Vážiaca funkcia

Pojem vážiacej funkcie sa v behaviorálnej ekonómii považuje azda za najväčší prínos prospektovej teórie. Je preto vhodné pristaviť sa pri tomto pojme a podrobnejšie si ho rozobrať.

Pred publikovaním prospektovej teórie sa ekonómovia i psychológovia snažili odvodiť tvar vážiacej funkcie od typických vzorov ľudského správania. V teórii očakávaného úžitku sa tolerancia a averzia voči riziku vysvetľovali iba zakrivením úžitkovej funkcie.

V prospektovej teórii sa averzia a tolerancia voči riziku vysvetľujú súčasným pôsobením hodnotovej funkcie a funkcie váh pravdepo-dobnosti. Súčasná kúpa žrebov lotérie i životnej poistky je vysvetlená nadhodnotením malých pravdepodobností. Kúpa poistky je prejavom averzie voči riziku, kúpa žrebu prejavom tolerancie rizika. Z toho vyplýva, že nadhodnocovanie malých pravdepodobností musí byť dosť

108

veľké na to, aby prekonalo konvexnosť hodnotovej funkcie v oblasti strát. Podobne je vyhľadávanie rizika prejavom nadhodnocovania malých pravdepodobností, ktoré je dosť veľké na to, aby prekonalo konkávnosť hodnotovej funkcie v oblasti ziskov. Vážiaca funkcia teda určite nemôže byť priamka, aspoň nie pre väčšinu ľudí vo väčšine životných situácií.

Vo svojom slávnom článku z roku 1979 poukázali Kahneman a Tversky na fakt, že ľudia inak posudzujú malé a inak veľké pravdepodobnosti. Respondentom dali dve možnosti: (a) šancu 0,1%

vyhrať 6000 eur alebo 0,2% šancu vyhrať 3000 eur. Obe možnosti dávali tú istú očakávanú hodnotu. Preferencie boli v prospech prvej ponuky s vyššou výhrou, hoci s nižšou pravdepodobnosťou. Svedčilo respondenti možnosť stratiť 6000 eur s 0,1% šancou alebo stratiť 3000 eur s šancou 0,2%. Tam sa väčšina respondentov rozhodla pre menšiu stratu, hoci s vyššou pravdepodobnosťou. Preferencie v oboch príkladoch nasvedčovali faktu, že pre malé hodnoty pravdepodobnosti p a w(p) platila subaditivita, pre w(rp) > rw(p) pre 0 < r <1. t.j. súčet pravdepodobností nebol pre respondentov rovný jednej ale menší. Inak povedané:

  p  w  1  p   1 w

Ide o jeden z kľúčových bodov prospektovej teórie, ktorý ju zároveň vymedzuje proti teórii očakávanému úžitku. Tam sa predpokladá, že súčet všetkých pravdepodobností je rovný jednej.

Napríklad pre dva doplňujúce sa javy platí: p + (1-p). Ak nám pri hode mincou padne hlava s pravdepodobnosťou 0,5, potom písmo musí padnúť s pravdepodobnosťou 1,0 - 0,5 = 0,5 a nie napríklad s pravdepo-dobnosťou 0,4 alebo 0,6.

Kahneman a Tversky však pri formulácii svojej teórie zdôrazňujú, že ľudia sa pri rozhodovaní neriadia skutočnými (objektívne existujúcimi) pravdepodobnosťami, ale subjektívnymi rozhodovacími váhami. Pri stanovovaní týchto váh nie je dôležitá len objektívna pravdepodobnosť javu, ale aj to, čo si respondent nejaký výsledok želá (resp. sa ho bojí), alebo nie.

109

Nie je prekvapením, ako málo ľudí je ochotných vsadiť veľké sumy pri hode mincou, ak sú rovnaké šance na výhru a stratu. Ak niekomu ponúkneme vyhrať 5000 eur, ak padne hlava a 5000 eur ak padne písmo, podľa teórie očakávaného úžitku by mal byť indiferentný voči možnosti hrať či nehrať. Obe možnosti by mu vďaka pravdepodobnosti výhry p = 0,5 mali pripadať rovnaké. Pre väčšinu ľudí je však subjektívna rozhodovacia váha w(0,5) menšia ako objektívna pravdepodobnosť p = 0,5 a do tejto hry by sa nikdy nepustili. Podľa experimentálnych meraní pri stanovovaní hodnôt vážiacej funkcie je váha w(0,5) v priemere 0,42 a nie „objektívnych“ 0,50. Preto ani súčet váh pravdepodobností w(p) +w(1-p) nemusí byť rovný jednej (čiže istej výhre), ale môže byť menší ako jedna. Túto vlastnosť váženia pravdepodobností Kahneman a Tversky nazvali podistota (subcertainty). Podistota je v pozadí všetkých typických preferencií Allaisovho a/alebo Ellsbergovho paradoxu (Allais 1953, Ellsberg 1961). Podistota vyjadruje podstatu ľudského posudzovania neistých javov a to, že súčet váh prislúchajúcich komplementárnym javom, je zvyčajne menší ako váha prislúchajúca istému javu.

Vážiaca funkcia navrhnutá v prvej verzii prospektovej teórie (Kahneman a Tversky 1979) dávala vyššie hodnoty váh pravdepo-dobnosti pre w(p) ako sú objektívne pravdepopravdepo-dobnosti p zhruba v intervale 0,0 - 0,1, v čom bol zachytený efekt nadhodnocovania váh u javov s nízkou pravdepodobnosťou. Potom však hodnoty w(p) klesali pod úroveň hodnôt p, v čom sa prejavuje efekt podistoty. Tento návrh funkcie spĺňal určité predpoklady o jej priebehu, treba však povedať, že nie všetky. Kahneman a Tversky vo svojom článku z roku 1979 pripustili, že nimi navrhovaný typ vážiacej funkcie síce odráža kľúčové formulácie prospektovej teórie, ale nedokáže zachytiť niektoré detaily, ako napríklad rozdielne rozhodovacie váhy pri súčasnom posudzovaní ziskov a strát (zmiešané prospekty). Okrem toho boli predpovede pôvodnej prospektovej teórie limitované len na dva prospekty s nenulovým výsledkom. Je však bežné, že rozhodnutie má viac alternatív ako len dve. Navyše pôvodná prospektová teória neposkytla toľko očakávaný matematický zápis funkcie váh pravdepodobnosti.

Tzv. kumulatívna prospektová teória (Kahneman a Tversky 1992) bola významným kvalitatívnym posunom v skúmaní princípov

ekono-110

mického rozhodovania. Oproti pôvodnej verzii prospektovej teórie priniesla dve významné zlepšenia:

 novú definíciu vážiacej funkcie;

 možnosť spracúvať rozhodnutia sa vyšším počtom alternatív ako dve.

Nová verzia funkcie predovšetkým zakomponovala princíp znižujúcej sa citlivosti (diminishing sensitivity) pre ohodnocovanie pravdepodobností. Pri vyhodnocovaní neistoty existujú dve prirodzené hranice: istota (pravdepodobnosť = 1) a nemožnosť (pravdepodobnosť = 0). Ľudia najcitlivejšie reagujú na zmeny pravdepodobnosti v tesnej blízkosti referenčných bodov. Nikto si nekúpi žreb do lotérie, kde sa nedá nič vyhrať. Ale stačí, aby šanca na výhru bola jedna k miliónu (čo je u väčšiny lotérií) a žreb si kúpi niekoľko stotisíc ľudí. Možnosť zvýšiť pravdepodobnosť z 0 na 0,000001 je teda veľmi atraktívna. Veľa z nás by si rado poistilo výhru z pravdepodobnosti 0,999999 na 1. Ale možnosť zvýšiť pravdepodobnosť výhry z 0,565343 na 0,565344 by asi nevyvolala veľký ohlas. Pre prospekty odhadované za podmienok neistoty implikuje princíp klesajúcej citlivosti:

 subaditivitu (súčet pravdepodobností nižší ako 1,0) pre veľmi málo pravdepodobné udalosti;

 superaditivitu (súčet pravdepodobností vyšší ako 1,0) pre takmer isté udalosti.

4. Kumulatívna prospektová teória ako teória poradového úžitku