neberljivi odgovori ne bodo to£kovani

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in ra£unalni²tvo

1. sprotni test pri predmetu ELEMENTARNE FUNKCIJE 14. 11. 2016

Navodila:

• ƒas re²evanja je 120 minut.

• Ugasni in odstrani mobilni telefon.

• Uporaba knjig in zapiskov iz predavanj ter vaj ni dovoljena.

• Pozorno preberi vsako vpra²anje in vsak odgovor skrbno utemelji.

Odgovori brez utemeljtve ne bodo to£kovani.

• Pi²i £itljivo; neberljivi odgovori ne bodo to£kovani.

• Dovoljeni pripomo£ki so: kemi£ni svin£nik, svin£nik, radirka, A4 list s formulami.

...

1. [20] V R² sta podani mnoºici A = {(x, y)∈ R²|x² +y² >9} in B = {(x, y)∈ R²|a²x² + 25y² ≤25a²}, kjer je a∈R⁺.

(a) [12] Dolo£i najmanj²e moºno ²tevilo a ∈ R⁺ tako, da bo A^C ⊆ B. Nato za izbrani a skiciraj mnoºico A\B.

(b) [8] ƒe jeD={(x, y)∈R²|xy≥0}, skiciraj mnoºico A∩D.

2. [20] Naj bo D mnoºica vseh linearnih realnih funkcij oblike f_a,b(x) = ax+b, za katere je b 6= 0 in je f(1) = 1. Preslikava F priredi funkciji f_a,b ∈ D ulomek ^a_b. Ali je F injektivna?

Kaj je zaloga vrednosti funkcije F? 3. [25] Funkcijif, g :R→Rimata predpisa

f(x) = √

x, x≥0

x³, x <0 ing(x) =







x², x <−1 3x+ 1, −1≤x <2

3, x≥2 .

(a) [15] Skiciraj graf funkcije f in ugotovi, ali obstaja inverzna funkcija funkcije f. ƒe inverzna funkcija obstaja, zapi²i njen funkcijski predpis. Vse odgovore utemelji!

(b) [10] Zapi²i predpis funkcije f◦g.

4. [15] Naj bosta p inq razli£ni pra²tevili. Dokaºi, da je ²tevilo √

pq iracionalno.

5. [20] Podana je mnoºica A = {³ⁿ⁺¹_−n | n ∈ N}. Dolo£i minimum, maksimum, inmum in supremum mnoºice A (£e obstajajo) in vse odgovore utemelji z dokazi!