MA znanje je kompleksno in bi ga lahko razdelili na štiri ključne vrste znanja, in sicer deklarativno in konceptualno (poznavanje in razumevanje pojmov in dejstev ter njihov priklic), proceduralno (poznavanje in uporaba enostavnih ter kompleksnih postopkov) in problemsko (reševanje in raziskovanje problemov) MA znanje.
Deklarativno znanje in vedenje razdelimo na tri elemente: (a) poznavanje posameznosti:
reproduktivno znanje, znanje izoliranih informacij; (b) poznavanje specifičnih dejstev: znanje definicij, formul, izrekov in (c) poznavanje izrazja: seznanjenost z osnovnimi simboli in izrazi (vzporednost, seštevanje, odštevanje, pravokotnik, kilogram, enačba itd.). Konceptualno znanje je razumevanje pojmov in dejstev, njegovi elementi pa so: (a) prepoznavanje pojmov (trikotnika na ravnini, teles v naravi …); (b) predstava (mreža kocke je sestavljena iz šestih kvadratov); (c) prepoznavanje izrazja in simbolike (a, stranica, višina) in (d) povezave (podobnosti, razlike).
Proceduralno znanje delimo na (1) rutinsko proceduralno znanje (izvajanje rutinskih postopkov –pisno množenje in deljenje, uporaba pravil – če je v računu računska operacija seštevanja in množenja, prej množimo) in (2) kompleksno proceduralno znanje (uporaba ter obvladovanje postopkov in algoritmov, reševanje rutinskih besedilnih nalog) (Hodnik, 2006 v Kavkler, 2007).
V zadnjem času se na raziskovalnem področju matematičnega znanja veča število avtorjev, ki se zavedajo pomena ne le številskih predstav pri obvladanju matematike, temveč tudi nabora spoznavnih sposobnosti, ki le-te podpirajo (Cowan in Powell, 2014; Mazzocco in Räsänen, 2013; Rodríguez in Jiménez, 2016; Träff idr., 2017). Matematika je tako mnogo več kot usvajanještevilskih predstav in računanje in je tudi več od posameznega matematičnega testa in ocenjevalne situacije. Pri ocenjevanju MA znanja se dosežki na preizkusih vedno nanašajo na nabor raznolikih dejavnikov.
Slika 3
Prikaz odnosov med dosežki na preizkusih in ostalimi miselnimi procesi
deklarativno, konceptualno
znanje hitrost
delovni spomin
proceduralne spretnosti priklic podatkov
dosežki na preizkusih
Prirejeno po Geary, D. C. (1994). Children's mathematical development: Research and practical applications. Washington: American Psychological Association.
Iz Slike 3 je razvidno, da Geary (1994) znotraj posameznika izpostavlja deklarativno in konceptualno znanje kot enega izmed dejavnikov na dosežkih na preizkusih. Tem dodaja tudi spretnosti obvladanja postopkov in reševanja nalog po korakih (proceduralne spretnosti), delovni spomin oz. pomnjenje, hitrost procesiranja (MA) podatkov pri reševanju nalog in priklic naučenih dejstev in podatkov.
2.1.4.1 MATEMATIČNO ZNANJE V OBDOBJU OD 6. DO 9. RAZREDA IN TAKSONOMIJA ZNANJA PO GAGNÉJU
Razvoj matematičnega znanja je kompleksen s prepletanjem mnogoterih dejavnikov. Gradi se na podlagi izkušenj, učinkovito poučevanje pa ima nanj pomemben vpliv (Geary, 1994). V raziskavi Parsons in Bynner (2005) se je izkazalo, da vsaka oblika učne pomoči med potekom izobraževanja pomembno vpliva na uspešnost učencev pri MA in da so MA dosežki še v večji meri kot dosežki na področju maternega jezika, branja in pisanja povezani z izkušnjami in s pogoji, v katerih posameznik živi v zgodnjem otroštvu (Parsons in Bynner, 2005).
Po Kriterijih za opredelitev vrste in stopnje primanjkljajev, ovir oziroma motenj otrok s posebnimi potrebami (Magajna idr., 2015) so PPU MA opredeljeni kot primanjkljaji na področju razvoja občutka za števila; avtomatizacije aritmetičnih dejstev; avtomatizacije aritmetičnih postopkov in točnosti MA sklepanja. Čeprav je učencem s PPU MA skupno, da je njihov občutek za števila in količine manj razvit kot občutek za števila in količine vrstnikov ter da so na splošno njihove sposobnosti, vezane na MA področje, šibkejše in manj razvite (Berch, 2005; Butterworth idr., 2011; Dehaene, 2011; Kroesbergen in van Dijk, 2015), se v povezavi z odkrivanjem in obravnavo teh učencev vse bolj poudarja tudi druge spoznavne primanjkljaje, kot so primanjkljaji delovnega pomnjenja, sklepanja, procesne hitrosti predelovanja podatkov,
fonološkega procesiranja in jezika, prostorskih predstav idr. (Butterworth idr., 2011; Compton idr., 2012; Cowan in Powell, 2014). Ta perspektiva poudarja številne miselne procese, ki nosijo vloge podpore številskim predstavam in nam razložijo vlogo njihovega delovanja tudi pri učencih brez težav. Ne gre namreč za specifično MA veščine, ampak so to procesi, na katere vplivamo v najrazličnejših šolskih situacijah in dejavnostih ter skozi vse šolske predmete.
PPU MA lahko torej izhajajo iz primanjkljajev v predstavah in predelovanju informacij enega ali več matematičnih področij (aritmetika, algebra, geometrija, merjenje, obdelava podatkov, reševanje problemskih situacij itd.) ali primanjkljajev ene ali več sposobnosti znotraj teh področij (občutek za števila in količine, delovno pomnjenje, sklepanje, procesna hitrost predelovanja podatkov, fonološko procesiranje in jezik, prostorske predstave) (Geary in Hoard, 2005). Slednje nam omogoča vpogled v razvoj MA znanja, ki se pri posameznem učencu gradi na podlagi odnosov med vsemi naštetimi miselnimi procesi (vezanih na MA področja in na posamezne elemente MA delovanja) in se krepi z uporabo le-teh v različnih učnih nalogah.
Razvoj MA znanja, direktno vezanega na področje algebre, je najbolj kompleksen in se razvija najkasneje (Geary, 1994). Vendarle se predpostavlja, da k razvojni spremembi v reševanju problemov algebraične narave prispeva mnogo dejavnikov, enakih tistim, ki prispevajo k razvojnemu napredku aritmetičnih spretnosti. Ti dejavniki vključujejo napredke v bralnih spretnostih, delovnem spominu, osnovnih računskih spretnostih itd. (Geary, 1994). V raziskavi Qin idr. (2004) so ugotovili, da imajo miselni procesi mladostnikov pri učenju algebre prednost pred učenjem v odrasli dobi. Raziskava s pomočjo funkcionalne magnetne resonance (fMRI) je pokazala, da se tako pri mladostnikih kot pri odraslih v miselne procese tekom nekajdnevne vaje za pridobitev algebraičnih pravil reševanja enačb vključujejo predeli čelnega režnja.
Razlika pa je v tem, da miselni procesi mladostnikov pri tem intenzivneje vključujejo tudi predele temenskega režnja, ki v mislih zadržijo sliko enačbe. Raziskovalci so zaključili, da so možgani mladostnikov bolj plastični in bolj dovzetni za učenje algebre ter da je vpliv vaje nanje večji oziroma se z njo sposobnost za učenje algebre krepi hitreje (Qin idr., 2004).
Vpliv motenosti enega ali več spoznavnih oz. psiholoških procesov na MA razvoj in dosežke je največji v zadnjem triletju osnovnošolskega izobraževanja, ko postanejo MA znanje in spretnosti bolj kompleksni (Shin idr., 2013). V povprečju se takrat MA razvoj začne upočasnjevati, večajo pa se razlike v MA dosežkih učencev glede na spoznavne sposobnosti in izobraževalne priložnosti (Shin idr., 2013). Griffin (2005) ugotavlja, da naj bi se učenčevo osrednje konceptulno razumevanje pri MA bolj ali manj dokončno oblikovalo, izpopolnilo in diferenciralo v starosti med sedmim in osmim letom. To je tudi obdobje, ko najpogosteje diagnosticiramo SUT MA, nekatere hujše oblike že pri šestih letih, druge pa odkrijemo pri desetih letih ali še kasneje, »ko se poveča številski obseg, naloge so kompleksnejše in abstraktnejše ter je tudi tempo dela v razredu hitrejši, saj učitelji pričakujejo, da imajo takrat učenci že usvojena osnovna konceptualna, deklarativna in proceduralna matematična znanja.«
(Kavkler, 2011a).
MA dosežki enajstletnih učencev imajo zelo pomembno napovedno vrednost MA uspešnosti posameznika v odrasli dobi (Parsons in Bynner, 2005). Zaradi omenjenega in vpliva neuspešnosti pri MA na življenje tudi Aubrey idr. (2000) poudarjajo, kako pomembno je, da smo posebno pozorni na učence, ki med 6. in 12. letom pri učenju MA neprestano dosegajo nižje rezultate.
Učenci v obdobju med 6. in 9. razredom razvojno vstopajo v obdobje mladostništva. Gre za razvojno obdobje, ki ga označuje predvsem raziskovanje in oblikovanje lastne identitete (Luyckx idr., 2014). Povsem običajno je, da se to raziskovanje prenaša tudi v šolski prostor,
kjer mladostniki iščejo pomen posameznega predmeta za njihovo življenje. Raziskujejo, kakšen pomen ima predmet za gradnjo njihove identitete. Do teh sprememb pride zaradi intenzivnega razvoja možganov in sprememb v kognitivnih procesih v čelnem režnju. Razvija se sposobnost izvršilnega, bolj abstraktnega in tudi hipotetičnega mišljenja, samoreflektiranje (metakognicija) in razmišljanje z več perspektiv hkrati (Keating, 2004; Kuhn, 2009). Matthews (2018) poudarja, da ima pri tem glavno vlogo napredek v spoznavni prožnosti. Spoznavna prožnost se nanaša na sposobnost mentalne prilagodljivosti, ki posamezniku omogoča, da razmišlja z različnih perspektiv. To pa omogoča osmišljanje in razumevanje, kako učenje ene situacije lahko vpliva na različne druge situacije. Omenjen proces se zgodi ravno v obdobju, ko so učenci pripravljeni za učenje bolj abstraktnih konceptov MA v zadnjem triletju devetletne osnovne šole in kasneje.
Ker je razumevanje povezave med abstraktno MA z abstraktno identiteto miselno zahtevnejše kot razumevanje MA same, se lahko zgodi, da učenci že razumejo omenjene vsebine, vendar ji ne znajo pripisati ustreznega pomena in na ta način izgubijo motivacijo za njeno učenje (LeFevre idr., 2005).
Raziskave so pokazale, da so mladostniki bolj dovzetni za napredek v učenju MA, kadar imajo vpogled v pomen MA za njihovo življenje. Tako so bolj uspešni tisti učitelji, ki delajo povezave med postopki, različnimi koncepti in spodbujajo kritično mišljenje ter s tem omogočajo učencem, da »se vidijo v matematiki« (Gutstein, 2007). Tudi v raziskavi Matthewsa (2018) se je izkazalo, da so bili skozi šolsko leto bolj uspešni učenci učiteljev, ki so neprestano kazali povezave med MA koncepti in zagotavljali konkretne primere uporabe teh konceptov v resničnem življenju.
Iz vsega predstavljenega lahko ponovno poudarimo, da je razvoj matematičnega znanja zelo kompleksen in precej individualen glede na posameznikove razmere in izobraževalne izkušnje, psihološke vire in preplet obojih v posameznem časovnem obdobju celostnega razvoja posameznega učenca.
MA znanje in njegovo kompleksnost opredeljujejo tudi različne taksonomije znanja, ki nam pomagajo razumeti njegovo naravo in s katerimi si pri pedagoškem delu pomagamo (Orton, 2004). So neposredno uporabne za šolsko prakso tako v fazi načrtovanja pouka kot v fazi preverjanja in ocenjevanja znanja. Predstavljajo orodje, s pomočjo katerega lahko oblikujemo vprašanja, naloge in dejavnosti na tak način, da z njimi razvijamo in preverjamo ter ocenjujemo različne vrste znanj v skladu z zastavljenimi učnimi cilji in standardi. Taksonomije so v pomoč učiteljem, ki poskušajo učence pripeljati do čim bolj kvalitetnega in trajnega znanja (Rutar Ilc, b.d.). Poznamo več taksonomij znanja različnih avtorjev, na primer Bloomova taksonomija znanja, Marzanova delitev znanj in Gagnéjeva taksonomija. Slednja se uporablja tudi za opis MA dosežkov učencev v večini evropskih držav, tudi za analizo dosežkov NPZ MA pri nas.
Vsebuje naslednje stopnje:
Slika 4
Taksonomske stopnje po Gagneju
Prirejeno po Cotič M. in Žakelj, A. (2004). Gagnejeva taksonomija pri preverjanju in ocenjevanju matematičnega znanja. Sodobna pedagogika 55, (1), 182–192.
I. taksonomsko stopnjo – poznavanje in razumevanje pojmov znanja razdelimo na osnovna znanja in vedenja ter konceptualna znanja. Znotraj osnovnih znanj in vedenj gre za pomnjenje dejstev in pojmov, poznavanje MA izrazja in MA simbolov, njihov priklic, poznavanje specifičnih dejstev (definicij, formul, aksiomov, izrekov, odnosov, osnovnih lastnosti ipd.) ter oblikovanje osnovne mreže odnosov MA tem in vsebin (klasifikacije in kategorije znanj).
Konceptualna znanja se nanašajo na znanja, ki jih prinese izkušnja (izpostavljenost) določenemu pojmu in nosi razumevanje osnovnih znanj in vedenj. Ena od lastnosti matematičnega znanja je, da se oblikuje z dodajanjem novih konceptov na predhodno usvojene koncepte in so posamezni koncepti zelo povezani eden z drugim, poznavanje osnovnih konceptov (kot so koncept števila, koncept posameznih računskih operacij idr.) pa učenec uporablja v vseh nadaljnjih MA dejavnostih (Cotič in Žakelj, 2004).
II. taksonomska stopnja – izvajanje rutinskih postopkov se nanaša na uporabo pravil in obrazcev pri reševanju preprostih, nesestavljenih nalog in nalog z malo podatki.
III. taksonomska stopnja – uporaba kompleksnih postopkov zajema učinkovito rabo metod, postopkov, upoštevanje pravil in zakonov pri reševanju sestavljenih nalog z več podatki in več koraki.
IV. taksonomska stopnja – reševanje in raziskovanje problemov vključuje uporabo strategij reševanja MA problemov in aplikacijo znanja v vsakodnevne življenjske situacije.
• deklarativna znanja in vedenja
• konceptualna znanja
I. POZNAVANJE IN RAZUMEVANJE POJMOV
• rutinska proceduralna znanja
II. IZVAJANJE RUTINSKIH POSTOPKOV
• kompleksna proceduralna znanja
III. UPORABA KOMPLEKSNIH POSTOPKOV
• strategije reševanja problemov
• aplikativna znanja
IV. REŠEVANJE IN RAZISKOVANJE PROBLEMOV
2.2 UČENCI S PRIMANJKLJAJI PRI UČENJU MATEMATIKE
OPREDELITEV SPECIFIČNIH UČNIH TEŽAV PRI