PRIIMEK IME VPISNA ˇSTEVILKA NALOGA TO ˇCKE 1.
2.
3.
4.
5.
6.
SKUPAJ
1. kolokvij iz predmeta
OSNOVE MATEMATI ˇ CNE ANALIZE
14.11.2005 Toˇ ckovanje: 20+15+15+30+20+5=105
1. Doloˇcite naravno definicijsko obmoˇcje funkcije f(x) = √
x
2− 4x + 3 + ln(x − |x − 2| + 1).
2. Naj bo f : R → R
f⊂ R , f (x) = e
2x+1+ 3.
(a) Dokaˇzite, da je preslikava f injektivna.
(b) Doloˇcite zalogo vrednosti R
fin predpis za inverzno preslikavo f
−1: R
f→ R.
3A. Pokaˇzite s popolno indukcijo, da je 1
1 · 5 + 1
5 · 9 + 1
9 · 13 + . . . + 1
(4n − 3)(4n + 1) = n 4n + 1 .
3B. Pokaˇzite s popolno indukcijo, da je
2 · 2 + 2 · 5 + 2 · 8 + . . . + 2 · (3n − 1) = n(3n + 1).
4. Naj bodo A(0, 2, 1), B(1, 3, 3) in C(3, 4, 4) ogliˇsˇca paralelograma ABCD. Naj bo E toˇcka, ki razpolovi daljico DC in F toˇcka, ki razdeli daljico AD v razmerju 3:2. Toˇcka S je preseˇciˇsˇce premice skozi toˇcki A in E ter premice skozi toˇcki B in F.
(a) Skicirajte sliko.
(b) Pokaˇzite, da je paralelogram ABCD romb.
(c) Izrazite vektor AS
*z vektorjema
*a = AB
*in
*b = AD.
*(ˇc) Doloˇcite koordinate toˇcke S.
(d) Doloˇcite ploˇsˇcino trikotnika ∆ABS .
5. Doloˇcite mnoˇzice A = {z; |z + 2 + i| ≤ 3}, B = {z; |z − 3| = 2|z + 3i|} in B \ A ter nariˇsite vsako na svoji sliki.
6. Doloˇcite α tako, da bodo vektorji (1, α, −1), (2, 3, 0) in (1, 0, 3) leˇzali v isti ravnini.
1
REˇSITVE 1. naloga:
Funkcijaf(x) je definirana, kadar jex2−4x+3≥0 inx−|x−2|+1>0. Ker jex2−4x+3≥0 zax∈(−∞,1]∪[3,∞) in ker jex− |x−2|+ 1>0 zax∈(12,∞), je definicijsko obmoˇcje funkcije f(x) enako (12,1]∪[3,∞).
2. naloga:
(a) Funkcija je injektivna, ker izf(x1) =f(x2) sledix1=x2. (b)Rf = (3,∞) inf−1(x) = ln(x−3)−12 .
3A. naloga:
Zan= 1 trditev velja. Zapiˇsimo indukcijsko predpostavko za n=k: 1·51 +5·91 +9·131 +. . .+(4k−3)(4k+1)1 = 4k+1k . Z uporabo indukcijske predpostavke pokaˇzimo, da trditev velja tudi zan=k+ 1:
1 1·5 + 1
5·9+ 1
9·13+. . .+ 1
(4k−3)(4k+ 1)+ 1
(4k+ 1)(4k+ 5) = k
4k+ 1 + 1
(4k+ 1)(4k+ 5)
= k+ 1
4(k+ 1) + 1.
3B. naloga:
Zan= 1 trditev velja. Zapiˇsimo indukcijsko predpostavko zan=k: 2·2 + 2·5 + 2·8 +. . .+ 2·(3k−1) =k(3k+ 1).
Z uporabo indukcijske predpostavke pokaˇzimo, da trditev velja tudi zan=k+ 1:
2·2 + 2·5 + 2·8 +. . .+ 2·(3k−1) + 2·(3k+ 2) = k(3k+ 1) + 2·(3k+ 2)
= (k+ 1)(3(k+ 1) + 1)
4. naloga:
Oznaˇcimo *a=AB* in *b=BC. Potem je* *a= (1,1,2) in*b= (2,1,1). Ker je k *a k = |*b k, je paralelogram ABCD romb. Vektor AS* izrazimo na dva naˇcina kot linearni kombinaciji vektorjev *a in *b ter z izenaˇcitvijo koeficientov dobimo AS=* 133 *a +136 *b. Ploˇsˇcino trikotnika izraˇcunamo z vektorskim produktom
pl(∆ABS) = 1
2k*a ×AS* k=3√ 11 13 .
5. naloga:
MnoˇzicaAje krog s srediˇsˇcem v (−2,−1) in polmerom 3, mnoˇzicaBpa je kroˇznica s srediˇsˇcem v (−1,−4) in polmerom 2√
2. Torej je mnoˇzicaB\Atisti del kroˇznice, ki ne leˇzi v krogu.
6. naloga:
Vektorji bodo kolinearni, ˇce bo njihov meˇsani produkt enak 0, torej zaα= 2
2
