UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in ra£unalni²tvo
Izpit pri predmetu ELEMENTARNE FUNKCIJE 21. 6. 2017
Navodila:
• as re²evanja je 120 minut.
• Ugasni in odstrani mobilni telefon.
• Uporaba knjig in zapiskov iz predavanj ter vaj ni dovoljena.
• Pozorno preberi vsako vpra²anje in vsak odgovor skrbno utemelji.
Odgovori brez utemeljtve ne bodo to£kovani.
• Pi²i £itljivo; neberljivi odgovori ne bodo to£kovani.
• Dovoljeni pripomo£ki so: kemi£ni svin£nik, svin£nik, radirka, A4 list s formulami.
...
1. [20] Podana je preslikava
F :R→R2
F :t7→(2t+ 1, t2).
(a) Ugotovi, ali jeF injektivna oziroma surjektivna. Svoje trditve dokaºi ali s protiprime- rom ovrºi.
(b) Naj bo D = {(x, y) ∈ R2|x+y = 4}. Zapi²i mnoºico F−1(D) tako, da na²teje² vse njene elemente.
2. [20] Dana je funkcija f s predpisom f(x) = x2+ (m+n)x+m−n, kjer sta m in n neki realni ²tevili.
(a) Za katere vrednosti parametrovminn bo funkcijaf negativna le na intervalu(−4,2)? (b) Zam=n =−1 re²i neena£bo |f(x)|<|x|+|x−2|.
3. [30] Dana je funkcijaf s predpisom
f(x) = cosx+√
3 sinx.
(a) Predpis funkcijef preoblikuj tako, da bo oblike f(x) =Asin(wx+ϕ), kjer so A, w, ϕ neka realna ²tevila.
(b) Za funkcijofdolo£i denicijsko obmo£je, ni£le ter osnovno periodo. Poi²£i tudi intervale nara²£anja in padanja ter klasiciraj stacionarne to£ke. Dolo£i ²e intervale konveksnosti in konkavnosti funkcije f ter njene prevoje.
(c) Skiciraj graf funkcijef in zapi²i njeno zalogo vrednosti.
4. [10] Naj bo funkcija f odvedljiva na nekem odprtem intervalu I. Dokaºi trditev: £e je funkcija f nara²£ajo£a na intervalu I, potem za vsak x∈I veljaf0(x)≥0.
