4.1 Robni pogoji za Maxwellove enaˇ cbe
4.1.8 Invariantnosti Newtonovih enaˇ cb glede na umeritvene transformacije 136
Iz analitiˇcne mehanike vemo, da se delec giblje po taki trajektoriji, da je akcija S mini-malna. V primeru delca v elektromagnetnem polju, bomo akcijo zapisali kot vsoto dveh ˇ
clenov, in sicer takole:
S =
Torej: S=S0+Sint, kjer je Sint integracijski del akcije. Zapiˇsemo ga tudi takole:
Sint =−
Vidimo, da je akcija odvisna od ϕ in A. Toda elektromagnetno polje, ki je doloˇceno z E in B v skladu z umeritvenimi invariantnostimi ni enoliˇcno doloˇceno zϕ in A. Zato sledi vpraˇsanje, ˇce je akcija neodvisna od umeritvenih invariantnosti. V ta namen vstavimo enaˇcbi (??) ter (4.10) v zgornjo enaˇcbo: Umeritvene invariantnosti torej vplivajo na akcijo, vendar prispevajo le v zaˇcetni in konˇcni toˇcki. ˇClene(ζ(r2, t2)−ζ(r1, t1)) ne vpliva na gibalne enaˇcbe, saj je njegov prispevek, kot reˇceno, le v zaˇcetni in konˇcni toˇcki. Vsa preostala trajektorija pa ostane ista kot prej. To pomeni, da se Newtonov zakon ni odvisen od umeritvenih invariantnosti.
Hamiltonove enaˇcbe za delec v elektromagnetnem polju
Sedaj, ko poznamo Lagrangeovo funkcijo za delec v elektromagnetnem polju, lahko zapiˇsemo ˇse Hamiltonovo funkcijo H. Kot vemo iz analitiˇcne mehanike, velja:
H = ˙rp− L=H(p,r, t). (4.204) Najprej moramo izraˇcunati p:
p= ∂L
∂r˙ =mr˙+eA−→r˙ = 1
m(p−eA). (4.205)
To vstavimo v izraz za H in dobimo:
H= 1
m(p−eA)p− 1
2m(p−eA)2+eϕ−
−e1
m(p−eA)A=
= 1
2m(p−eA)2+eϕ.
SE NEKAJ!!!!!!
4.1.9 Maxwellove enaˇ cbe v ˇ stirih dimenzijah
Ostanimo za zaˇcetek ˇse kar pri elektromagnetnem polju. ˇSe enkrat zapiˇsimo izraz za akcijo oziroma nujo delca v polju:
S = Z t2
t1
dt 1
2mv2+evA−eU
. Akcijo, povezano s potencialom polja, oznaˇcimo z Sint:
Sint= Z t2
t1
evAdt− Z t2
t1
eϕdt=e Z r2
r1
Adr− Z t2
t1
ϕdt
.
Naj izgleda nekoliko nepomembno, a uvedimo vektorje ˇcetverce, s pomoˇcjo katerih bomo zgornjo enaˇcbo lepˇse in krajˇse zapisali. Potencial bo ˇcetverec oblike
Aµ = (A, iϕ c).
Prve tri komponente so kar komponente vektorja magnetnega potenciala, zadnja pa je elektriˇcni potencial in je za razliko od prvih imaginarna. Podobno uvedemo krajevni vektor ˇcetverec:
rµ = (r, ict)
Zadnja, ˇcasovna komponenta je imaginarna, ˇcesar pa si ne smemo razlagati s kakˇsno misterioznostjo ˇcasa.
Kot bomo videli kasneje, je imaginarnost dobrodoˇsla pomoˇc pri raˇcunanju skalaranih produktov ˇcetvercev. Alternativni pristop uvedbe ˇcetvercev sicer ˇcasovne komponente obravnava kot realne, vendar uvede drugaˇcne metriˇcne lastnosti ˇstiri dimenzionalnega prostora, ki mu takˇsni ˇcetverci pripadajo. Ta pristop za razliko od naˇsega deluje tudi v sploˇsni teoriji relativnosti.
Vrnimo se k naˇsemu ˇstiridimenzionalnemu prostoru z obiˇcajno metriko, a nekoliko neobiˇcajnim ˇcasom. Akcijo, povezano s potenciali elektromagnetnega polja, zapiˇsemo s pomoˇcjo ˇcetvercev:
Sint=e Z
Aµdrµ.
Zapis akcije povezane s potenciali elektromagnetnegta polja, se je torej z uvedbo ˇstiri-dimenzionalnega prostora poenostavil. Pokaˇzemo lahko, da se moˇcno poenostavi tudi zapis mnogih drugih enaˇcb, ki opisujejo elektromagnetno polje. Zaˇcnimo z enaˇcbama za magnetni potencial A ter elektriˇcni potencial ϕ:
∇2A− 1 c2
∂2A
∂t2 = −µ0j, (4.206)
∇2ϕ− 1 c2
∂2ϕ
∂t2 = −ρ
ε0. (4.207)
V njiju nastopa operator∇2 oziroma Laplaceov operator. Takoj se lahko vapraˇsamo, kaj je Laplaceov operator v ˇstiridimenzionalnem prostoru? Uvedimo najprej ˇstiri-gradient6:
∇µ= ∂
∂x, ∂
∂y, ∂
∂z, ∂ ic∂t
=
∇, ∂ ic∂t
. (4.208)
Kot vemo, v obiˇcajnem trodimenzionalnem prostoru velja ∆ =∇2 =∇∇. Isto naj velja tudi v ˇstiridimenzionalnem prostoru, le da tu Laplaceov operator oznaˇcimo z2:
2 =∇µ∇µ=∇2− 1 c2
∂2
∂t2
Vidimo, da je Laplaceov operator v ˇstiridimenzionalnem prostoru valovni operator. To je dobrodoˇsla lastnost, iz katere takoj sledi nakaj uporabnih enaˇcb. Najprej zapiˇsimo zgornji enaˇcbi za potenciala A inϕ:
2A = −µ0j, (4.209)
2ϕ = −ρ
ε0. (4.210)
Ce vpeljemo ˇse ˇˇ cetverec izvorov elektromagnetnega polja kot jµ = (j, iρc), lahko obe zgornji enaˇcbi zapiˇsemo kot eno samo. In sicer drugo enaˇcbo pomniˇzimo z ic, nato pa obe enaˇcbi ˇse seˇstejemo. Dobimo:
2Aµ=−µ0jµ (4.211)
ˇSe dve uporabni enaˇcbi dobimo iz izraza za Lorentzovo umeritev ter iz kontinuitetne enaˇcbe. Lorentzova umeritev ∇ ·A+ c12
∂ϕ
∂t pove, da je ˇstiri-divergenca ˇstiri-potenciala enaka niˇc:
∇µ·Aµ= 0. (4.212)
Iz kontinuitetne enaˇcbe pa pridemo do ugotovitve, da je ˇstiri-divergenca izvorov elektro-magnetnega polja enaka niˇc:
∇µ·jµ= 0 (4.213)
Dobili smo torej tri omembe vredne enaˇcbe, ki opisujejo elektromagnetno polje v ˇstiri-dimenzionalnem prostoru:
∇µ·Aµ= 0, ∇µ·jµ= 0, 2Aµ=−µ0jµ.
6Vektorje in diferencialne operatorje v ˇstiridimenzionalnem prostoru bomo oznaˇcevali kot ˇstiri-vektorje, ˇstiri-operatoje. Vedno pred ime operatorja damo besedo ˇstiri
Kot vidimo v njih nastopata ˇstiri-potencial Aµ in ˇstiri-tok jµ. Zanima nas ˇse, kaj se dogaja z enaˇcbami za jakost elektriˇcnega polja E in gostoto magnetnega polja B v ˇstir-idimenzionalnem zapisu.
Komponente vektorjevE inB bomo izraˇcunali prek vpeljavetenzorja elektromag-netnega polja:
Fµν = ∂Aµ
∂xν − ∂Aν
∂xµ. (4.214)
Ta tenzor ima dve lastnosti, ki sta vredni omembe. Najprej Fii = 0, kar pomeni, da so niˇcelni vsi diagonalni elementi. Druga lastnost pa je antisimetriˇcnost Fµν =−Fνµ. ˇCe v potu lastnega obraza izraˇcunamo preostalih ˇsest komponent tenzorja, dobimo:
Fµν =
Kako so torej Maxwellove enaˇcbe za polji E in B skrite v tem tenzorju? Izraˇcunamo jih na sledeˇc naˇcin. Najprej poglejmo, kaj je divergenca tega tenzorja. Dobimo:
∂Fµν Divergenca tenzorja elektromagnetnega polja nam torej da ˇcetverec izvorov . To pomeni, da sta v enaˇcbi
0. Dokaˇzimo to z neposrednim raˇcunom. Izraˇcunajmo npr. ∂F∂x1ν
ν : Zai= 4 (ˇcasovno komponento) pa je dokaz takˇsen:
∂F41
Divergenca tenzorja elektromagnetnega polja torej da dve Maxwellovi enaˇcbi od skupno ˇstirih. Kaj pa preostali dve? Hitro vidimo, da zahtevi ∇·B= 0 zadosti enaˇcba:
∂F24
∂x1 +∂F13
∂x2 +∂F12
∂x3 = 0. (4.217)
Tako ostane le ˇse enaˇcba ∇ ×E = −∂B∂t. Prepriˇcamo se lahko, da to enaˇcbo dobimo takole:
ic∂F24
∂x1 +ic∂F41
∂x2 +ic∂F12
∂x4 = 0. (4.218)
V sploˇsnem torej Maxwellovi enaˇcbi ∇·B= 0 ter ∇×E=−∂B∂t dobimo iz enaˇcbe:
∂Fµω
∂xν +∂Fνµ
∂xω + ∂Fων
∂xµ = 0. (4.219)
Ta enaˇcba skupaj z enaˇcbo:
∂Fµν
∂xν =−µ0jµ (4.220)
predstavlja zapis Maxwellovih enaˇcb za jakost elektriˇcnega poljaEter gostoto magnetnega polja B v ˇstiri-dimenzionalnem prostoru.
Poglavje 5
Teorija relativnosti
5.1 Posebna teorija relativnosti
V poglavju o elektromagnetnem polju smo veˇc ali manj govorili o posledicah Maxwellovih enaˇcb. Pokazali smo, da je vsebina ˇstirih Maxwellovih enaˇcb presenetljivo bogata. Zan-imivo je, da struktura teorije elektromagnetnega polja ne opisuje zgolj elektromagnetnega polja, temveˇc nas napeljuje na misel, da utegne biti prostor ˇstir-idimenzionalen. Videli smo, da sta v ˇstiri-dimenzionalnem zapisu elektriˇcno in magnetno polje le dva obraza iste interakcije. Vse enaˇcbe, ki opisujejo elektromagnetno polje se v ˇstiri-dimenzionalnem zapisu moˇcno poenostavijo. Maxwellove enaˇcbe v sebi skrivajo ˇse eno presenetljivo de-jstvo, na katerega v dosedanjih razmiˇsljanjih sploh nismo bili pozorni. Pomislimo, kako smo Maxwellove enaˇcbe naˇsli. Opazovali smo pojave povezane z elektriˇcnim in magnet-nim poljem in iz rezultatov poskusov, ki smo jih napravili na Zemlji, sklepali o povezavi med elektriˇcnim in magnetnim poljem. Kot pomembno posledico Maxwellovih enaˇcb smo nato izpeljali valovno enaˇcbo in za hitrost razˇsirjanja elektromagnetnega valovanja dobili c= √ε1
0µ0. Ta rezultat je presenetljiv. Priˇcakovali bi namreˇc, da bo v hitrosti razˇsirjanja elektromagnetnega valovanja avtomatiˇcno upoˇstevana tudi hitrost s katero se Zemlja giblje po vesolju. V nasprotju z naˇsimi priˇcakovanji pa smo za hitrost razˇsirjanja elektromag-netnega valovanja dobili vrednost, ki ni odvisna od tega, ali smo pojave povezane z elek-tromagnetnim valovanjem opazovali v mirujoˇcem ali gibajoˇcem se opazovalnem sistemu.
Za hitrost svetlobe vedno dobimo c = √ε1
0µ0. Zgodovinsko gledano je bilo to vpraˇsanje dokaj nerazumljivo vse do zaˇcetka 20 stoletja. Invariantnost hitrosti razˇsirjanja elektro-magnetnega valovanja glede na gibanje/mirovanje opazovalnega sistema je prvi uspeˇsno razloˇzil Einstein (1905) s postavitvijo posebne teorije relativnosti.