njene to£ke razmerje med torzijsko in eksijsko ukrivlje- nostjo konstantno.

Dokaz. Naj bo krivuljar(s)vija£nica, izraºena v naravni parametrizaciji. Torej drºi ena£ba (3.21) za nek vektora in kotψ. ƒe to ena£bo odvajamo po sin upo²tevamo (2.6), dobimo

a·t^′ =κa·p= 0.

Zaradi predpostavke in nenegativnosti κ sledi, da jeκ >0.Torej mora veljati

a·p = 0. (3.22)

To pomeni, da je v vsaki to£ki na krivulji enotska normala pravokotna na os vrtenja a.Vektorase torej ves £as nahaja v ravnini, ki jo razpenjata enotska tangenta tter enotska binormalab.ƒe velja formula (3.21), je potem iz Slike 2 razvidno, da mora veljati tudi

a·b = sinψ.

Sedaj odvajajmo ena£bo (3.22) in pri tem upo²tevajmo Frenetovo formulo za odvod enotske normale v naravni parametrizaciji (2.16). Dobimo naslednji izraz:

a·p^′ =a·(−κt+τb) =−κcosψ+τsinψ = 0.

Torej je ^τ(s)_κ(s) = cotψ, kar je res konstantna vrednost.

Dokaºimo izrek ²e v drugo smer. Predpostavimo, da je za krivuljo r, podano v naravni parametrizaciji, razmerje med torzijsko in eksijsko krivuljo konstantno

τ(s) κ(s) =c₀,

Slika 2: Os vija£nice v primerjavi z enotsko tangento, normalo in binormalo.

kjer je c₀ ∈R. Velja torej c₀κ−τ = 0.Ob upo²tevanju (2.16) vidimo, da velja c₀t^′+b^′ = (c₀κ−τ)p= 0.

Ko ta izraz integriramo, dobimoc₀t+b=c^∗,kjer jec^∗ neni£eln konstanten vektor.

ƒe ta vektor normaliziramo, dobimo c= c^∗

∥c^∗∥ = c₀t+b

√︁1 +c²₀.

Sedaj lahko skalarno pomnoºimo vektor c z enotsko tangento t. Dobimo c·t= c₀

√︁1 +c²₀.

Jasno je, da je ta skalarni produkt po absolutni vrednosti strogo manj²i od 1. Torej enotska tangenta t oklepa konstanten kot s konstantnim vektorjem c. Sledi, da je krivulja r vija£nica, kar pa smo ºeleli dokazati.

Naslednja trditev nam bo osvetlila povezavo med vija£nimi polinomskimi krivu- ljami (vija£nicami, ki so hkrati tudi polinomske krivulje) in PH-krivuljami [10, str.

368].

Trditev 3.12. ƒe je polinomska krivulja vija£nica, ima potem tudi pitagorejski ho- dograf.

Dokaz. Za prostorsko krivuljo r lahko njeno enotsko tangento zapi²emo kot _∥r^r′′_∥. Potem lahko ena£bo (3.21) preoblikujemo kot

a·r^′(t) = cosψ∥r^′(t)∥. (3.23) Leva stran ena£be predstavlja polinom v spremenljivkit. Na desni strani ena£be se lahko nahaja polinom le, £e jer PH-krivulja, kajti po deniciji so PH-krivulje tiste krivulje, ki imajo hitrost∥r^′∥ v polinomski odvisnosti od parametrat.

ƒe je krivulja polinomska vija£nica, potem je tudi PH-krivulja. Ali velja tudi obratno? Odgovor na to vpra²anje je nikalen, kot lahko vidimo iz spodnjega primera [1, str. 121].

Primer 3.13. Dana je naslednja krivulja r(t) =

(︃t⁷ 21 +t⁵

5 +t³−3t,−t⁴

2 + 3t²,−2t³ )︃

.

ƒe izra£unamo njeno parametri£no hitrost in koli£ino ∥r^′×r^′′∥,dobimo

∥r^′(t)∥= 1

3(t⁶+ 3t⁴+ 9t²+ 9) in ∥r^′×r^′′∥= 2(t² + 1)(t⁶+ 3t⁴+ 9t²+ 9).

Vidimo, da je krivulja res PH-krivulja. ƒe upo²tevamo formuli (2.9) ter (2.14) in izra£unamo razmerje

τ(t)

κ(t) = 2t⁶+ 9t⁴−9 9(t²+ 1)² ,

pa po Lancretovemu izreku 3.11 sledi, da krivulja r ne more biti vija£nica, saj razmerje med torzijsko in eksijsko ukrivljenostjo ni konstantno.

Lancretov izrek nam omogo£a, da za polinomsko vija£nico ²e druga£e izrazimo koli£ino ρ, ki nastopa v ena£bi (3.17). Razmerje med eksijsko ukrivljenostjo (2.9) in torzijsko ukrivljenostjo (2.14) je enako

κ τ =

∥r^′×r^′′∥ σ³ (r^′×r^′′)·r^′′′

∥r^′×r^′′∥²

= (σ√ ρ)³

σ³(r^′×r^′′)·r^′′′ = ρ^3/2

(r^′×r^′′)·r^′′′ = tanψ. (3.24) Iz tega lahko sklepamo, da je PH-krivulja polinomska vija£nica tedaj, ko je izpolnjen pogoj

ρ^3/2 = tanψ(r^′×r^′′)·r^′′′. (3.25)

3.3 Izraºanje prostorskih PH-krivulj v kvaternionski obliki

Za ²tudij PH-krivulj je zelo prikladna kvaternionska predstavitev le-teh. To obliko so najprej opisali avtorji v [2]. Spomnimo se predstavitve regularne PH-krivulje r s pomo£jo polinomov u, v, p in q. ƒe so ti polinomi stopnje najve£ m, je potem PH-krivulja, ki jo pridobimo z integriranjem hodografa r^′, lihe stopnje, ki je enaka n = 2m+ 1.

Tvorimo kvaternionski polinom na naslednji na£in:

A(t) = u(t) +v(t)i+p(t)j+q(t)k. (3.26)

ƒe kvaternione z ni£elnim skalarnim delom identiciramo z vektorji v R³, kot smo opisali v poglavju 2.3, ugotovimo, da lahko ena£be (3.8) precej bolj kompaktno zapi²emo s pomo£jo zgornjega polinoma. Izra£unamo

A(t)iA^∗(t) =(︁

u²(t) +v²(t)−p²(t)−q²(t))︁

i + 2(︁

u(t)q(t) +v(t)p(t))︁

j (3.27)

+ 2(︁

v(t)q(t)−u(t)p(t))︁

k,

kjer je

A^∗(t) =u(t)−v(t)i−p(t)j−q(t)k (3.28) konjugirana vrednost polinoma A(t). ƒe primerjamo formuli (3.8) in (3.27), opa- zimo, da velja r^′(t) = A(t)iA^∗(t). Kvaternionski polinom A lahko izrazimo tudi v Bernsteinovi obliki

A(t) = u(t) +v(t)i+p(t)j+q(t)k=

m

∑︂

ℓ=0

A_ℓ (︃m

ℓ )︃

(1−t)^m−ℓt^ℓ, (3.29) kjer so z Aℓ ∈H ozna£eni Bernsteinovi koecienti, ki so enaki

A_ℓ =u_ℓ+v_ℓi+p_ℓj+q_ℓk za ℓ= 0, . . . m. (3.30) Pri temu_ℓ, v_ℓ, p_ℓ, q_ℓ, ℓ= 0, . . . mpredstavljajo Bernsteinove koeciente za vsakega od polinomov u, v, p, q posebej. Parametri£na hitrost krivulje r se prav tako preprosto izrazi kot

∥r^′(t)∥=σ(t) =∥A(t)∥² =A(t)A^∗(t) =u²(t) +v²(t) +p²(t) +q²(t). (3.31) Spomnimo se sedaj denicije 3.5 o primitivnem pitagorejskem hodografu. ƒe je najve£ji skupni delitelj komponent hodografa nekonstanten, je torej enak nekemu polinomuh, ki je sode stopnje brez realnih ni£el. Potem se lahko tak neprimitiven hodograf zapi²e kot

r^′(t) =h(t)B(t)iB^∗(t) (3.32) za nek kvaternionski polinomB(t)stopnjem−r,kjer jehpolinom stopnjest(h) = 2r.

3.4 Izraºanje prostorskih PH-krivulj s Hopfovo preslikavo

Poleg kvaternionske oblike poznamo ²e en na£in za izraºanje prostorskih PH-krivulj, in sicer s Hopfovo preslikavo. Deniramo jo na naslednji na£in.

Denicija 3.14. Hopfova preslikava H je preslikava, ki slika iz C×C → R³ in je zaα,β∈C dolo£ena z naslednjim predpisom:

H(α,β) = (|α|²− |β|²,2 Re(αβ¯ ),2 Im(αβ¯ )). (3.33) S pomo£jo ºe znanih polinomov u, v, p in q lahko deniramo kompleksna poli- noma α(t) = u(t) + iv(t) ter β(t) = q(t) + ip(t). Z malo ra£unanja ugotovimo, da velja ravno r^′(t) =H(α(t),β(t)).

Parametri£na hitrost ima v Hopfovi predstavitvi enostaven zapis, in sicer

∥r^′(t)∥=|α(t)|²+|β(t)|².

Kot bomo videli v nadaljevanju, je Hopfova oblika primernej²a za obravnavo DPH- krivulj.

3.4.1 Pretvorba med predstavitvama

Spoznali smo dva na£ina, kako izraziti hodograf PH-krivulje: s pomo£jo kvaternion- ske predstavitve ter predstavitve s Hopfovo preslikavo. Pretvorba med eno in drugo predstavitvijo je dokaj enostavna. ƒe identiciramo imaginarno enoto i v komple- ksnih ²tevilih z imaginarno enoto i v kvaternionih, vidimo, da se do kvaternionske oblike A(t) = u(t) +v(t)i+p(t)j+q(t)kda priti s pomo£jo kompleksnih polinomov α(t) = u(t) + iv(t) in β(t) = q(t) + ip(t) na naslednji na£in:

α(t) +kβ(t) = u(t) + iv(t) +k(q(t) + ip(t))

=u(t) +v(t)i+p(t)j+q(t)k (3.34)

=A(t).

Tudi kompleksna polinoma α(t) in β(t) ni teºko pridobiti iz kvaternionskega polinoma A(t). Hitro se da preveriti, da velja

α(t) = 1 2

(︁A(t)−iA(t)i)︁

in β(t) = 1 2k(︁

A(t) +iA(t)i)︁

. (3.35)

Opomba 3.15. Za dani hodograf r^′(t) = (x^′(t), y^′(t), z^′(t))je moºno pridobiti eno- parametri£no druºino kvaternionskih polinomov. Ker je r^′ = AiA^∗, je po lemi 2.1 kvaternionski polinom A enak

A(t) =

√︃1

2(σ(t) +x^′(t))(︂

−sinϕ+ cosϕi+y^′(t) cosϕ+z^′(t) sinϕ σ(t) +x^′(t) j +z^′(t) cosϕ−y^′(t) sinϕ

σ(t) +x^′(t) k)︂

,

kjer je ϕ prosti parameter. Prav tako lahko preko pretvorbe (3.35) vidimo, da je za dani hodograf moºno pridobiti enoparametri£no druºino kompleksnih polinomov α in β, ki ustrezajo danemu hodografu:

α(t) =

√︃1

2(σ(t) +x^′(t))(︁

−sinϕ+ i cosϕ)︁

, β(t) =

(︁z^′(t) cosϕ−y^′(t) sinϕ)︁

+ i(︁

y^′(t) cosϕ+z^′(t) sinϕ)︁

√︁2(σ(t) +x^′(t)) .

4 DPH-krivulje

Kot smo ºe videli v poglavju 3.2, sta za krivuljo r s pitagorejskim hodografom v splo²nem tangentatin torzijska ukrivljenostτ racionalni funkciji parametra krivulje, normala p, binormala b ter eksijska ukrivljenost κ pa niso, saj vsebujejo £len

∥r^′×r^′′∥,ki je v splo²nem koren nekega polinoma. Zanimajo nas pogoji, pri katerih so vse omenjene koli£ine racionalne funkcije parametra krivulje, torej Frenetovo ogrodje(t,p,b) in obe ukrivljenosti κ inτ.

Iz ena£be (3.17) je mo£ razbrati naslednje: £e je koli£ina ρ(t) popolni kvadrat, je potem tudi koli£ina∥r^′(t)×r^′′(t)∥polinom in ne koren nekega polinoma, kar vodi do racionalne odvisnosti Frenetovega ogrodja ter ukrivljenosti od parametra t.

Denicija 4.1. Za prostorsko polinomsko krivuljo r pravimo, da je DPH-krivulja ali dvojna PH-krivulja (angl.: double PH curve), £e sta tako ∥r^′∥ kot ∥r^′ ×r^′′∥ polinomski funkciji parametra t, torej £e sta izpolnjena pogoja

∥r^′∥² =x^′2+y^′2 +z^′2 =σ², (4.1)

∥r^′×r^′′∥² = (y^′z^′′−y^′′z^′)²+ (z^′x^′′−z^′′x^′)²+ (x^′y^′′−x^′′y^′)² = (σω)² (4.2) za neka polinomaσ inω. Pogoju (4.2) pravimo DPH-pogoj.

Vsaka DPH-krivulja je o£itno tudi PH-krivulja. Na DPH-pogoj lahko pogledamo tudi s pomo£jo karakterizacije PH-krivulj s polinomiu, v, qinp.Koli£inaρv ena£bi (3.19) mora biti enaka kvadratu nekega polinoma ω. Zapi²imo sedaj formule za Frenetovo ogrodje in ukrivljenosti pri DPH-krivuljah:

t= r^′ σ, p= r^′×r^′′

∥r^′×r^′′∥ ×t= r^′×r^′′

σω ×r^′

σ = (−r^′′·r^′)r^′+σ²r^′′

σ²ω

= −((σ^′t+σκp)·(σt))r^′ +σ²r^′′

σ²ω = σr^′′−σ^′r^′

σω , (4.3)

b= r^′×r^′′

∥r^′×r^′′∥ = r^′×r^′′

σω , κ= ∥r^′×r^′′∥

σ³ = ω

σ², τ = (r^′×r^′′)·r^′′′

∥r^′×r^′′∥² = (r^′×r^′′)·r^′′′

σ²ω² .

ƒe si ²e enkrat ogledamo ena£bo (3.19),

ρ= 4[(up^′−u^′p+vq^′−v^′q)²+ (uq^′−u^′q−vp^′+v^′p)²] =ω², (4.4) vidimo, da polinomi 2(up^′ −u^′p+vq^′ −v^′q), 2(uq^′ −u^′q−vp^′ +v^′p) in ω tvorijo pitagorejsko trojico. Po opombi 3.4 mora biti trojica oblike

up^′−u^′p+vq^′−v^′q =h(a² −b²),

uq^′−u^′q−vp^′+v^′p= 2hab, (4.5) ω =h(a² +b²)

za polinome h, a, bkjer sta siainb tuja. ƒe sta si tudi polinomaup^′−u^′p+vq^′−v^′q inuq^′−u^′q−vp^′+v^′ptuja, lahko potem vzamemoh≡1.V takem primeru pravimo, da imamo primitivno pitagorejsko trojico.

4.1 DPH-krivulje in vija£nice

V trditvi 3.12 smo pokazali, da so vse polinomske vija£nice hkrati tudi PH-krivulje.

Da se pokazati ²e ve£.

Trditev 4.2. ƒe je polinomska krivulja vija£nica, potem je tudi DPH-krivulja.

Dokaz. Dokaz je povzet po [1, str. 117]. Naj bo rpolinomska vija£nica, ki ima os v smeri enotskega vektorjaa.Po (3.21) jea·t= cosψ =k,kjer smo sk ∈Rpoudarili, da je ta skalarni produkt med a in t enak konstantni vrednosti. Iz dokaza izreka 3.11 lahko sklepamo, da velja tudi a·b =√

1−k².Ker veljat= _∥r^r′′∥ inb= _∥r^r′′^×r×r^′′′′∥, lahko oba skalarna produkta preoblikujemo ter dobimo

a·r^′ =k∥r^′∥ in a·(r^′ ×r^′′) = √

1−k²∥r^′×r^′′∥. (4.6) Po istem razmisleku kot pri dokazu trditve 3.12 vidimo, da sta levi strani obeh zgor- njih ena£b enaki polinomu, kar pomeni, da morata biti tudi desni strani polinomski.

Tako je poleg hitrosti ∥r^′∥tudi koli£ina ∥r^′×r^′′∥enaka polinomu, torej je izpolnjen DPH-pogoj. Pokazali smo, da je krivulja r res DPH-krivulja.

Za DPH-krivuljo tretje in pete stopnje velja tudi obrat trditve.

Izrek 4.3. Polinomska krivulja stopnje tri ali pet je vija£nica natanko tedaj, ko je DPH-krivulja.

Dokaz. Dokaz je dostopen v [1, str. 121].

Iz primera 3.13 tudi vidimo, da je krivulja r pravzaprav DPH-krivulja. Ker je razmerje med ukrivljenostma nekonstantno, potem ta DPH-krivulja sedme stopnje ni vija£nica. Izrek 4.3 v splo²nem torej za krivulje stopenj ve£ kot pet ne drºi.

Iz ena£be (3.24) je razvidno, da je za DPH-krivulje razmerje med eksijsko in torzijsko ukrivljenostjo enako

κ

τ = ω³

(r^′ ×r^′′)·r^′′′. (4.7)

ƒe je polinomska krivulja r vija£nica, je po trditvi 4.2 hkrati tudi DPH-krivulja in zato mora biti po Lancretovem izreku 3.11 razmerje med ω³ in (r^′ ×r^′′)· r^′′′

konstantno. ƒe je stopnja PH-krivulje enaka n, je potem stopnja polinoma ρ enaka 2n−6, kot smo videli v trditvi 3.8. Iz tega sledi, da jest(ω) =n−3.

To pomeni, da je razmerje med ukrivljenostma za kubi£ne PH-krivulje vedno konstantno, saj sta obe koli£iniω³ in(r^′×r^′′)·r^′′′konstantni. Slednje lahko preverimo po dalj²em, a elementarnem ra£unanju. Torej lahko sklepamo, da je vsaka kubi£na PH-krivulja hkrati vija£nica in tako tudi DPH-krivulja.