UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
Poučevanje, Poučevanje na razredni stopnji
SAŠA PETERLIN SITAR
ANALIZA UČITELJEVIH OBRAVNAV RAČUNANJA DO 100 MAGISTRSKO DELO
LJUBLJANA, 2021
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
Poučevanje, Poučevanje na razredni stopnji
SAŠA PETERLIN SITAR
ANALIZA UČITELJEVIH OBRAVNAV RAČUNANJA DO 100 MAGISTRSKO DELO
Mentorica: prof. dr. Tatjana Hodnik
LJUBLJANA, 2021
~Mojemu očetu~
Veš, da je vse tako kot je bilo.
V vsaki stvari si, ki je v hiši, v mislih si, besedah naših,
da, celo v sanjah, le, da se tvoj korak
nič več ne sliši…
(J. Medvešek)
ZAHVALA
Iskreno in iz srca se zahvaljujem mentorici prof. dr. Tatjani Hodnik za strokovno in hitro pomoč pri nastajanju magistrskega dela.
Posebna zahvala gospe ravnateljici Majdi Kovačič Cimperman in mojim sodelavkam, ki so mi ves čas stale ob strani in se ob uspehih veselile skupaj z menoj.
Hvaležna sem tudi svoji družini, ker so verjeli vame in me ves čas spodbujali.
POVZETEK
V teoretičnem delu predstavljamo obravnavo razvoja pojma število oziroma štetja pri učencih in učenju naravnih števil in števila 0. Osredotočimo se tudi na učence z učnimi težavami pri matematiki, predstavljamo različne učne strategije in pomoči pri učenju. Predstavljamo izhodišča učnih pristopov za vpeljavo števil, vpeljavo računskih operacij seštevanja in odštevanja ter predstavimo vlogo raznovrstnih reprezentacij – konkretne, grafične in simbolne.
Teoretični del je izhodišče za obravnavo učiteljevega pristopa k poučevanju računanja do 100 v drugem razredu osnovne šole, hkrati pa predstavimo tudi vse predhodne korake – računanje do 10 in 20. Prikažemo postopke in učne pristope računanja v obsegu do 100 brez prehoda in s prehodom. Osredotočimo se na pomen zgoraj omenjenih reprezentacij, ki so ključne pri usvajanju matematičnih pojmov. Na kratko predstavimo tudi učni načrt za matematiko v osnovi šoli, ga pojasnimo in omenimo temeljna didaktična sredstva v prvem vzgojno-izobraževalnem obdobju.
V empiričnem delu raziskujemo in ugotavljamo, katere strategije in reprezentacije za pouk aritmetike v drugem razredu osnovne šole uporabljajo učitelji in na kakšen način jih vpeljujejo v razred. Raziskujemo, kakšne metode in oblike dela učitelji drugega razreda osnovne šole najpogosteje uporabljajo, kako pouk prilagajajo učencem z učnimi težavami in kakšen vpliv na poučevanje matematike ima dolžina delovne dobe učitelja. Predstavljamo ugotovitve, kako učitelji drugega razreda osnovne šole pristopajo in obravnavajo seštevanje in odštevanje do 100 ter kako učence postopno in hkrati tudi trajnostno pripeljejo do izpeljanega priklica dejstev, ki je najhitrejši in najučinkovitejši način računanja.
Ključne besede: razredni učitelji, seštevanje in odštevanje, strategije seštevanja in odštevanja, reprezentacije.
Analysis of Teachers' Numeracy Teaching up to 100 ABSTRACT
In the theoretical part, we discuss the development of numbers and the counting system and how students learn natural numbers and zero. We also focus on students with learning difficulties in mathematics and present various learning strategies and aids. We provide the starting points for approaches to teaching numbers and the arithmetic operations of addition and subtraction. Furthermore, we describe the role of various mathematical representations such as concrete, graphical and symbolic representations. The theoretical part serves as a basis for the discussion of teacher approaches to teaching addition and subtraction up to 100 in year 2 of primary schools. Previous steps such as addition and subtraction up to 10 and 20 are presented at the same time. We describe multiple methods and approaches to teaching and learning addition and subtraction up to 100, both with and without carrying. In particular, we focus on the importance of mathematical representations, which are crucial for the acquisition of mathematical concepts. Additionally, we refer to and describe the basic school mathematics curriculum, as well as touch upon some basic educational tools used in the first educational cycle.
In the empirical part, we discuss the strategies and mathematical representations teachers use to teach arithmetic in year 2 of primary schools and how they are implemented into the classroom. We examine the teaching methods and interactive patterns most commonly used by year 2 primary school teachers, the ways of adapting lessons for students with learning difficulties, and the effect of the length of teaching experience on teaching mathematics. We present findings on how year 2 primary school teachers approach and teach addition and subtraction up to 100 and how they gradually and effectively introduce students to derived fact strategies, which are the fastest and most efficient methods of addition and subtraction.
Keywords: primary school teachers, addition and subtraction, addition and subtraction strategies, mathematical representations.
KAZALO
UVOD...1
TEORETIČNI DEL ...2
1 UČENJE O ŠTEVILIH IN RAČUNSKIH OPERACIJAH ...2
1.1 Vloga raznovrstnih reprezentacij ...2
1.2 Izhodišča učnih pristopov za vpeljavo števil ...5
1.3 Izhodišča učnih pristopov za vpeljavo računskih operacij ...7
2 VPELJAVA ŠTEVIL ... 11
2.1 Štetje in števila do 10 ... 11
2.2 Štetje in števila do 20 ... 13
2.3 Štetje in števila do 100... 14
2.4 Štetje in števila pri učencih z učnimi težavami pri matematiki ... 15
3 RAČUNSKE OPERACIJE ... 18
3.1 Seštevanje in odštevanje števil do 10 ... 18
3.2 Seštevanje in odštevanje števil do 20 ... 21
3.3 Seštevanje in odštevanje števil do 100 ... 24
4 UČNI NAČRT ZA MATEMATIKO V DRUGEM RAZREDU OSNOVNE ŠOLE . 27 4.1 Naravna števila in število 0 ... 27
4.2 Računske operacije in njihove lastnosti... 28
4.3 Standardi znanja in minimalni standardi znanja prvega vzgojno-izobraževalnega obdobja ... 29
EMPIRIČNI DEL ... 31
5 OPREDELITEV RAZISKOVALNEGA PROBLEMA ... 31
5.1 Raziskovalna vprašanja ... 31
5.2 Metodologija ... 31
5.2.1 Vzorec ... 31
5.2.2 Opis postopka zbiranja podatkov ... 32
5.2.3 Postopki obdelave podatkov ... 32
5.3 Rezultati in interpretacija ... 32
5.4 Povzetek ugotovitev ... 43
6 ZAKLJUČEK ... 52
7 VIRI IN LITERATURA ... 54 8 PRILOGE
KAZALO GRAFOV
Graf 1: Struktura vzorca učiteljev drugega razreda glede na število let poučevanja. ... 32
Graf 2: Obkrožite, katera ponazorila uporabljate pri računskih operacijah do 100. ... 41
Graf 3: Obkrožite, katera učbeniška gradiva uporabljate. ... 41
Graf 4: Kako uspešni se počutite pri obravnavanju seštevanja in odštevanja do 100? ... 42
Graf 5: Kako uspešni so po vašem mnenju učencu pri usvajanju seštevanja in odštevanja do 100?... 43
Graf 6: Pogostost izvajanja oblik dela pri obravnavi seštevanja in odštevanja do 100. ... 45
Graf 7: Učiteljev pristop do učencev z učnimi težavami pri matematiki. ... 46
KAZALO SLIK Slika 1: Most med reprezentacijami (Hodnik Čadež, 2014, str. 38) ...4
Slika 2: 'Prazna' številska os (Hodnik Čadež, 2014, str. 37) ...4
Slika 3: Grafična in simbolna ponazoritev števila 5 (Cotič idr., 2015, str. 22) ... 11
Slika 4: Primeri ponazoritev števil 10, 7, 9 in 6 na 2 x 5-vrstičnih porazdelitvah ... 12
Slika 5: Stotični kvadrat ... 15
Slika 6: Zaboj s palčkami ... 16
Slika 7: Veriga sto ... 16
Slika 8: Barvne Dienesove kocke ... 17
Slika 9: Dejavnost, s katero učenci spoznajo zakon o zamenjavi ... 20
Slika 10: Grafična ponazoritev zakona o zamenjavi (Manfreda Kolar in Urbančič Jelovšek, 2010, str. 62) ... 20
Slika 11: Grafična ponazoritev nasprotnih računskih operacij (Cotič, Felda in Hodnik Čadež, 2013, str. 48) ... 21
Slika 12: Računanje v drugi desetici s pomočjo analogije (Cotič, Felda in Hodnik Čadež, 2013, str. 13) ... 22
Slika 13: Prikaz učenčevega zapisa v zvezek (osebni arhiv) ... 23
Slika 14: Prikaz učenčevega zapiska v zvezek (osebni arhiv) ... 24
Slika 15: Učenčev zapis v zvezek, prištevanje enomestnega števila k dvomestnemu s prehodom (osebni arhiv) ... 25
Slika 16: Učenčev zapis v zvezek, seštevanje dveh dvomestnih števil s prehodom pri enicah (osebni arhiv)... 25
Slika 17: Učenčev zapis v zvezek, odštevanje dveh dvomestnih števil brez prehoda (osebni arhiv)... 25
Slika 18: Učenčev zapis v zvezek, odštevanje enomestnega števila od dvomestnega s prehodom (osebni arhiv) ... 26
KAZALO PREGLEDNIC Preglednica 1: Struktura vzorca učiteljev drugega razreda glede na spol ... 31
Preglednica 2: Anketirani so glede na stopnjo strinjanja s trditvami s področja obravnav računanja v obsegu do 100 odgovarjali na lestvici od 1 (sploh se ne strinjam) do 5 (popolnoma se strinjam). ... 33
Preglednica 3: Način učiteljevih obravnav računskih operacij seštevanja in odštevanja ... 35
Preglednica 4: Račun seštevanja enic s prehodom: 24 + 9 = ... 35
Preglednica 5: Račun seštevanja dvomestnih števil brez prehoda 34 + 21 = ... 36
Preglednica 6: Račun seštevanja dvomestnih števil s prehodom 49 + 37 = ... 36
Preglednica 7: Račun odštevanja s prehodom čez desetico 24 – 9 = ... 36
Preglednica 8: Račun odštevanja dvomestnih števil brez prehoda 34 – 21 = ... 36
Preglednica 9: Račun odštevanja dvomestnih števil s prehodom 47 – 39 = ... 37
Preglednica 10: Ponujena ponazorila učencem kot pomoč pri seštevanju in odštevanju ... 37
Preglednica 11: Koliko časa porabite za razlago obravnavanja seštevanja do 100 s prehodom?... 38
Preglednica 12: Koliko časa porabite za razlago obravnavanja odštevanja do 100 s prehodom?... 38
Preglednica 13: Ocenite pogostost izvajanja različnih oblik dela pri obravnavi seštevanja in odštevanja do 100 ... 38
Preglednica 14: Ocenite pogostost izvajanja oblik in pristopov dela in pogostost pri različnih pristopih in strategijah z učenci, ki imajo učne težave pri matematiki ... 39
Preglednica 15: Vidiki računanja z izbranimi ponazorili ... 43
Preglednica 16: Pogostost postopkov računanja seštevanja ... 44
Preglednica 17: Pogostost postopkov računanja odštevanja ... 44
Preglednica 18: Rezultati Kruskal-Wallisovih testov ugotavljanja razlik med učitelji glede na delovno dobo v izbiri strategij pri učencih z učnimi težavami pri seštevanju in odštevanju do 100 ... 47
Preglednica 19: Rezultati Kruskal-Wallisovih testov ugotavljanja razlik med učitelji v obravnavi seštevanja in odštevanja do 100 ... 48
UVOD
Skupaj z učenjem štetja se učenec od prvega razreda naprej sistematično uči računanja, in sicer v prvem razredu do 20, v drugem do 100 (Učni načrt za matematiko, 2011). Učiti jih moramo spretnosti računanja, pri čemer je bistveno, da se tega, vsaj pri računanju v manjšem obsegu števil, naučijo z razumevanjem. Le tako bodo usvojeno znanje lahko uporabili v različnih situacijah (Cotič in Hodnik Čadež, 2002).
Znanje seštevanja in odštevanja do 100 je zelo pomembno pri izvajanju vseh nadaljnjih računskih operacij. Zato smo se odločili raziskati in ugotoviti, katere strategije in reprezentacije pri pouku aritmetike v drugem razredu uporabljajo učitelji in na kakšen način. Raziskati smo želeli, kako učitelji pristopajo in obravnavajo seštevanje in odštevanje do 100 ter kako učence postopno in hkrati tudi trajnostno pripeljejo do izpeljanega priklica dejstev, ki je najhitrejši in najučinkovitejši način računanja. Učenci bodo sposobni priklicati aritmetična dejstva iz baze podatkov le takrat, ko bodo le-ti v bazi shranjeni. Zato je pomembno, da imajo učenci organiziranih dovolj različnih dejavnosti, s katerimi bodo oblikovali povezavo med računom in ustreznim aritmetičnim dejstvom. Učitelji drugega razreda osnovne šole pogosto izhajajo pri poučevanju matematike iz učbeniških gradiv, nekatera od teh so lahko tudi problematična z vidika obravnavanja in poučevanja matematičnih pojmov. Z izsledki raziskave želimo učiteljem ponuditi v razmislek učinkovitost učnih pristopov pri njihovem poučevanju aritmetičnih vsebin.
Magistrsko delo obravnava izhodišča učnih pristopov za vpeljavo štetja in števil ter računanja v obsegu do 100 v drugem razredu osnovne šole. Podrobno smo prikazali tudi vse predhodne korake – števila in računanje do 10 in 20. Tako teoretični del obsega štiri področja, kjer predstavimo pomen štetja in števil ter računanja do 10, do 20 in do 100. Vključili smo strategije, načine, postopke in reprezentacije, iz katerih izhaja učitelj pri poučevanju aritmetičnih vsebin.
V magistrskem delu smo izbrali in prikazali tudi nekaj kakovostnih primerov grafičnih ponazoritev števil in računskih operacij iz različnih učbeniških gradiv. V empiričnem delu smo raziskovali in analizirali učiteljeve obravnave računanja do 100. Rezultate smo zbrali v preglednice in grafe ter jih tudi interpretirali, v zaključku pa smo zapisali vse ključne ugotovitve.
TEORETIČNI DEL
1 UČENJE O ŠTEVILIH IN RAČUNSKIH OPERACIJAH
Z matematiko se srečujejo že najmlajši otroci, pa se tega niti še ne zavedajo (števila, geometrijske oblike, vzorci, orientacija v prostoru …). Tako imajo že pred vstopom v šolo izoblikovano neko matematično znanje in to znanje je pridobljeno na izkušnjah iz vsakdanjega življenja. Že takoj na začetku prvega razreda je zato zelo pomembno, da učenci spoznavajo in se učijo matematičnih dejstev na način, ki temelji na konkretnih stvareh in konkretnih operacijah.
Zato mora razumevanje pojma število učitelj graditi na otrokovih izkušnjah, ki jih je otrok pridobival že v vrtcu in v svojem okolju. Tudi Cotič, Felda in Hodnik Čadež (2003) se strinjajo, da je naloga učitelja, da pojem naravnega števila in števila 0 ustrezno predstavi učencem.
Usvajanje pojma naravnega števila mora biti postopno, in preden učitelj preide na simbolno raven zapisa računov, mora dovolj časa in pozornosti posvetiti konkretni (enaktivni) in slikovni (ikonični) ravni (prav tam). Učitelj ravno tako ne sme zanemariti grafičnih ponazoritev in matematičnih simbolov, saj imajo vse tri vrste zunanjih reprezentacij v procesu pridobivanja matematičnih pojmov velik pomen in točno določeno vlogo (Hodnik Čadež, 2014). Ključno je vzpostavljanje povezav med reprezentacijami, kajti le na tak način reprezentacije podpirajo miselni proces.
Učenci pri računanju najprej spoznajo pojem seštevanja naravnih števil in nato odštevanja.
Operacija odštevanja je za učence bolj zahtevna kot seštevanje, ker se pojavlja v dveh oblikah:
v odvzemanju in primerjavi velikosti dveh množic (Kavkler, 1996). Sicer se tudi seštevanje pojavlja v dveh oblikah, in sicer kot združevanje in dodajanje, a se konceptualno oz. z vidika miselnih procesov manj razlikujeta kot pri obliki odštevanja.
Tako tudi avtorici Novljan in Šemrl (1996) poudarjata, da naj učitelji pri vpeljavi računskih operacij seštevanja in odštevanja upoštevajo postopnost vpeljave, ki temelji na ustrezni predstavitvi pravil, postopkov in vrsti reprezentacije. Učenci morajo uporabljati čim več konkretnih predmetov, kasneje pa naj rešujejo probleme s pomočjo grafičnih reprezentacij, ki so v povezavi s simbolnim zapisom.
1.1 Vloga raznovrstnih reprezentacij
Za usvajanje matematičnih pojmov so ključne reprezentacije pojmov. Reprezentacija pojma je tako konkretna, grafična in simbolna. Tako Chapman (2010, v Hodnik Čadež, 2014) poudarja, da reprezentacije omogočajo učencem, da komunicirajo na matematični način, da modelirajo in interpretirajo realni, socialni in matematični kontekst ter da raziskujejo in interpretirajo pomene matematičnih pojmov, relacij in procedur.
Bruner (1966) je med drugim tudi zagovarjal, da je pomemben vrstni red vključevanja reprezentacij v pouk matematike; najbolje od konkretne do simbolne pri obravnavi posameznega pojma.
Novejše raziskave kažejo, da je fleksibilna uporaba strategij in reprezentacij tista ključna kompetenca, ki jo mora učitelj razvijati pri učencih pri pouku matematike (Hodnik Čadež, 2014). Načini, kako učenci ravnajo z reprezentacijami, omogočajo učitelju spremljanje in ocenjevanje učenčevega napredovanja v matematičnem znanju. Učitelj mora biti kritičen do vrst reprezentacij in izbrati tiste reprezentacije, ki učencu pomagajo pri razumevanju
matematičnih pojmov. Upoštevati mora učenca, njegove sposobnosti za interpretacijo reprezentacij, mu ponuditi čim več različnih reprezentacij, da učenec osmisli zapisano, narisano, povedano, konkretno prikazano, pri tem pa razvija kompetence za reševanje matematičnih nalog in napreduje v matematičnem znanju (prav tam).
Razlikujemo notranje (miselne predstave) in zunanje (okolje) reprezentacije. Kognitivni razvoj temelji na dinamičnem prepletu miselnih predstav in okolja, in to pomeni, da je učenje lahko uspešno le v procesu interakcije med zunanjimi in notranjimi reprezentacijami (Hodnik Čadež, 2006).
Pri usvajanju aritmetičnih vsebin učitelj uporablja tri vrste zunanjih operacij.
‒ Konkretne reprezentacije
Konkretne reprezentacije so predmeti, ki jih učenec vidi, se jih dotika, premika … ter se tako ob rokovanju z njimi uči (Hodnik Čadež, 2001). Didaktičen material glede na sestavljenost delimo na strukturiran in nestrukturiran. Nestrukturiran material izvira iz otrokovega okolja in so mu ti predmeti poznani, npr. kocke, gumbi, storži, kamenčki, fižolčki, žogice … Strukturiran didaktični material pa ima strukturo, katere namen je, da jo učenec usvoji v procesu učenja matematičnih pojmov. V to skupino ponazoril uvrščamo desetiške enote, stotični kvadrat, številski trak, pozicijsko računalo itd. (prav tam).
Učitelj mora pri poučevanju aritmetičnih vsebin učencem predstaviti čim več didaktičnega materiala, s katerim učenci operirajo in preko različnih dejavnosti usvojijo matematične pojme.
Pri tem mora biti pozoren, da učenec v uporabi didaktičnega materiala vidi matematično strukturo in da material uporabi tako, da razvija matematično mišljenje. Tudi Hodnik Čadež (2014) pravi, da če didaktični material pri učencih ne sproži določenega miselnega procesa, potem je le-ta didaktično neustrezen.
V raziskavi o vlogi didaktičnih sredstev pri pouku matematike, ki sta jo izvedli Hodnik Čadež in Manfreda Kolar (2009), je bilo ugotovljeno, da imajo didaktična sredstva po mnenju učiteljev razrednega pouka pomembno vlogo. Ta vloga se kaže pri poglabljanju razumevanja vsebin, motiviranju učencev, pri reševanju matematičnih problemov in tudi pri iskanju novih načinov dela (prav tam).
‒ Grafične reprezentacije – vizualne ponazoritve
Grafične reprezentacije so pri matematiki na razredni stopnji najbolj zastopane pri ponazoritvi matematičnih idej in predstavljajo tako imenovani most med konkretnimi reprezentacijami in simbolnimi reprezentacijami, ki so pri matematiki nujno potrebne. Heedens (1986 v Hodnik Čadež, 2014) je tako imenovani most, ki vodi od konkretnega proti abstraktnemu, predstavil kot most grafičnih reprezentacij, ki so sprva semikonkretne in kasneje semiabstraktne.
Slika 1: Most med reprezentacijami (Hodnik Čadež, 2014, str. 38)
Matematični učbeniki in delovni zvezki so polni grafičnih predstavitev, veliko teh predstavitev je dobrih, moramo pa biti tudi kritični, ker so nekatere predstavitve matematično vprašljive in celo didaktično neustrezne (prav tam).
Dobre grafične reprezentacije učencem pomagajo usvojiti koncept naravnega števila. Tako izbiro grafične ponazoritve določuje narava obravnavanega matematičnega pojma in ustrezna izbira konkretnega materiala pri obravnavi istega pojma. Neizbežno in hkrati nujno je namreč sprotno vzpostavljanje povezav med obema reprezentacijama (Hodnik Čadež, 2001).
Slikovne ponazoritve množice elementov za določanje količine in ponazoritev manjših števil (enic) so ilustracije predmetov, živali in oseb, ki so vzete iz okolja, so učencem blizu in imajo zato pri učencih motivacijsko vlogo.
Grafične ponazoritve desetiških enot najpogosteje ponazorimo s sliko didaktičnega materiala, npr. link kock, kjer enico predstavlja ena kocka, desetico stolpič desetih kock in stotico deset stolpičev po deset kock.
Številska os predstavlja semiabstraktno reprezentacijo. Sprva uporabljamo številsko os z zapisi števil do 10, do 20, do 100. Kasneje je zelo dober pripomoček za učence tudi 'prazna' številska os, ki je zelo abstraktna za učenca, ker mora imeti dobro predstavo o številih. Po 'prazni' številski osi se učenec poljubno premika, si predstavlja števila na svoj način in razvije lastne strategije računanja (Hodnik Čadež, 2014).
Slika 2: 'Prazna' številska os (Hodnik Čadež, 2014, str. 37)
‒ Matematični simboli
V prvem triletju osnovne šole mora učitelj pri poučevanju aritmetike res dovolj časa in pozornosti nameniti konkretni in grafični reprezentaciji, šele potem lahko preide na simbolno
raven.
Simbolni zapis v matematiki sestavljajo števke, znaki za računske operacije in znaki za relacije.
Učitelj naj učence že na začetku navaja, da ob vsaki dejavnosti pripovedujejo, kaj delajo, ob grafičnih reprezentacijah pa pripovedujejo, kaj vidijo na sliki. Ob tem ko učenec pripoveduje, kaj vidi, uporablja besede (dodati, odvzeti, več, manj, skupaj, dobiti ipd.), ki ga bodo kasneje vodile do razumevanja zapisa matematičnih pojmov (+, –, ꞊, <, >) in ne le do uporabe brez razumevanja (Hodnik Čadež, 2014).
Pri usvajanju matematičnih simbolov uporabljamo vse tri vrste reprezentacij istočasno.
Seštevanje predstavimo konkretno (npr. učencem pokažemo 3 jabolka in še 2 jabolki ter učence vprašamo, koliko jabolk imamo – učenci odgovorijo, da pet jabolk in to storijo s preštevanjem), nadaljujemo z grafično reprezentacijo (jabolka narišemo (semikonkretna reprezentacija) ali/in ponazorimo s krogci, kvadratki, pikami ipd. (semiabstraktna reprezentacija)), na koncu vpeljemo še s simbolnim zapisom (3 + 2 = 5).
Učenca, ki zmore računati na simbolni ravni, naj ga učitelj ne spodbuja v delo s konkretnim ali grafičnim ponazorilom (Hodnik Čadež, 2001). Učitelj se mora tudi zavedati, da niso vsi učenci pri enaki starosti na enaki ravni znanja. Učenec naj uporablja prste, konkretne pripomočke in grafične zapise, toliko časa, dokler ne usvoji simbolne ravni. Učitelj naj omogoči učencem, da si izberejo tisto vrsto reprezentacije, ki je v določeni situaciji njemu najprimernejša in najučinkovitejša.
1.2 Izhodišča učnih pristopov za vpeljavo števil
Takoj na začetku prvega razreda so učenci po Piagetu (Labinowitz, 2010) na prehodu iz predoperacionalne stopnje na konkretno stopnjo. Pri predoperacionalni stopnji so učenci še pod močnim vtisom vizualnih zaznav, stvari oziroma predmete morajo videti, se jih dotakniti, jih prijeti in premikati. Prav tako niso zmožni preprostega logičnega sklepanja.
Verbalno štetje je prvo otrokovo spoznanje s števili. Pri tem pa nas ne sme zavesti dejstvo, da otrok, ki šteje, tudi razume pojem števila. Namreč to, da otrok pozna imena števil, še ne pomeni, da razume njihov pomen (Labinowicz, 2010).
Piaget za razumevanje pojma števila poudarja pomen predštevnih dejavnosti, hkrati pa ne pripisuje velikega pomena dejavnosti štetja (Labinowicz, 2010). Manfreda Kolar (2006) zagovarja dejstvo, da je štetje najprej preštevanje, ki ni nujno povezano z razumevanjem, z nadaljnjimi dejavnostmi pa štetje pri otroku že v predšolskem obdobju vodi v pravo štetje, torej v ustrezno prirejanje eden enemu in določanje manjšega števila objektov. Neposredno s štetjem pa je povezan pojem število, ki v izhodišču za otroka pomeni število objektov. Ko govorimo o štetju, pa imamo v mislih principe štetja, ki so (prav tam):
Princip povratno enoličnega prirejanja
Otrok vsakemu od preštevanih predmetov priredi natanko eno besedo (številko, števnik, nekonvencionalno oznako). Pri tem mora uskladiti dva procesa, in sicer delitev predmetov, pri tem učenec loči preštete predmete od še ne preštetih (to lahko stori v mislih ali fizično, da se jih dotika in premika z roko) in poimenovanje različnih besed oziroma oznak za preštete predmete. Tu je pomembno to, da besedo uporabi za vsak predmet le enkrat. Pri tem morata biti oba procesa usklajena, ker se drugače pojavljajo napake. Te napake, ki se lahko pojavijo, so:
‒ en predmet označimo več kot enkrat ali pa ga izpustimo,
‒ eno besedo uporabimo pri preštevanju več kot enkrat,
‒ neusklajenost obeh procesov, na primer štejemo še potem, ko je že zmanjkalo predmetov ali pa prezgodaj prenehamo s štetjem.
Princip urejenosti
Pri tem principu je poudarek na urejenosti različnih besed, ki morajo biti razporejene v stalnem nesprejemljivem vrstnem redu. Tudi pri tem principu se pokaže težava, namreč, kako naj si otrok zapomni dolgo listo urejenih besed. Zato točnost tega načela lahko pričakujemo takrat, kadar ima otrok manjšo množico predmetov.
Princip kardinalnosti
Princip kardinalnosti otroku pove, da ima zadnji števnik, ki ga je poimenoval, prav poseben status, namreč določi moč množice. Tako je princip kardinalnosti v tesni povezavi s prejšnjima opisanima principoma. Otrok mora razumeti prva dva principa, a je lahko uspešen pri tem, zaradi tega se ta princip običajno razvije kasneje.
Princip abstrakcije
Kot nam prvi trije principi povedo, kako štejemo, nam princip abstrakcije določa, da se lahko prejšnji trije principi uporabijo za katerokoli množico stvari. Te stvari so lahko fizične narave ali pojmi, ki so nefizične narave. Vendar pa pri tem še vedno obstaja odprto vprašanje, namreč, če se otroci zavedajo tega širokega spektra možnih množic, ki jih lahko štejejo, da lahko štejejo tudi pojme in heterogene množice.
Princip nepomembnosti vrstnega reda
Zadnji princip je skupek vseh štirih principov. Število, ki ga s štetjem priredimo isti množici, je vselej isto in hkrati neodvisno od vrstnega reda elementov preštevane množice.
Otrok pri upoštevanju tega principa ve, da:
‒ so preštevanci stvari in ne samo izgovorjene besede (ena, dve …), se pravi, da določen števnik ne opredeljuje točno določenega objekta,
‒ so uporabljeni števniki poljubni, ker so le časovno vezani na določen objekt in niso njegova lastnost, in da ko je štetje končano, ni več nobene povezave med števniki in prej preštevanimi predmeti,
‒ je kardinalno število nespremenjeno, in to ne glede na vrstni red preštevanja.
Če povzamemo principe štetja, lahko rečemo, da prvi trije principi pojasnjujejo, kako šteti, četrti nam pove, kaj šteti, peti princip pa povezuje vse prejšnje principe.
Tako sta se v osemdesetih letih izoblikovali dve različni teoriji, ki opredeljujeta odnos med razumevanjem principov štetja in izvajanjem štetja. R. Gelman s sodelavci (v Manfreda Kolar, 2006) je v teoriji zagovarjal stališče, da je veščina štetja pogojena z razumevanjem principov.
Nasprotno pa sta K. Wynn (1990) in D. Briars in Siegler (1984) menila, da se veščina štetja razvije pred razumevanjem principov, torej da otroci znajo šteti, preden poznajo principe štetja (prav tam). Enako je potrdila raziskava, ki jo je izvedla Manfreda Kolar (2000 v Manfreda Kolar, 2006), in je pokazala, da so otroci šteli kocke, ki so bile postavljene prednje tako, da so se vsake dotaknili s prstom. Ko so prešteli vse kocke, na vprašanje, koliko je vseh kock, niso znali odgovoriti in so ponovno začeli šteti. To dokazuje, da otroci še ne razumejo principa
kardinalnosti, se pravi, da zadnji izgovorjeni števnik določa moč množice (prav tam).
Da učenci štetje razumejo, ga morajo izvajati na različne načine. Učenec naj začne z načinom štetja, ki je njemu najbližji, kasneje in postopoma pa naj preide na bolj kompleksne strategije (Markovac, 1990).
Učenec naj šteje v različnih situacijah in na različne načine, te situacije so (prav tam):
Šteje predmete, ki jih lahko premika
Učenec ima na voljo različne predmete, ki so lahko postavljeni v vrsti, več vrstah, krogu ipd.
To je za učenca najlažji način preštevanja, hkrati pa mu tak način omogoča vizualno, kinestetično in taktilno zaznavanje preštevanih predmetov.
Šteje predmete, ki se jih lahko dotakne z roko, vendar jih ne more premakniti Učenec šteje sličice v knjigi, omare, mize, stole ipd.
Šteje predmete tako, da nanje pokaže z roko
Učenec šteje predmete, ki jih vidi, ne more pa jih premakniti ali se jih dotakniti, predmete šteje le s pogledom. Učitelj mora učenca naučiti, da predmete uredi, preden jih začne šteti.
Šteje predmete, ki se gibajo oziroma premikajo
Učenec šteje avtomobile na cesti, pešce na pločniku, kolesarje na kolesarski stezi, vagone na vlaku …
Šteje pojave, ki sledijo drug drugemu
Učenec šteje število udarcev na boben, število ploskov z dlanmi, število kapljic iz pipe ipd. Pri tem početju mora biti še dodatno pozoren, saj lahko mine več časa med posameznim dejanjem pojava.
Šteje v mislih, šteje stvari, ki jih ne vidi
Ta način je za učenca najbolj abstraktni in najtežji, ker mora imeti učenec dobro predstavo že prej zaznanih predmetov, npr. učenec v mislih šteje okna, ki jih imajo pri domači hiši.
Razvoj strategij računanja, ki jih predstavimo v nadaljevanju, je odvisen od razvoja strategij štetja. Otrok, ki ima bolj razvito strategijo štetja, bo imel tudi bolj razvito strategijo računanja, zato bo pri delu hitrejši in učinkovitejši (Kavkler, 1994).
1.3 Izhodišča učnih pristopov za vpeljavo računskih operacij
Pri uporabi strategij seštevanja in odštevanja učenci postopno prehajajo od enostavnih do kompleksnejših in abstraktnejših strategij, z vsako novo pridobljeno strategijo pa je povezano konceptualno znanje (Manfreda Kolar, 2006).
Predstavili bomo stopnje v razvoju strategij seštevanja in odštevanja (Fuson, 1992; Baroody in Ginsburg, 1986; Kavkler, 1997 v Manfreda Kolar, 2006), ki so naslednje:
‒ konkretno štetje,
‒ konkretno verbalno štetje,
‒ verbalno-mentalno štetje,
‒ izpeljan priklic dejstev.
Konkretno štetje:
Z velikostjo števil v nalogah so pogojene strategije, s katerimi učenci določijo moč množice predmetov. Tako pri nalogah z majhnim številom učenci uporabijo strategijo neposrednega zaznavanja vzorca, pri nalogah z večjim številom pa uporabijo števno proceduro (Fuson, 1992 v Manfreda Kolar, 2006).
Pri strategiji konkretnega štetja je učenec s problemsko situacijo soočen prek neposrednega stika s predmeti, s katerimi operira. Če pojasnimo na primeru naloge seštevanja: Pred učenca postavimo 7 žog in nato dodamo še 2 žogi; učenec lahko s preštevanjem, tako da se vsake žoge dotakne, in končnim izgovorjenim številom določi rezultat. Lahko pa to naredi enako, le brez fizičnega dotikanja predmetov.
Pri nalogah odštevanja pa lahko učenec uporabi več različnih strategij (prav tam):
‒ Učenec od začetnega števila predmetov (9) odvzema zahtevano število predmetov (2), nato rezultat (7) določi s štetjem preostalih predmetov.
‒ Učenec nastavi najprej število predmetov, ki jih mora odvzeti (2), nato dodaja predmete toliko časa, da doseže začetno stanje (9), rezultat mu predstavljajo dodani predmeti (7).
‒ Učenec nastavi obe števili, zmanjševanec in odštevanec, in nato prireja predmete ena na ena. Razliko dobi s preštevanjem predmetov, ki nimajo para (7).
Markovac (1990) predstavi načine vpeljave računskih operacij seštevanja in odštevanja na podoben način:
‒ Združevanje množic s konkretnimi predmeti (Markovac, 1990):
Z združevanjem različnih množic učencem predstavimo seštevanje. Sadje razdelimo na jabolka in banane. Učitelj učencem predstavi dve množici – 3 jabolka in 2 banani. Nadaljuje z razlago in hkrati pojasnjuje potek seštevanja: »Združili smo množico s tremi jabolki in množico z dvema bananama ter dobili skupno množico petih sadežev.« Učitelj naj združevanje dveh množic razdruži tudi nazaj, ker s tem učencem že prikaže povratnost: »Pet sadežev je enako trem jabolkom in dvema bananama.«
‒ Združevanje konkretnih predmetov, ki niso raznovrstni (Markovac, 1990):
Pri tem načinu ne združujemo različnih množic, ampak različne predmete, ki se med seboj ločijo, npr. po barvi ali obliki. Pojasnimo lahko na primeru, ko ima učenec na primer na voljo tri rdeče kocke in dve rumeni, ki jih zbere skupaj in pri tem ubesedi svoje dejanje: »Če dam skupaj tri rdeče kocke in dve rumeni, dobim skupaj pet kock.«
‒ Odvzemanje množice konkretnih predmetov (Markovac, 1990):
Odštevanje z odvzemanjem množice konkretnih predmetov: na primer od množice 3 jabolk in 2 banan odvzamemo 3 jabolka in ostaneta nam 2 banani.
Učitelj ponovno z razlago pojasnjuje potek odštevanja z odvzemanjem konkretnih predmetov:
»Od 5 sadežev smo odvzeli 3 jabolka in ostali sta nam dve banani.«
‒ Odvzemanje konkretnih predmetov, ki niso raznovrstni (Markovac, 1990):
Pri tem načinu je razlika v tem, da odvzemamo posamezne predmete, in ne različnih množic predmetov. Če pojasnimo na primeru, ima učenec na voljo 5 kock, od katerih odvzame 3 kocke
in ostaneta mu še dve kocki.
Konkretno verbalno štetje:
V to skupino strategij bomo uvrstili načine seštevanja in odštevanja s pomočjo štetja, vendar pri tej strategiji naloge niso več oprte na konkretne predstavitve, s katerimi bi manipulirali z učenci, hkrati so naloge podane ustno ali simbolno. Ker učenec nima konkretnega materiala, ga spodbudi k uporabi prstov na rokah (Manfreda Kolar, 2006).
Pri seštevanju lahko učenec na več načinov uporabi svoje prste kot pomoč pri seštevanju:
‒ Najprej nastavi prvi seštevanec (5), nato drugi seštevanec (3), nato začne preštevati vse iztegnjene prste od začetka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 in zadnje izgovorjeno število mu pove rezultat (8).
‒ Ko učenec začne razlikovati vzorce prstov za različna števila, lahko takoj nastavi število prstov za prvi seštevanec (5) in šteje 1, 2, 3, 4, 5, nato nadaljuje s prištevanjem drugega seštevanca (3) 6, 7, 8.
‒ Učenec nastavi s prsti prvi seštevanec (5) in nadaljuje s prištevanjem drugega seštevanca 6, 7, 8.
Pri odštevanju učenec postopke odvzemanja uporablja po enakih postopkih, kot so opisani pri seštevanju.
Verbalno-mentalno štetje:
Fuson (1992, v Manfreda Kolar, 2006) je ugotovila, da večina otrok spontano odkriva skrajšane postopke verbalnega štetja, ki jim nadomestijo štetje konkretnih predmetov in štetje s pomočjo prstov. Ti postopki so naslednji (prav tam):
‒ Štetje vsega: ta postopek je enak, kot smo ga opisali pri konkretno verbalnem štetju, vendar pa tokrat otrok nima za pomoč prstov (na primer: računu 7 + 2, učenec priredi zaporedje števnikov 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 … 8, 9).
‒ Štetje od prvega seštevanca naprej: učenec opusti zaporedje števnikov, ki ponazarjajo prvi seštevanec in ga nadomesti s kardinalnim številom prvega seštevanca. Strategijo lahko uporabi pri seštevanju in odštevanju. (na primer: račun 7 + 2, učenec temu računi priredi zaporedje števnikov 8, 9).
‒ Štetje od večjega števila (na primer: račun 2 + 7, učenec zamenja seštevanca med seboj in začne z večjim, se pravi 8, 9).
‒ Štetje nazaj: račun 7 – 4, učenec šteje: 6, 5, 4, 3; pri čemer zadnji izgovorjeni števnik pomeni rezultat.
‒ Štetje naprej: račun 7 – 4, učenec šteje 5, 6, 7; število izgovorjenih besed (3) pomeni rezultat.
‒ Primerjamo dve količini enakih predmetov: učenec primerja dve količini predmetov in se pri tem sprašuje, česa je več in za koliko. Primerjanje dveh količin vpeljemo preko besedilne naloge (na primer: Luka ima 5 bonbonov, Matej ima 2 bonbona. Koliko bonbonov ima Luka več kot Matej?).
Izpeljan priklic dejstev:
To strategijo uporablja učenec, ki že ima ponotranjena določena aritmetična dejstva. Račune, kjer se seštevanca pojavljata v parih, si učenci lažje zapomnijo in to znanje jim služi za reševanje zahtevnejših računov (na primer: račun 8 + 7 bo učenec rešil tako, da si bo priklical iz spomina vsoto para 7 + 7 in dodal 1).
Učenec pri računu odštevanja poveže z znanjem seštevanja, ker si račun 5 – 3 = 2 pojasni na primeru seštevanja, namreč 2 + 3 = 5.
Tako je priklic aritmetičnih dejstev najhitrejša in najučinkovitejša metoda.
2 VPELJAVA ŠTEVIL 2.1 Štetje in števila do 10
Wright, Collins in Tabor (2012) opozorijo na ključna področja znanj o številih, ki jih učenci usvojijo v prvih treh letih šolanja. Ta področja so vezana na spoznavanje števil in štetje, sestavo števil od 1 do 20, koncept vrednosti desetiškega sistema, seštevanje in odštevanje števil v različnih obsegih, množenje in deljenje ter pisno računanje (prav tam).
Manfreda Kolar (2014) svetuje, da naj učitelj pri uvajanju števil izhaja iz štetja. Števila naj učitelj ne vpeljuje z dejavnostmi razvrščanja in formiranja množic, ampak iz situacij iz vsakdanjega življenja, kjer otrok spontano šteje. Tudi Cotič, Felda in Hodnik Čadež (2003) poudarjajo, da v nasprotju s starim učnim načrtom, kjer so pojmi iz matematike na začetku šole temeljili na množicah, po novem vpeljujemo tako, kot jih je uporabljal človek v pradavnini in je vsaki ovci priredil kamenček ter tako zvečer vedel, ali so se vse ovce vrnile. Kasneje je začel šteti s prsti in vsakemu številu izbral ime in simbol.
Naštevanje števil do deset vpeljemo po deduktivni poti, ker se morajo tega učenci enostavno naučiti na pamet.
Osnovni cilj vpeljevanja števil je utrditev količinskih predstav, pri čemer naj učenci najprej preštevajo objekte v množicah do 5 objektov. Preden učitelj uvede simbolni zapis števil, pa mora poudariti in učencem predstaviti še ikonično ponazoritev števil. To naredi tako, da vsako število ponazori z ustreznim številom pik, črtic idr. (Manfreda Kolar, 2014). Števila pa je možno prikazati tudi simbolno že ob konkretni reprezentaciji; ne nazadnje so učenci s tovrstnimi zapisi nenehno obkroženi in zanje to ni povsem novo.
Slika 3: Grafična in simbolna ponazoritev števila 5 (Cotič idr., 2015, str. 22)
Pri uvajanju simbolnega zapisa pa moramo ločiti dva cilja, in sicer: učenec mora številke najprej prepoznati, šele potem sledijo vaje za zapisovanje številk (prav tam).
Preden učenci začnejo zapisovati zapise v zvezek, pa morajo vaditi zapis preko različnih dejavnosti. Te dejavnosti utrjevanja števk so:
‒ učenci naj vadijo zapis števke s prstom po zraku, z mokro krpo po tabli, zapis v koruzni zdrob …
‒ učenci naj števke otipajo, tako da s prstom vlečejo po oblikovani števki iz brusilnega papirja ali iz lepila ipd.;
‒ učenci naj števke začutijo, tako da drug drugemu pišejo po hrbtu.
Pri spoznavanju števil od 6 do 10 pa se Manfreda Kolar (2014) nasloni na dve vrsti ponazoril:
‒ učenčeve prste, ker je to 'pripomoček', ki ga ima učenec vedno pri sebi;
‒ na 2 x 5-vrstične porazdelitve, ki učence spodbujajo k ponotranjenju vzorca za števila od 6 do 10 (slika 4).
Slika 4: Primeri ponazoritev števil 10, 7, 9 in 6 na 2 x 5-vrstičnih porazdelitvah
Učitelj lahko pri vpeljevanju štetja in števil uporabi operacijske-praktične učne metode.
Avtorici (Valenčič Zuljan, Kalin, 2020) v sklop operacijsko-praktičnih učnih metod uvrščata:
učno metodo raziskovanja,
učno metodo praktičnih del, gibalnih in drugih dejavnosti,
učno metodo pisnih del,
učno metodo risanja,
učno metodo igre.
Te učne metode predstavljajo načine in oblike dela, kjer so učenci miselno aktivni ob izvajanju različnih praktičnih dejavnosti. Za utrjevanje števil od 1 do 10 lahko učitelj izvaja z učenci veliko različnih dejavnosti, ki so namenjene utrjevanju štetja, spoznavanju urejenosti števil do 10, določanju predhodnika in naslednika ipd.
V nadaljevanju predstavljamo nekaj teh dejavnosti za prepoznavanje naravnih števil in utrjevanje štetja in števil do 10 (povzeto in prilagojeno po Manfreda Kolar, 2014).
● Vstani, sedi: Utrjevanje štetja naprej in nazaj v množici naravnih števil do 10
Učenci v ravno vrsto postavijo stole in se nanje usedejo. Ko začnemo s štetjem od npr. 1 do 10, učenci postopoma vstajajo en za drugim. Pri štetju nazaj od 10 do 1 pa se učenci postopoma posedajo nazaj na stol. To dejavnost lahko z učenci izvajamo že pri številih od 1 do 5.
● Zmešnjava: Preštevanje predmetov, razvrščanje v množice in določanje števila predmetov v množici in reprezentiranje števila
Učitelj učencem pokaže vrečo, v kateri vlada zmešnjava. V vreči je veliko različnih predmetov in učitelj prosi učence, da mu pomagajo razvrstiti predmete, tako da predmete iste vrste združijo. Nato učenci preštejejo predmete v množicah, števila ponazorijo še s prsti na rokah in ustrezen zapis števila predmetov poiščejo še na kartončku. S to dejavnostjo učitelj preveri, v kolikšni meri učenci že poznajo številke, in če jih znajo prirediti ustrezni oblikovani množici.
● Bum: Štetje do 10
Pri tej dejavnosti učenci štejejo števila do 10 na različne načine:
‒ glasno izgovarjajo vsa števila do 10,
‒ namesto vsakega drugega števila rečejo BUM,
‒ učenec se lahko sam odloči, ali bo povedal število ali bo rekel bum, zato morajo vsi pozorno spremljati dejavnost, da vedo, katero število je na vrsti.
Raketa: Utrjevanje štetja nazaj
Učencem pripravimo kartončke, na katerih so zapisana števila od 1 do 10. Učenec izbere kartonček in pove zapisano število. Od števila na kartončku vsi učenci glasno odštevajo nazaj do števila 0, ko raketa odleti. Pri številu nič tudi učenci skočijo v zrak in ponazorijo vzlet rakete.
Kdo naj vstane: Določanje števil, ki so enaka, manjša ali večja od danega števila Učitelj učencem razdeli kartončke s števili na vrvici, ki si jih učenci obesijo okoli vratu. Učitelj nato opisuje, kdo naj vstane, npr.:
‒ vstane naj število, ki je manjše od 7,
‒ vstane naj število 5,
‒ vstane naj število, ki je večje od 3,
‒ vstanejo naj vsa števila, ki so manjša od 9,
‒ vstanejo naj vsa števila, ki so večja od 2, itd.
2.2 Štetje in števila do 20
Preden učitelj učence seznani s števili v drugi desetici, je pomembno, da učenec razume vlogo, ki jo ima število deset v našem številskem sestavu. Poimenovanje in zapis števil do dvajset (in tudi vseh večjih) vpeljemo po induktivni poti, s primeri in iskanjem analogij.
Učenci števila do 20 lahko spoznajo v dveh korakih. Najprej števila od 10 do 15 in nato od 16 do 20. Tudi tu je pomembna postopnost. Tako vključimo dejavnosti v smeri konkretno – simbolno in obratno. Učenci naj količine do 20 spoznavajo s pomočjo konkretnih ponazoril, na primer 18 link kockam naj priredijo ustrezen številski simbol in obratno številskemu simbolu 18 naj priredijo ustrezno število link kock. Sledijo strategije, s katerim učenci spoznajo, da je posamezno število sestavljeno iz različnih desetiških enot, saj je to osnova za razumevanje desetiškega sistema, pridobivanje večjih števil ter kasneje vpeljavo seštevanja in odštevanja do 20 (Wright, Collins, Tabor, 2012). Te strategije so: prištevanje posameznih enot k prvemu seštevancu (7 + 6 = 7 + 1 + 1 + 1 +1 + 1 +1), seštevanje enakih seštevancev (7 + 6 = 6 + 6 + 1), združevanje in razdruževanje seštevanca in dopolnjevanje do desetice (7 + 6 = 7 + 3 + 3).
Ker pa je to dolgotrajen proces, mora učitelj predstaviti čim več takih nalog in dejavnosti, s katerimi bo učenec dobil zavedanje, da mu pri štetju združevanje predmetov po deset v vsakdanjem življenju koristi. Učenec si s tem izboljša preglednost situacije in tako hitreje vidi, koliko je vseh predmetov (Manfreda Kolar, 2014).
Pri utrjevanju števil do 20 učitelj uporabi vse predstavljene dejavnosti, ki smo jih predstavili v poglavju 2.1. Dodajamo pa še dve (povzeto in prilagojeno po Manfreda Kolar, 2014).
Štejemo s škatlo za deset jajčk: Preštevanje in spoznavanje strukture števil do 20 Učenci izvajajo dejavnost preštevanja in spoznavanja števil do 20 s pomočjo didaktičnega pripomočka – škatle za deset jajčk in različno število predmetov (kamenčki, frnikole, fižolčke ipd.), ki jih štejejo. Učenci določijo število tako, da po en predmet odlagajo v prazne prostorčke, preštejejo pa le tiste predmete, ki ostanejo zunaj, ko so zapolnili škatlo od jajčk. Na tak način enostavno določijo število, ki je večje od 10, in ne preštevajo vseh.
Kartončki s števili: Dopolnjevanje zaporedja števil v množici naravnih števil do 20 Na kartončkih imamo zapisana števila od 0 do 20. Vrvico napnemo čez učilnico in učenci s pomočjo ščipalk pritrdijo kartončke s števila na vrvico, od najmanjšega do največjega števila.
Enega učenca pošljemo iz razreda, v tem času odstranimo tri kartončke s števili, druge pa
razporedimo tako, da ni videti praznine. Učenca pokličemo nazaj v razred in ugotoviti mora, katera števila manjkajo. Igro ponavljamo toliko časa, da vsi učenci pridejo na vrsto. Igro lahko naredimo tudi malo tekmovalno in iz razreda pošljemo dva ali tri učence hkrati, in ko se vrnejo v razred, zmaga tisti, ki najhitreje odkrije manjkajoča števila.
2.3 Štetje in števila do 100
Števila do 100 spoznajo učenci v drugem razredu. Pri spoznavanju števil do 100 moramo izhajati iz desetiškega sistema, ki ga uporabljamo in ima določene značilnosti in pravila, ki nam pomagajo pri zapisu in usvajanju večjih števil.
Pri številih, večjih od dvajset, se pojavlja tudi napačen vrstni red zapisa števk kot posledica neujemanja izgovorjene besede števila (štiriintrideset) in zapisa števila s števkami (43, namesto 34). Zato mora biti učitelj pri zapisu števil pozoren, da jih pravočasno opazi in učence opozori, s tem tudi prepreči, da učenci ne utrjujejo napake.
Učencem števila do 100 najprej predstavimo s preštevanjem desetic. To lahko naredimo z metodo demonstracije, ki bo učence motivirala. Pri tej metodi se povezujeta tako učiteljevo prikazovanje in hkrati učenčevo opazovanje, ki prehaja v zaznavanje, sprejemanje in nadaljnje faze miselne dejavnosti pri učencih (Valenčič Zuljan, Kalin, 2020). Spodaj predstavljamo primer dejavnosti z metodo demonstracije.
Hura, 100: Štetje in urejanje desetic do 100 (povzeto in prilagojeno po Cotič, Felda, Hodnik, 2000)
Učenci se zberejo v krogu na tleh. Učitelj v sredino kroga strese sto link kock in začne pogovor z učenci: »Kaj mislite, koliko je vseh kock? Bi jih lahko prešteli? Kako bi jih najlažje in brez napak prešteli?« Učenci podajo predloge, ki jih učitelj upošteva, nato pa še sam predlaga (če seveda niso to že učenci), da kocke združimo po deset skupaj v stolpič. Ko imamo vseh sto kock združenih v deset stolpcev, s po desetimi kockami, skupaj z učenci glasno štejemo po deset naprej do sto.
Nadaljujemo s preštevanjem enic. Tudi tu naj učenci uporabljajo konkretna ponazorila (link kocke, palčke, žetončke …). Za utrjevanje števil od 0 do 100 učitelj izvaja različne dejavnosti, ki učence motivirajo, nekaj od teh smo jih že predstavili.
Učenci naj nadaljujejo spoznavanje števil do 100 na stotičnem kvadratu, številskem traku in številskem poltraku.
Stotični kvadrat je primeren za prikaz števil, njihove pozicije v izbranem stolpcu in kot pomoč pri štetju. Z njegovo pomočjo pa lahko izvajamo vse spodaj naštete dejavnosti, ki pripomorejo k razvijanju številskih predstav do 100 (Cotič, Felda in Hodnik, 2000):
‒ Sestavljanje stotičnega kvadrata – stotični kvadrat izrežemo po pasovih od 1 do 10, od 11 do 20, od 21 do 30 … in učenci ga postavijo v pravilno zaporedje.
‒ Sprehod po stotičnem kvadratu – učenci imajo pred seboj stotični kvadrat, učitelj daje navodila: »Kazalec postavi na število 46, 78, 12, 98 …« ali »Kazalec postavi na številko 56, premakni se za tri polja v desno/levo/gor/dol, katero številko dobiš?« Učenci iščejo in poimenujejo števila.
‒ Tombola – igramo tombolo na stotičnem kvadratu, učenci si izberejo in obkrožijo npr.
20 števil, učitelj izžreba števila in jih glasno izgovori, če ima učenec izgovorjeno število obkroženo, ga pobarva. Zmaga tisti, ki ima prvi pobarvanih vseh 20 števil.
‒ 'Prazni' stotični kvadrat – učenec ima pred seboj 'prazni' stotični kvadrat, učitelj glasno pove število, učenec pa ga mora zapisati na pravo mesto v stotičnem kvadratu.
Slika 5: Stotični kvadrat
Na številskem poltraku in številskem traku učencem predstavimo števila, ki so zapisana v določenem obsegu. Učenec s pomočjo številskega traka vadi štetje (po deset naprej od npr.
števila 13, od števila 94 po deset nazaj, štetje po ena od npr. 34 do 56 ipd.), utrjuje orientacijo v številski vrsti in odnose med števili. Pozicioniranje na števila na teh dveh ponazorilih je ključno za kasnejše računanje.
Dober pripomoček je tudi 'prazna' številska os, ki je zelo abstraktna za učence, ker morajo imeti dobro predstavo o številih. Po 'prazni' številski osi se učenec poljubno premika in si predstavlja števila na svoj način.
2.4 Štetje in števila pri učencih z učnimi težavami pri matematiki
Učne težave pri matematiki delimo na splošne učne težave in specifične učne težave (Žakelj, Valenčič Zuljan, 2015).
Splošne učne težave lahko izvirajo iz:
- Okolja: ekonomska in kulturna prikrajšanost, socialno-emocionalna prikrajšanost, socialno-kulturna drugačnost, večjezičnost in večkulturnost.
- Notranjih dejavnikov: upočasnjen razvoj kognitivnih sposobnosti, motnja pozornosti, podpovprečne intelektualne sposobnosti idr.
- Neustrezne vzgojno-izobraževalne interakcije: strah pred neuspehom, nezrelost, pomanjkanje učnih navad.
Specifične učne težave pa izvirajo iz posameznika in so nevrološko pogojene. Delimo jih v dve skupini: diskalkulija in specifične aritmetične učne težave. Učenci s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki tako v primerjavi z vrstniki dosegajo slabše rezultate. Te težave se kažejo s slabšim semantičnim spominom (težave pri priklicu dejstev iz dolgotrajnega spomina, npr. seštevanje, odštevanje), z aritmetičnimi proceduralnimi postopki (avtomatizacija postopkov, npr. prenašanje desetic pri odštevanju) in z vizualno-prostorskimi primanjkljaji (neustrezna uporaba spretnosti, npr. zgoraj-spodaj, levo-desno …) (prav tam).
Učenci z učnimi težavami pri matematiki imajo težave že pri usvajanju številskih predstav.
Težave jim povzroča štetje naprej, nazaj, po sekvencah. Ne razumejo oziroma slabše razumejo pojem števila, ne obvladujejo zaporedja, velikostnih odnosov, zato imajo težave s količinskimi predstavami (Kavkler, 2011).
Učenec z učnimi težavami pri matematiki se uspešno uči z lastno aktivnostjo, preko fizičnega in vizualnega zaznavanja predmetov in ob pomoči konkretne razlage s ponazoritvami.
Potrebuje veliko ponavljanja s podobnimi primeri nalog, da usvoji znanje.
Magajna idr. (2008) se strinjajo, da učenci z učnimi težavami pri matematiki v procesu usvajanja znanja potrebujejo učenje po korakih, več časa in utrjevanja, namenjenega učenju matematičnih izrazov in procedur, učenju različnih strategij reševanja matematičnih ne besedilnih in besedilnih nalog in jasno oblikovane oblike pomoči učencem.
Zato je pomembno, da razvijejo in utrdijo številske predstave z raznolikimi dejavnostmi, ki jih izvajajo ob uporabi konkretnih ponazoril. V nadaljevanju predstavljamo nekaj primerov uporabe konkretnih ponazoril, s katerimi učenci utrjujejo štetje, zaporedje števil in pridobivajo količinske predstave.
Zaboj s palčkami: lesen zaboj z desetimi razdelki in 45 palčk
Razdelki so označeni s števili od 1 do 9. Učenec palčke šteje in jih razvršča k simbolnemu zapisu, ob rokovanju s palčkami hkrati občuti količino števil v roki, simbolni zapis števila 0 in prazen razdelek pa mu omogočata razumevanje pojma nič.
Slika 6: Zaboj s palčkami
Veriga sto: deset desetic, povezanih z verigo, in puščice z napisanimi števili
Učencu uporaba verige sto omogoča vaje v štetju (primerjava s številskim trakom), utrjevanje orientacije v številski vrsti in razumevanje odnosov med števili.
Slika 7: Veriga sto
Ponazoritev desetiških enot (Dienesove kocke): barva ponazoritev enice (zelena), desetice (modra) in stotice (rdeča)
Učenec vidi predstavljeno količino za enico, desetico in stotico in jo poveže z barvo. Učencu lahko pomagajo barve pri odpravljanju težav, vendar to ni edina pot, kajti učenca obravnavamo kot subjekt in skupaj z njim presodimo, kaj je tisto, kar mu omogoča napredovanje.
Slika 8: Barvne Dienesove kocke
Učenci z učnimi težavami pri matematiki dalj časa uporabljajo strategijo preštevanja. Učitelj jim mora omogočiti čim več različnih dejavnosti s pomočjo različnih ponazoril (reprezentacij), pri tem pa mora biti pozoren, da izbere in ponudi učencu ustrezna ponazorila. Učenca mora naučiti pravilne uporabe izbranega ponazorila (Kavkler, 1994).
Učitelj, ki pozna svoje učence, njihove načine dela in strategije, ki jih uporabljajo, bo znal prilagoditi proces poučevanja in uporabo ustreznih ponazoril njihovim razvojnim potrebam (Novljan in Šemrl, 1996).
Da pa učitelj pozna učenčeve strategije, mora:
‒ narediti natančne analize učenčevih napak,
‒ opazovati učenca pri računanju,
‒ poslušati učenčev opis uporabljene strategije. Ker pa imajo učenci včasih težave z opisom uporabljene strategije, mora učitelj pridobiti informacije iz prvih dveh naštetih virov (prav tam).
3 RAČUNSKE OPERACIJE
Z vpeljavo devetletne osnovne šole so prvošolci ob vstopu v šolo stari šest let. Po Piagetu je otrok ob vstopu v osnovno šolo še na predoperacionalni stopnji. Med raziskovanjem je prišel do zaključkov, da otroka ni mogoče nečesa naučiti, če za to ni dovolj zrel oziroma pripravljen (Labinowicz, 2010). Učenec pri starosti sedmih let prehaja na stopnjo konkretnih operacij, sposoben je logičnega mišljenja, a to le pod pogojem, da je mišljenje podkrepljeno z zaznavnimi informacijami (Markovac, 1990).
Skupaj z učenjem štetja se učenec od prvega razreda naprej sistematično uči računanja, in sicer v prvem razredu do 20, v drugem do 100. Učiti jih moramo spretnosti računanja, pri čemer je bistveno, da se tega, vsaj pri računanju v manjšem obsegu števil, naučijo z razumevanjem. Le tako bodo usvojeno znanje lahko uporabili v različnih situacijah (Cotič in Hodnik Čadež, 2002).
V nadaljevanju poleg nekaterih teoretičnih izhodišč dodajamo tudi primere iz prakse, ki služijo zgolj kot ilustracija možne obravnave, niso pa predpisujoči niti nujno najbolj optimistični.
Učitelj glede na strokovno znanje in skupino učencev v razredu najbolje presodi, kateri so tisti pristopi, ki vodijo učenca k usvajanju računskih operacij.
3.1 Seštevanje in odštevanje števil do 10
Prva računska operacija, s katero se učenec spozna pri matematiki, je seštevanje. Pri usvajanju seštevanja se učenec sprva rokuje s konkretnimi predmeti, ki se jih lahko dotika, jih premika in jih tudi šteje. Osnova števil je namreč štetje predmetov, ki vključuje sposobnost usvojitve strategij seštevanja. Zato učencem ponudimo čim več dejavnosti, s katerimi bodo odkrivali matematične koncepte in pojme. Učitelj jih s premišljenimi in skrbno izbranimi dejavnostmi načrtno vodi, da učenci pri uporabi strategij reševanja nalog seštevanja in odštevanja postopno prehajajo od konkretne stopnje do priklica aritmetičnih dejstev.
V nadaljevanju bomo predstavili nekaj različnih dejavnosti (povzeto in prilagojeno po Cotič, Felda, Hodnik Čadež, 2003), katerih namen je, da učenec spozna matematične postopke in dejstva z lastnim razmišljanjem in konceptualizacijo. Pri izvajanju dejavnosti smo ves čas pozorni, da učenci pridobivajo znanje postopoma in s pomočjo ustreznih reprezentacij:
konkretne, grafične in na koncu še simbolne, ko zapišejo račun seštevanja in odštevanja.
Dvobarvni stolpci: dva seštevanca in njuno skupno število
Učenci delajo v dvojicah. Vsaka dvojica ima 5 rdečih link kock in 5 modrih link kock. Učenca gradita stolpce iz dveh različnih barv in vsak zgrajen stolpec opišeta, na primer: »V stolpcu je pet modrih kock in dve rdeči. Skupaj je sedem kock.« Učitelj naj učence pri dejavnosti spodbuja, da naj zgradijo čim več različnih stolpov.
Dejavnost stopnjujemo tako, da učenci pri vsakem zgrajenem stolpcu zapišejo v zvezek število modrih kock (z modro barvico) in število rdečih kock (z rdečo barvico), njuno skupno število pa zapišejo s svinčnikom. Tudi tukaj naj učenci zapišejo čim več različnih razvrstitev barvnih kock v stolpcu.
Dejavnost učitelj zaključi tako, da učencem predstavi še simbolni zapis. Frontalno naj pokaže stolpec učencem in ga opiše, na primer: v stolpcu, sestavljenem iz petih modrih in dveh rdečih link kock, je sedem link kock. To lahko zapišemo (zapis na tablo) 5 + 2 = 7 (pet plus dve je sedem). Skupaj z učenci naredimo še nekaj primerov, učenci račune seštevanja zapisujejo v zvezek.
Igralne karte: račun seštevanja in skupno število
Pri tej dejavnosti učenci delajo v dvojicah. Vsaka dvojica ima kup igralnih kart (na vsaki igralni karti je največ 5 znakov), en učenec jih premeša in razdeli tako, da so obrnjene navzdol. Nato učenca postopoma jemljeta po eno karto iz kupčka in zapišeta ustrezen račun seštevanja ter ga izračunata.
Pri tej dejavnosti sta že poudarjeni grafična in simbolna raven. Učenec mora prepoznati količino, ki jo simbol predstavlja.
Gumbi: odštevanje, račun odštevanja in število 0
Vsak učenec ima vrečko, v kateri so gumbi enake barve. Učitelj jim daje navodilo, na primer:
»Na klop v vrsto postavi osem gumbov, nato tri gumbe pospravi v peresnico. Koliko gumbov ti je ostalo v vrsti?« Dejavnost večkrat ponovimo, učenci si zapisujejo račune odštevanja v zvezek.
Košarica bonbonov: odštevanje in število 0
V košarico damo pet bonbonov. Povabimo pet učencev, da vsak izmed njih vzame en bonbon.
Nato vprašamo učence, koliko bonbonov je ostalo v košari. Učenci ugotovijo, da je košarica prazna oz. da je v njej nič bonbonov. Dejavnost večkrat ponovimo in se pri tem ves čas pogovarjamo: »Koliko bonbonov je v košari, koliko bonbonov so vzeli učenci, koliko bonbonov nam je ostalo?« Tako učenci ugotovijo, da število nič dobimo pri odštevanju dveh med seboj enakih števil. Število nič učenci zapišejo še s simbolom 0 in z računom odštevanja.
Ko imajo učenci usvojeno količinsko predstavo števil, jim ponudimo tudi številski trak. Vedeti moramo še, da učenec v prvem razredu števila razume kot diskretne enote, kot da med 1 in 2 ni števil. Zato je za učenca en premik oziroma korak kot skok naprej. Pri seštevanju pomeni skok v desno – naprej (povečevanje), pri odštevanju pa skok v levo – nazaj (zmanjševanje). Učenec na številskem traku uporabi drug postopek računanja kot pri računanju v mislih. Pri številskem traku (npr. 6 + 3 = 9) namreč nastavi prst na število 6 in naredi tri skoke naprej (ena, dve, tri) ter pride do rezultata, pri računanju v mislih pa šteje od 6; 7, 8, 9.
Ker želimo, da učenci postajajo čim bolj spretni pri računih seštevanja in odštevanja do 10 (ker je to podlaga računanja z večjimi števili), z učenci ustno vadimo račune seštevanja in odštevanja. Učitelj pove račun, učenec račun ponovi in ga reši, brez zapisa v zvezek. Ker učenec nima konkretnih pripomočkov, ga to spodbudi k uporabi prstov na rokah, ki so učenčev 'pripomoček'. S tem razvijajo miselne predstave računanja do 10.
Za razumevanje pojma število je nujno, da učenci vedo, kako se določeno število zapiše kot vsota dveh seštevancev. Učitelj jih v konkretni situaciji povabi k razmišljanju (Manfreda Kolar, Urbančič Jelovšek, 2006). Na tablo postavi na primer 5 magnetkov, ki predstavljajo število 5, nato okoli nariše 6 črtic. Razloži jim, da vsaka črtica predstavlja račun, ki da vsoto 5. Magnetke razdeli na dve množici, s tem prikaže razdruževanje, na primer 5 = 2 + 3. Nato prepusti učencem, da ugotovijo in zapišejo še ostale račune.
Učenci v prvem razredu spoznajo še dva računska zakona: zakon o zamenjavi in nasprotni računski operaciji.
Zakon o zamenjavi seštevancev je za učence pomemben, ker gre za spoznanje, da se vsota ne spremeni, če zamenjamo števili. Nekateri učenci to spontano izvajajo (pri računu 2 + 7 spontano
obrnejo števili in začnejo prištevati od večjega seštevanca: 7 + 2), vendar se pri tem ne zavedajo pomembnosti, le verjamejo, da bodo prišli do pravega rezultata.
Učenci lahko izvedejo dejavnost z link kockami (slika 10), kjer spoznajo zakon o zamenjavi.
Učenca sedita nasproti drug drugemu. Pred seboj ima narejeno vrsto iz link kock (5 rdečih, 2 modri), oba zapišeta račun seštevanja, nato pa med seboj primerjata zapisa.
Slika 9: Dejavnost, s katero učenci spoznajo zakon o zamenjavi
Učenci spoznajo zakon o zamenjavi tudi z grafično ponazoritvijo v učbeniku (primer grafične ponazoritve, slika 10). Učitelj pri grafični ponazoritvi poda še ustno razlago: »Deklica vidi najprej šest rdečih rib in nato še dve modri. Deček pa vidi najprej dve modri ribi in nato še šest rdečih rib. Oba jih vidita enako, čeprav vsak z druge strani.«
Slika 10: Grafična ponazoritev zakona o zamenjavi (Manfreda Kolar in Urbančič Jelovšek, 2010, str. 62)
Učenci spoznajo, da sta seštevanje in odštevanje nasprotni operaciji in zato lahko vsako odštevanje prevedemo v seštevanje (pri računu 5 – 3 = 2 si učenec lahko pomaga s seštevanjem, ker ve, da je 2 + 3 = 5).
Tudi pri spoznavanju tega računskega zakona lahko z učenci izvedemo dejavnost. Na tla narišemo zaporedje 10 polj in vsako polje po vrsti oštevilčimo od 1 do 10. Nato pokličemo učenca, mu damo navodilo: »Postavi se na polje s številko 5, zdaj pa se premakni za štiri polja naprej. Na katerem polju si? Za koliko polj se moraš premakniti nazaj, da boš spet na polju s številko 5?« Povabimo k dejavnosti vse učence, pri tem vsakič spremenimo navodilo.
Spodaj smo izbrali še primer grafične ponazoritve nasprotnih računskih operacij v učbeniku (slika 11). Učitelj poda ob grafični ponazoritvi tudi ustno razlago učencem.
Slika 11: Grafična ponazoritev nasprotnih računskih operacij (Cotič, Felda in Hodnik Čadež, 2013, str. 48)
3.2 Seštevanje in odštevanje števil do 20
Pri seštevanju do 20 brez prehoda in s prehodom so metodični koraki, ki temeljijo na načelu postopnosti, naslednji (Markovac, 1990):
‒ 10 + 7: prištevanje enic k številu 10,
‒ 17 + 3: prištevanje enic k dvomestnemu številu, ki nam da vsoto 20,
‒ 12 + 4: prištevanje enic k dvomestnemu številu brez prehoda,
‒ 6 + 7: prištevanje enic k enomestnemu številu s prehodom,
Tudi pri seštevanju in odštevanju do 20 učenci uporabljajo konkretne, grafične in simbolne reprezentacije. Učenci si prva pomagajo pri računanju do 20 s preštevanjem konkretnih predmetov, nato s prsti, ko usvojijo količinsko predstavo števil, jim ponudimo številski trak, nato z učenci ustno utrjujemo računanje.
Tako kot smo učencem preko dejavnost prikazali, da je neko število lahko vsota dveh seštevancev, jim sedaj prikažemo, da je dvomestno število (na primer 17) vsota, v kateri je eden od seštevancev vedno število 10 (17 = 10 + 7). Učencem prikažemo to s pomočjo konkretnega materiala, na primer link kocke, škatla za deset jajc, škatla z 10 barvicami ipd. Učenci ugotovijo, da je število 10 vedno enako (ga ne preštevajo), preštevajo le predmete, ki sledijo številu 10.
Ko naredijo veliko primerov s konkretnimi predmeti, jim učitelj ustno postavlja vprašanja:
»Koliko je 10 plus 6? Koliko je 10 plus 2?«
Pred prištevanjem enic k dvomestnemu številu, ki nam da vsoto 20, naj učenci vadijo dopolnjevanje do 10, na primer 5 + __ = 10; 3 + __ = 10. Tudi pri tem si lahko pomagajo s škatlo za deset jajc, ker hitro vidijo manjkajoče število v škatli. Ko bodo učenci imeli usvojene pare seštevancev, ki dajo vsoto 10, jim na enak način prikažemo dopolnjevanje do 20.
Ko učenec začne seštevati do 20 brez prehoda, ga naučimo, da si pri seštevanju lahko pomaga z računi seštevanja v prvi desetici. Učitelj vpelje seštevanje brez prehoda do 20 na konkretni ravni, z učenci ga utrdi še s pomočjo analogije. Učencem prikaže zapis na tablo:
‒ 4 + 3 = 7, to si učenec že lahko prikliče;
‒ 14 + 3 = 17 (analogija), učitelj vpraša učence, ali je kaj podobno. Učenci ugotovijo, da se spodnji račun vedno poveča za 10 več od zgornjega.
Učenec z reševanjem veliko primerov ugotovi analognost računanja v drugi desetici z računanjem v prvi desetici (Cotič, Felda in Hodnik, 2000).
Slika 12: Računanje v drugi desetici s pomočjo analogije (Cotič, Felda in Hodnik Čadež, 2013, str. 13)
Pred računanjem do 20 s prehodom mora imeti učenec usvojeno:
‒ dopolnjevanje do 10 (npr. 5 + __ = 10, 4 + __ = 10 …),
‒ vsote enakih seštevancev (npr. 3 + 3, 4 + 4, 5 + 5 …).
Nato začnemo seštevati s prehodom. Začetni primeri naj bodo taki, da je prvi seštevanec relativno blizu 10, drugi seštevanec pa blizu števila do 4 (npr. 8 + 3 =, 9 + 2 = …). Učenec lahko uporablja link kocke (dveh različnih barv) in mrežo z dvakrat po 10 polji, kamor postavlja link kocke. Tako npr. pri računu 9 + 2 nastavi link kocke na mrežo (npr. 9 rdečih link kock v prvo vrsto 10 polj in potem dopolni še z dvema modrima link kockama) in zapiše račun 9 + 2
= 11. Učenec tako ob konkretnem primeru izvede prehod preko desetice in račun tudi simbolno zapiše. Cotič, Felda in Hodnik (2000) zapisa v obliki 9 + 1 + 1 na tej stopnji ne priporočajo, ker ga učenci ne dojamejo in ga zapišejo brez razumevanja.
Na konkretni ravni lahko učencem prikažemo dopolnjevanje do 10 s škatlo z jajci. Na primer:
V škatlo z jajci damo 7 belih jajc in začnemo dodajati še 5 rjavih jajc. Dve rjavi jajci ostaneta zunaj škatle. Učencem razložimo, da 1 polna škatla z jajci predstavlja desetico, vsako jajce, ki je ostalo zunaj, pa je ena enica (10 + 2 = 12).
Učenci zapišejo račun v zvezek, učitelj pri tem še enkrat prikaže razdruževanje drugega seštevanca na tablo.
7 + 5 = 10 + 2 = 12 3 2
Učenci naredijo zapis v zvezek (slika 13, prvi račun), najprej barvajo kvadratke v dvajsetičku.
Z rdečo barvo pobarvajo število kvadratkov prvega seštevanca (9), z modro barvo število drugega seštevanca (2). Nato račun še simbolno zapišejo. Prvi seštevanec z rdečo barvo, drugi seštevanec z modro. Pod ali nad drugi seštevanec naredijo »rožičke« in drugi seštevanec razdružijo tako, da na prvi rožiček zapišejo število, ki prvi seštevanec dopolni do 10 (1) in števili obkrožijo (ker jim to predstavlja desetico). Potem se vprašajo: »1 plus koliko je 2?« in na drugi rožiček zapišejo še število 1.
Slika 13: Prikaz učenčevega zapisa v zvezek
Pri tem zapisu v zvezek se moramo zavedati, da učenci do pravilnega rezultata lahko pridejo z barvanjem 'dvajsetička' in preštevanjem pobarvanih polj. Zapisovanje računa sledi izvajanju postopka na konkretnem ali grafičnem, kar učencu pomaga v procesu izgrajevanja razumevanja računanja s prehodom.
Pri odštevanju do 20 brez prehoda in s prehodom so metodični koraki, ki temeljijo na načelu postopnosti, naslednji (Markovac, 1990):
‒ 17 – 7: odštevanje enic od dvomestnega števila, ki nam da razliko 10,
‒ 20 – 6: odštevanje enic od števila 20,
‒ 19 – 6: odštevanje enic od dvomestnega števila brez prehoda,
‒ 14 – 8: odštevanje enic od dvomestnega števila s prehodom.
Pred računsko operacijo odštevanja do 20 s prehodom sledimo zelo podobnim korakom kot pri seštevanju:
‒ zmanjšujemo dvomestna števila med 10 in 20 do 10 (npr. 17 – __ = 10, 13 – __ = 10
…),
‒ odštevamo v drugi desetici brez prehoda.
Vpeljavo odštevanja do 20 s prehodom začnemo s konkretnim prikazom, npr. s škatlo od jajc in jajčki ali link kockami, nato sledi grafična reprezentacija, tej pa simbolni zapis računa v zvezek.
12 – 5 = 10 – 3 = 7 2 3
Tudi pri odštevanju do 20 s prehodom učenci naredijo podobno grafično ponazoritev in simbolni zapis računa v zvezek, tako kot pri odštevanju. Razlika je le v tem, da barvajo kvadratke v 'dvajsetičku' z enako barvo (predstavljajo zmanjševanec), z barvo tudi označijo prvo število (zmanjševanec), nato pa prečrtajo toliko kvadratkov, kot je drugo število (odštevanec).
