Ko hoˇcemo poiskati valovno funkcijo paketa v doloˇcenem ˇcasu, moramo integrirati prop-agator (poglavje 6.5). Ob tem pa se pojavi problem, saj ne vemo zagotovo, ob katerih ˇ
casih je le-ta sploh definiran. Oglejmo si torej enaˇcbo valovne funkcije ter propagator nekoliko bolj podrobno:
Paziti moramo, da je integracijski ˇcas t veˇcji od zaˇcetnega t0, saj ne moremo gledati v preteklost. Zadostiti moramo torej pogoju kavzalnega gledanja. Ker Ψ(x, t) zadoˇsˇca Schroedingerjevi enaˇcbi, smemo zapisati:
HΨ(x, t) =ˆ i~∂Ψ(x, t)
Ce torej konvolucijo vstavimo v Schroedingerjevo enaˇˇ cbo, smemo priˇcakovati enaˇcbo za propagator oblike:
HK(x, t;ˆ x0, t0) =i~∂K(x, t;x0, t0)
∂t ; t > t0 (6.61)
Ob tem lahko tudi povemo, da je ˆH hermitski operator.
Enaˇcba (6.61) za propagator je torej definirana za ˇcase, veˇcje od t0. Kaj pa se zgodi, ko gledamo enaˇcbo pri ˇcasu t=t0?
Ψ(x, t) = Z
K(x, t;x0, t)Ψ(x0, t)dx0
K(x, t;x0, t) = δ(x−x0) = 1 ; x=x0
0 ; x6=x0 (6.62) Propagator ima torej vrednost Diracove delta funkcije28.
Propagator smo zdaj definirali v treh ˇcasovnih intervalih:
i~∂t∂K(x, t;x0, t0) = HK(x, t;ˆ x0, t0) ; t > t0 K(x, t;x0, t0) = δ(x−x0) ; t=t0 K(x, t;x0, t0) = 0 ; t < t0
Oˇcitno ima propagator skok v toˇckit=t0. Le ta ima kar vrednost ∆K =δ(x−x0). Da bi dobili definicijo, ki bo veljala na celotnem ˇcasovnem intervalu, moramo enaˇcbi za t > t0 priˇsteti nek ˇclen:
i~∂
∂tK(x, t;x0, t0) = ˆHK(x, t;x0, t0) +i~∆K δ(t−t0)
Preverimo, ali dobljena enaˇcba zares popiˇse propagator K na celotnem ˇcasovnem intervalu.
V ta namen integrirajmo okolico toˇcke t0 ter poglejmo limito:
ε→0lim i~ Z t0+ε
t0−ε
∂K
∂t dt= Z
HKdtˆ +i~∆K Z
δ(t−t0)dt
!
limε→0
i~ Kt0+ε−Kt0−ε
=i~∆K =i~δ(x−x0)
Dobili smo rezultat, ki smo ga hoteli, torej zdaj smemo zapisati sploˇsno definirano obliko enaˇcbe propagatorja:
i~ ∂
∂tK(x, t;x0, t0) = ˆHK(x, t;x0, t0) + i~δ(x−x0)δ(t−t0) (6.63)
28Diracova delta funkcijaδ(x−a) je enota v Hilbertovem (funkcionalnem) prostoru.
f(a) = Z
δ(x−a)f(x)dx ; f0(a) = Z
δ0(x−a)f(x)dx
Dobimo jo kot limito Gaussove porazdelitve:
δ(x−x0) = lim
σ→0
√1 2πexp
"
−(x−x0)2 2σ2
#
6.12 Casovno neodvisen Hamiltonov operator ˇ
Operator ˆH nima ˇcasovne odvisnosti:
Hˆ 6= ˆH(t) ; i~∂
∂tΨ(x, t) = ˆHΨ(x, t)
Ker operator zadoˇsˇca valovni enaˇcbi, lahko poiˇsˇcemo njegove lastne vrednosti in funkcije.
V ta namem Uporabimo separacijski nastavek Ψ(x, t) = f(t)ϕ(x) in poiˇsˇcemo reˇsitve diferencialn enaˇcbe:
Separirani diferencialni enaˇcbi reˇsimo ter dobimo nastavek Ψ(x, t) = exp
Ko nastavek vstavimo v prvotno enaˇcbo, hkrati pa razpiˇsemo ˆH, dobimoenaˇcbo lastnih vrednosti operatorja ˆH:
−~2
2mϕ00(x) +V(x)ϕ(x) = E ϕ(x) (6.64) Eso lastne vrednosti operatorja ˆH, medtem, ko soϕ(x) njegove lastne funkcije. Vrednosti vseh so odvisne od robnih pogojev!
Funkcijo Ψ(x, t) si oglejmo ˇse malo bolj podrobno:
|Ψ(x, t)|2 = exp Verjetnostna gostota %(x) je od ˇcasa neodvisna.
Vzemimo dve reˇsitvi diferencialne enaˇcbe, ter ju seˇstejmo:
Ψ1(x, t) = exp
Izkaˇze se, da je tudi dobljena vsota reˇsitev Schroedingerjeve enaˇcbe, saj je le-ta linearna!
Torej je linearna kombinacija n reˇsitev zopet reˇsitev:
Ψ1,Ψ2, ...,Ψn so reˇsitve ⇒ Ψ =
n
X
i
ciΨi je reˇsitev
Funkcijo Ψ torej lahko zapiˇsemo kot linearno kombinacijo stacionarnih reˇsitev
kar pomeni, da verjetnostna gostota dobi naslednjo obliko:
%(x, t) =
6.12.1 Posledice lastnosti stacionarnih reˇ sitev
Zanimajo nas lastnosti funkcij stacionarnih reˇsitev. Da bi jih raziskali, si oglejmo integral verjetnostne gostote po prostoru, ki mora biti za vsak ˇcas enak ena. Pri izraˇcunu bomo privzeli, da je sploˇsna reˇsitev linearna kombinacija dveh funkcij (n=2).
1 =
Da bo rezultat izpeljave regularen, moramo privzeti ˇstiri nastavke. Prva dva se nanaˇsata na normiranost gostot funkcij ϕ1 inϕ2
Z
ϕ∗1ϕ1dx = 1 Z
ϕ∗2ϕ2dx = 1 ,
druga dva pa sta nujna, ˇce hoˇcem doseˇci ˇcasovno neodvisnost linearne kombinacije:
Z
ϕ∗1ϕ2dx = 0 Z
ϕ∗2ϕ1dx = 0 .
Torej soϕn ortogonalne normirane funkcije29: Z
ϕ∗i(x)ϕk(x) dx = δik . (6.66) To je zelo pomembna ugotovitev, saj ortonormirane funkcije tvorijo Hilbertov prostor.
Sedaj, ko smo se dokopali do pomembne lastnosti stacionarnih reˇsitev, si oglejmo operator <H >ˆ v stacionarnem sistemu:
<H >ˆ = Z
Ψ∗HΨ dxˆ = Z
ϕ∗Hϕˆ dx = E Z
ϕ∗ϕdx = E
E je torej ravno priˇcakovana vrednost energije, ko sistem opiˇse ena sama funkcija. Pokaˇzimo ˇse, da je E nujno realna:
<H >ˆ = Z
( ˆHΨ)∗Ψ dx = Z
(EΨ)∗Ψ dx = E∗ Z
Ψ∗Ψ dx = E∗ . Ker je operator ˆH hermitski ( ˆH∗ = ˆH), velja:
<H >ˆ = Z
( ˆHΨ)∗Ψ dx = Z
Ψ∗Hˆ∗Ψ dx = Z
Ψ∗Hˆ Ψ dx = E .
Torej veljaE∗ = E, kar dokazuje realno vrednost energije. Preden se odpravimo naprej, hitro zapiˇsimo ˇse rezultat za primer, ko sistem opiˇse linearna kombinacija funkcij (izraz 6.65):
<H >ˆ = X
n,m
cnc∗me~i(En−Em)t Z
ϕ∗m(x)ϕn(x) dx
= X
n
|cn|2En ; X
n
|cn|2 = 1
Dobljen rezultat pove, da se lastna vrednost energije obteˇzi odvisno glede na stanje, ki ga obravnavamo!
6.12.2 Povezanost s propagatorjem
Dobro oboroˇzeni z ugotovitvami prejˇsnjih dveh razdelkov si oglejmo obliko valovne funkcije (6.65) ob ˇcasu t =t1:
Ψ(x, t1) = X
n
cne~iEnt1ϕn(x) = X
n
anϕn(x) (6.67)
Pri tem smo vpeljali novo konstanto an, ki je produkt uteˇzne konstante cn in eksponent-nega dela. Izraz seveda lahko obrnemo ter ˇclene cn izrazimo s konstantami an:
cn = ane−~iEnt1 (6.68)
29Ortonormiranost lahko bralec hitro dokaˇze z indukcijo.
Sedaj zapiˇsimo valovno funkcijo ˇse ob poljubnem ˇcasu t2, ter vanjo vstavimo vrednosti koeficientov cn (izraz 6.68):
Ψ(x, t2) = X
Ker v dobljenem izrazu ˇcas ne nastopa kot spremenljivka, temveˇc kot doloˇcena konstanta (t1, t2), smemo trditi, da je sistem stacionaren. Torej se v stacionarnem primeru valovna funkcija ob ˇcasu t2 izraˇza s funkcijo ob ˇcasu t1!
Z nekaj matematiˇcnega formalizma30 nadaljujemo z izpeljavo. Koeficiente an sedaj zapiˇsimo malce drugaˇce:
Ψ(x, t1) = X
n
anϕn(x) ; an= Z
ϕ∗n(x) Ψ(x, t1) dx Izraz za izraˇcun koeficientov an vstavimo v vsoto, ki jo nato malce obteˇsemo:
Ψ(x, t2) = X Dobljeni izraz smo v malce drugaˇcni obliki ˇze spoznali v razdelku 6.5:
Ψ(x, t2) = Z
K(x, t2;x0, t1) Ψ(x0, t1) dx0 Oˇcitno torej smem vrednost propagatorja zapisati v naslednji obliki:
K(x, t2;x0, t1) = X
n
ϕ∗n(x0)ϕn(x) e~iEn(t2−t1) (6.69)
30Izpeljimo nekaj matematiˇcnih identitet, ki jih potrebujemo za nadaljevanje. Izrazg(x) =P
angn(x) na obeh straneh z leve pomnoˇzimo zg∗m(x) in integriramo pox(sistemgn(x) je ortonormiran):
Z
Nastavek za izraˇcun koeficientovan sedaj vstavimo nazaj v enaˇcbog(x) =Pangn(x):
g(x) = X
Funkcijof(x, y) seveda hitro spoznamo. To je namreˇc kar funkcija deltaf(x, y) =δ(x−y). Torej lahko zapiˇsemo:
X
n
gn∗(y)gn(x) = δ(x−y)
Ce torej poznamo reˇˇ sitve stacionarne Schr¨odingerjeve enaˇcbe( ˆHϕn(x) =Enϕn(x)), poznamo tudi propagator!
6.13 Harmonski oscilator
Oglejmo si primer delca, ki je vezan v harmonskem potencialuV(x) = 12kx2. Lagrangeova funkcija se v tem primeru glasi L = 12mx˙2−V(x). Ko jo vstavimo v Euler Lagrangeovo enaˇcbo, dobimo enostavno diferencialno enaˇcbo drugega reda
d katere reˇsitev je seveda kombinacija kroˇznih funkcij:
x(t) = Asinωt + Bcosωt ; ω= 2π/t0 , t0 = 2πp
m/k (6.70)
6.13.1 Klasiˇ cna oblika
Najprej si oglejmo akcijo. Kot vemo, se le-ta izraˇza s ˇcasovnim integralom Lagrangeove funkcije. Zapiˇsimo jo za primer, ko ˇcas zaˇcnemo ˇsteti prit1 = 0, drugo toˇcko pa postavimo nat2 =T:
V zapisani enaˇcbi uporabimo nastavka za ˙x(t) in x(t) (izraz 6.70) ter tako dobimo
S = m
Izraz integriramo in v dobljeno reˇsitev vstavimo integracijske meje kot vrednosti ˇcasovne spremenljivke:
Iz prvega oglatega oklepaja izpostavimo ω2 ter uporabimo nastavekω2 =k/m. Ker tako ˇ
clena pred oglatima oklepajema postaneta enaka, lahko izraz za izraˇcun akcije zapiˇsemo v okrajˇsani obliki:
S(A, B) = k 4ω
A2sin 2ωT − B2sin 2ωT − 4ABsin2ωT
Rezultat hoˇcemo zapisati v obliki, ki ne bo eksplicitno vsebovala konstant A in B. V ta namen si oglejmo reˇsitev x(t) (izraz 6.70) v doloˇcenih ˇcasovnih mejah. Tako dobimo bolj fizikalno definicijo:
x(0) = B , x(T) = AsinωT + x(0) cosωT (A, B) →
x(0), x(T)−x(0) cosωT sinωT
Klasiˇcna akcija harmoniˇcnega oscilatorja se tako v novi obliki glasi:
S(x(T), x(0)) = mω 2 sinωT
(x2(T) + x2(0)) cosωT − 2x(T)x(0)
Preostane nam le ˇse, da si pogledamo klasiˇcno energijo oscilatorja. Kot vemo, imata povpreˇcni vrednosti
kx2 2
= 1 T
Z T 0
kx2(t)
2 dt ,
mx˙2 2
= 1 T
Z T 0
mx˙2(t) 2 dt enako vrednost, in sicer
kx2 2
=
mx˙2 2
= H
2
H je polna energija, ki je v primeru harmoniˇcnega oscilatorja konstantna:
H = mx˙2
2 + kx2
2 = konst.
6.13.2 Kvantnomehanski pristop
Oglejmo si reˇsitve Sch¨odingerjeve enaˇcbe za primer harmoniˇcnega oscilatorja, ko operator polne energije
Hˆ = pˆ2
2m + V(x)
ni odvisen od ˇcasa. Kot smo ˇze pokazali (razdelek 6.12), smemo v tem primeru reˇsitev zapisati razdeljeno na ˇcasovni in prostorski del
Ψ(x, t) = ϕ(x) e~iHt .
Sch¨odingerjevo enaˇcbo v tem primeru zapisemo v poenostavljeni obliki (enaˇcba 6.64):
−~2 2m
d2ϕ(x)
dx2 + 12kx2ϕ(x) = Eϕ(x)
Ko upoˇstevamo ˇse diskreten energijski spekter harmoniˇcnega oscilatorja
E =En= (n+ 12)~ω (6.71)
dobimo konˇcno obliko
− ~2 2m
d2ϕn(x)
dx2 + 12kx2ϕn(x) = Enϕn(x)
ki ji moramo doloˇciti ˇse robna pogoja. Ker je harmoniˇcni oscilator vezan sistem mora biti reˇsitev diferencialne enaˇcbeϕ(x)nv neskonˇcnosti enaka niˇc! Robna pogoja se tako glasita
ϕn(x→ ±∞) = 0 .
Po nekaj vrsticah matematiˇcne zabave lahko bralec ugotovi, da so reˇsitve dane diferen-cialne enaˇcbe oblike
ϕn(x) = (2nn!) mω
kjer je Hn n-ti Hermitov polinom:
Hn[y] = (−1)ney2 dne−y2 dyn .
S stacionarnimi reˇsitvamiϕn(x) sedaj lahko izraˇcunamo povpreˇcni vrednosti< 12kx2 >
in< p2/2m >: Rezultat je oˇcitno enak kot v klasiˇcni mehaniki:
p2 2m
= < 12kx2 >= 12En
Preverimo ˇse, ali je zadoˇsˇceno tudi Heissenbergovemu naˇcelu. Povpreˇcni vrednosti koordinate ter gibalne koliˇcine sta enaki niˇc zaradi simetrije:
< x > =
Torej pri izraˇcunu upoˇstevamo le povpreˇcji kvadratov koordinate ter gibalne koliˇcine:
∆x∆p = p
(< x2 >−< x >2) (< p2 >−< p >2) = m kEn2
= (12 +n)~
Rezultat oˇcitno ustreza definiciji Heissenbergovega naˇcela, saj velja
∀n ⇒ ∆x∆p ≥ ~ 2
Vemo, da najniˇzje energijsko stanje harmoniˇcnega oscilatorja ustreza stanju s ˇstevilom n = 0. V tem primeru je produkt nedoloˇcenosti komponente in gibalne koliˇcine enak spodnji meji Heissenbergovega naˇcela. ˇCe si dobro ogledamo obliko stacionarne reˇsitve
ϕ0(x) = mω π~
14 exp
−mωx2 2~
je ugotovitev smiselna, saj je sama reˇsitev podobna minimalnemu Gaußovemu valovnemu paketu!
Da bo slika popolna, si oglejmo ˇse propagator za primer harmoniˇcnega oscilatorja. Ko v enaˇcbo propagatorja (6.69) vstavimo izraza za izraˇcun energije (6.71) in stacionarnih reˇsitev (6.72), ter si ogledamo obliko reˇsitve ob ˇcasih t1 = 0 ter t2 =T, dobimo
K(x, T ;x0,0) =
mω 2i~sinωT
12
e~iS[x(t)]
=
− 1 2i~
∂2S[x(t)]
∂x(0)∂x(T) 12
e~iS[x(t)] , (6.73)
pri ˇcemer je S[x(t)] klasiˇcna akcija31. To je zelo pomembna ugotovitev, saj lahko kvant-nomehansko obliko propagatorja zapiˇsemo s povsem klasiˇcnimi koliˇcinami!
31V enaˇcbi propagatorja za harmoniˇcni oscilator (6.73) nastopa izraz
− 1 2i~
∂2S[x(t)]
∂x(0)∂x(T) ,
ki ga imenujemovan Vleckova determinanta. Odvoda po x(0) inx(T) nista odvoda po konstantah, kar bi bil nesmisel. Dejansko to predstavlja dve toˇcki, zaˇcetno in konˇcno, ki potujeta in sta premiˇcni po vseh vrednostih!
Poglavje 7
Statistiˇ cna mehanika in termodinamika
7.1 Sistemi delcev z diskretnimi stanji
V poglavju 6 smo ugotovili, da je energija v kvantni mehaniki kvantizirana. Primer, na katerem smo to pokazali, je bil harmonski oscilator. Lege med energijskimi nivoji so bile v tem primeru ekvidistanˇcne:
E = (n+12)~ω
Vendar pa moramo resnici na ljubo priznati, da je v naravi zelo malo sistemov, v katerih bi se nahajal en sam delec. Zato nas bo v nadaljevanju zanimalo, kaj se dogaja s sistemom, v katerem se nahaja mnogo delcev, ki niso nujno enaki. Seveda moramo privzeti, da poznamo naravo posameznih delcev, saj v nasprotnem primeru naˇse delo ne bi imelo kakˇsnega veˇcjega smisla.
7.1.1 Temperatura in toplota
Vzemimo dva sistema A in B (slika 7.1). V vsakem izmed sistemov je mnogo delcev, katerih energija je diskretizirana, niso pa nujno enaki v obeh sistemih. Sistema staknemo.
Slika 7.1: Sistema A in B z energijamaUAinUBter sistem termiˇcnega stika AB z energijo UAB.
Novemu sistemu recimo termiˇcni stik podsistemov A in B. Njegova glavna lastnost je,
da sistema lahko izmenjujeta energijo le med sabo, ne pa tudi z okolico. Oglejmo si spremembe energij sistemov.
Naj bostaUA in UB energiji podsistemov A in B, UAB pa energija celotnega sistema.
Za vsak ˇcas po termiˇcnem stiku mora veljati, da mora toliko energije, kot jo prvi podsistem prejme, drugi oddati:
dUA=−dUB ⇒ d(UA + UB) = 0
⇒ UA + UB =UAB = konst.
Torej je energija celotnega sistema UAB konstantna. Vendar pa sta energiji podsistemov lahko med soboj razliˇcni. Iz narave odnosa med spremembama energij podsistemov bomo zato vsakemu podsistemu pripisali novo fizikalno koliˇcino, ki bo povedala, ali med siste-moma v toplotnem stiku teˇce energijski oziroma toplotni tok. Novo koliˇcino imenujmo temperatura, definirajmo pa jo na naslednjih primerih:
1. dUA=−dUB = 0 ; A in B imata isto temperaturo 2. dUA=−dUB >0 ; B ima viˇsjo temperaturo kot A 3. dUA=−dUB <0 ; A ima viˇsjo temperaturo kot B
Ce po toplotnem stiku velja prva ali druga moˇˇ znost steˇce med sistemoma energijski oziroma toplotni tok! Pomembna je ugotovitev, da prestavljanje energije v tem primeru ne opravi nobenega dela. Zato izmenjavi damo posebno ime - toplota (Q)1:
δQ= dUA=−dUB
7.1.2 Energijski spektri sistemov in ˇ stevilo stanj
Oglejmo si sistema A in B. V vsakem izmed sistemov so po ˇstirje delci, ki so med seboj razloˇcljiviin so lahko v danem trenutku v poljubnem energijskem stanju, ki je na voljo.
Sistem A naj ima ekvidistantne energijske nivoje, sistem B pa ne (slika 7.2). Sistemu
Slika 7.2: Razliˇcna sistema ˇstirih razloˇcljivih delcev z diskretnimi energijskimi nivoji.
A pripiˇsimo neko vrednost celotne energije UA. Nato si oglejmo vse moˇznosti zapolnitve energijskih stanj s ˇstirimi delci, tako da bo vsota posameznih energij delcev enaka UA. Skupno sstevilo stanj v sistemu A z energijoUAoznaˇcimo zΩA(UA) in rezultate zapiˇsimo
1δQne pomeni spremembe toplote, temveˇc majhen del celote, ki ga opazujemo.
v tabelo:
Tabela ˇstevila stanj z doloˇceno skupno energijo UA v sistemu A:
UA= 0 ΩA(UA) = 1 UA= 1 ΩA(UA) = 4 UA= 2 ΩA(UA) = 10 UA= 3 ΩA(UA) = 20 UA= 4 ΩA(UA) = 35 UA= 5 ΩA(UA) = 56 UA= 6 ΩA(UA) = 84
... ...
Zapis vseh stanj za primer UA = 3. Stanje 0120 pomeni, da se prvi delec nahaja na osnovnem, drugi delec na prvem, tretji na drugem, ter ˇcetrti zopet na osnovnem en-ergijskem nivoju. Skupna energija je tako 0 + 1 + 2 + 0 = 3 =UA.
3000 0003 0300 0030 2100 2010 2001 1200 0210 0201 0021 1020 0120 1002 0102 0012 1110 1101 1011 0111
Podobno seveda lahko poiˇsˇcemo tudi tabelo stevila stanj pri danih energijah UB za sistem B. Ker v tem sistemu manjkajo energijski nivoji z vrednostima energije 3 in 5, bo ˇstevilo stanj za primere UB >2 manjˇse, kot v sistemu A:
UA,UB 0 1 2 3 4 5 6 ΩA(UA) 1 4 10 20 35 56 84 ΩB(UB) 1 4 10 16 23 28 38
Sedaj, ko poznamo ˇstevila stanj za nekatere vrednosti celotne energije sistemov A in B, se vpraˇsajmo, kaj se s stevilom stanj zgodi ob toplotnem stiku. Oglejmo si primer, ko sta energiji podsistemov UA = UB = 3. Po toplotnem stiku bo zato energija celotnega sistema UAB = 6. Ko predpostavimo, da med samimi delci ni interakcije2, si lahko ogledamo odvisnost ˇstevila energijskih stanj ΩAB(UAB) od ˇstevil ΩA(UA) in ΩB(UB):
ΩAB(UAB) = ΩA(UA) · ΩB(UB) = 20·16 = 320
Recimo, da so vsa stanja enakovredna in s tem enako verjetna, ter se vpraˇsajmo po verjetnosti realizacije P(Ui):
P(UA) = 201 = 0,05 P(UB) = 161 = 0,063
Torej je verjetnost, da se en delec znajde v stanju z energijo U = 3, enaka:
A : P(U1 = 3, U2,3,4 = 0) = 4·0,05 = 0,2 B : P(U1 = 3, U2,3,4 = 0) = 0·0,063 = 0
Kot ˇze reˇceno, je energija celotnega sistema v primeru, ki ga obravnavamo, UAB = 6.
Ta energija se lahko med oba sistema sedaj porazdeli na veˇc naˇcinov. Tako imamo poleg moˇznosti UA = UB = 3 sedaj na razpolago tudi na primer porazdelitev z vrednostima UA = 1 in UB = 5, ... Upoˇstevajoˇc to ugotovitev, si oglejmo tabelo stanj za sistem AB
UA 0 1 2 3 4 5 6
UB 6 5 4 3 2 1 0
ΩAB(UA, UB) 38 112 230 320 350 224 84
Tabela 7.1: ˇStevila stanj ΩAB(UA, UB) glede na razporeditev skupne energije na podsis-tema.
(tabela 7.1). Hitro lahko ugotovimo, da je celotno ˇstevilo stanj ΩAB(UAB) pri energiji UAB = 6 veliko veˇcje od vrednosti produkta ΩA(UA) · ΩB(UB):
UA = 3 UB = 3 UAB = 6
ΩA(UA) = 20 ΩB(UB) = 16 ΩAB(UAB) = 1358
Poveˇcanje ˇstevila stanj je posledica diskretnega energijskega spektra! Ker pa s tem ˇse nismo do konca izˇcrpali zaloge spoznanj, ki se nam ponujajo, si oglejmo, kaj nam lahko povedo povpreˇcne vrednosti energij podsistemov A in B pred in po termiˇcnem stiku.
Slika 7.3: Grafikon odvisnosti ˇstevila delcev od energije ter grafikon doloˇcitve povpreˇcne energije za sistema z 8 (zgoraj) in velikim ˇstevilom delcev (spodaj).
Povpreˇcno energijo definiramo kar s teˇziˇsˇcnim izrekom
< UA>pred = X
UA
UAΩA(UA)
ΩA = 3 < UB >pred = X
UB
UBΩB(UB)
ΩB = 3 ,
2Dela ni, je le toplotni tok, sicer bi se energijski nivoji ”pokvarili”.