Lastnosti elektromagnetnega valovanja v snovi

Hitrost elektromagnetnega valovanja v snovi

V prejˇsnjih poglavjih smo se ukvarjali z elektromagnetnim valovanjem v vakuumu. Sedaj pa nas zanima, kako se elektromagnetno valovanje obnaˇsa v snovi. Zapiˇsimo najprej

Maxwellove enaˇcbe:

∇·D =ρ , ∇·B = 0,

∇×E=−∂B

∂t , ∇×H=j+∂D

∂t . Poleg tega veljata ˇse zvezi

D =εε_oE in B=µµ_oH.

Podobno kot v primeru elektromagnetnega valovanja v vakuumu delujmo z opratorjem

∇× na enaˇcbo∇×E =−^∂B_∂t, torej:

∇×(∇×E) =−∂

∂t∇×B =−µµ₀∂²D

∂t² .

Upoˇstevamo matematiˇcno zvezo ∇×(∇×A) =∇(∇·A)− ∇²A in dobimo:

∇(∇·E)− ∇²E=−µµ₀∂²D

∂t² .

Ker je ∇·E= 0, dobimo valovno enaˇcbo, ki ima v primeru elektromagnetnega valovanja v snovi obliko:

∇²E =εµε0µ0

∂²E

∂t² . (4.124)

Podobno enaˇcbo dobimo tudi za magnetno polje, izpeljave pa niti ne bomo omenjali, saj je popolnoma enaka kot v primeru elektromagnetnega valovanja v vakuumu. Raje si ˇze kar takoj poglejmo, kakˇsna je hitrost razˇsirjanja valovanja. Oˇcitno velja:

c= c0

√εµ = c0

n, (4.125)

kjer je n lomni koliˇcnik, n = √

εµ. Hitrost valovanja je v snovi vedno manjˇsa kot v vakuumu, saj je lomni koliˇcnik vedno veˇcji kot ena. S tem v zvezi ˇse ena opomba. Glede na teorijo relativnosti pravijo nekateri, da delci ne morejo potovati hitreje kot svetloba. To v resnici drˇzi le v vakuumu. V snovi posamezni delci lahko potujejo hitreje kot svetloba, ker se le-ta ˇsiri poˇcasneje kot c₀, ne morejo pa delci potovati s svetlobno hirtostjo (ali z veˇcjo hitrostjo) kot potuje svetloba v vakuumu.

Aproksimacija geometrijske optike

V prejˇsnjem poglavju smo izpeljali valovno enaˇcbo za elektromagnetno valovanje v snovi.

Pokazali smo, da je hitrost razˇsirjanja elektromagnetnega valovanja odvisna od lomnega koliˇcnika snovi. S tem v zvezi so znani ˇstevilni zanimivi in uporabni pojavi, ki jih obiˇcajno sreˇcamo pri optiki. Izkaˇze se, da je smer ˇsirjenja valovanja in amplituda nihanja elek-triˇcnega in magnetnega polja odvisna od lomnega koliˇcnika snovi. Posebno zanimiv in uporaben problem je naprimer obnaˇsanje elektromagnetnega valovanja na meji dveh medi-jev oziroma na obmoˇcju, kjer je medij optiˇcno nehomogen. V tem poglavju nas zato zanima, kako opiˇsemo razˇsirjanje elektromagnetnega polja v snovi.

Zaˇcnimo z valovno enaˇcbo in najprej poskuˇsajmo najti enaˇcbo ravnega vala v snovi.

Spomnimo se na reˇsitev valovne enaˇcbe v vakuumu:

E(r, t) = E₀e^i(kr−ωt) kjer je ω = k

c. (4.126)

Zaenkrat enaˇcbe ravnega vala v snovi ˇse ne poznamo, zato poskuˇsajmo z nastavkom:

E(r, t) = A(r)ei(kS(r)−ωt)

. (4.127)

V tem primeru nas zaradi enaostavnosti ne zanima smer vektorja E, zanima nas samo amplituda valovanja A. Odvisnost razˇsirjanja elektromagnetnega valovanja od lastnosti medija upoˇstevamo s funkcijoS(r), ki jo moramo ˇsele izraˇcunati. In sicer vstavimo zgornjo enaˇcbo v valovno enaˇcbo ∇²E = _c¹2

∂²E

∂t² in dobimo:

∇·(∇(A(r)ei(kS(r)−ωt)

)) = − ω² c²

|{z}

n²k²

A(r)ei(kS(r)−ωt)

.

Ker definiramokza valovanje v vakuumu, moramo namreˇc pisati^ω_c2² =n²k². ˇCe izraˇcunamo levo stran zgornje enaˇcbe in pokrajˇsamo ei(kS(r)−ωt), dobimo:

∇²A+ 2ik∇A∇S−k²(∇S)²A+n²k²A+ik(∇²S)A= 0.

Celoten dobljeni izraz je lahko niˇc le v primeru, ko sta niˇc tako realni kot tudi imaginarni del:

∇²A+ (n²−(∇S)²)k²A= 0, (4.128)

A∇²S+ 2∇A· ∇S = 0. (4.129)

Do sedaj smo raˇcunali egsaktno, nismo naredili nobene aproksimacije. Sedaj definirajmo aproksimacijo geometrijske optike:

∇²A

k²A 1, (4.130)

ki velja le v primeru, ˇce se amplituda elektromagnetnega valovanja v mediju le poˇcasi spreminja. Iz enaˇcbe (4.128) takoj sledi:

(∇S)² =n². (4.131)

V tem primeru imenujemo S fazno funkcijo ali ikonal. Zanima nas, kako reˇsujemo to enaˇcbo. Upoˇstevati moramo, da je S funkcija krajevne koordinate r. Eno reˇsitev lahko uganemo:

∇S =n(r)e(r), (4.132)

kjer je |e(r)|= 1 enotski vektor, ki kaˇze v smeri razˇsirjanja valovanja. V primeru, ˇce je lomni koliˇcnik n konstanten, sledi:

∇S =nk

k −→ S =nk

kr. (4.133)

To vstavimo v enaˇcbo e^i(kS−ωt) in dobimo enaˇcbo ravnega vala v snovi s konstantnim lomnim koliˇcnikom:

e^i(kS−ωt) =e^{i(knkkr−ωt)} =e^i(nkr−ωt).

Enaˇcba ˇzarka

V geometrijski optiki bi se radi ukvarjali le z ˇzarkom. ˇZarek je krivulja, ki jo doloˇca enotski smerni vektor. Radi bi razˇsirjanje elektromagnetnega valovanja opisali tako, da bi raˇcunali le poti ˇzarkov, iz tega pa bi nato raˇcunali ˇse amplitudo valovanja. Poglejmo, ˇ

ce se to da. Vstavimo ∇S =n(r)e(r) v enaˇcbo (4.129):

A∇ ·(n(r)e(r)) + 2∇A·n(r)e(r) = 0.

Iz definicije gradienta vemo:

e· ∇A= dA ds,

kjer je ds loˇcni element ˇzarka. Iz zgornje enaˇcbe dobimo nato:

A∇ ·(n(r)e(r)) + 2dA

dsn(r) = 0 −→ 1 A

dA ds =−1

2

∇ ·(n(r)e(r))

n(r) . (4.134)

Ta enaˇcba pove, kako se spreminja amplituda valovanja vzdolˇz ˇzarka e(r). Takoj ko imamo reˇsitev za ikonal, imamo tudi reˇsitev za amplitudo vzdolˇz ˇzarka. Niˇc pa ne vemo, kako se amplituda spreminja transverzalno glede na ˇzarek.

V zgornji enaˇcbi potrebujemo v sploˇsnem e(r). V ta namen si poglejmo odvod:

d

ds(n(r)e(r)) = e(r)∇ ·(n(r)e(r)) =e(r)·(∇ ·(∇S)) = 1

n(r)∇S·(∇ ·(∇S)) =

= 1

2n(r)∇(∇S)² = 1

2n(r)∇n(r)² =∇n(r).

Izpeljali smo enaˇcbo:

d

ds(ne) =∇n. (4.135)

To pa enaˇcba ˇzarka, ki pove, kako se v prostoru spreminja smer ˇzarka. Teorija opisana zgoraj je uporabna v vsakem primeru, ko so karakteristiˇcne razdalje spreminjanja lomnega koliˇcnika n mnogo veˇcje od valovne dolˇzine svetlobe.

Ravni ˇzarekCe jeˇ ∇n(r) = 0 potem dobimo ^de_ds = 0 kar pove, da se e ne spreminja vzdolˇz sebe. To je ravni ˇzarek.

Lomni zakon Imejmo lomni koliˇcnik odvisen le od ene koordinate, npr. y. Torej n=n(y). Enaˇcba ˇzarka je vektorska, kar pomeni, da imamo pravzaprav tri enaˇcbe, ki jih za ta primer zapiˇsemo:

d

ds(ne_x) = 0, d

ds(ne_y) = ∂n

∂y, d

ds(ne_z) = 0.

Iz teh enaˇcb razberemo:

Ce imamo mejo dveh sredstev v katerih je lomni koliˇˇ cnikn₁ oziroma n₂, zapiˇsemo:

sinϑ₁ sinϑ₂ = n₂

n₁ (4.136)

Fermatov pristop

Enaˇcbo ˇzarka smo v prejˇsnjem poglavju izpeljali iz enaˇcb (4.128) in (4.129) z upoˇstevanjem aproksimacije geometrijske optike. Zgodovinska pot je bila drugaˇcna. Fermatovo naˇcelo pravi, da se v prostoru elektromagnetno valovanje ˇsiri tako, da je ˇcasovni razmik, ki ga svetloba porabi od toˇcke (1) do toˇcke (2), minimalen:

∆t= Navidezno Fermatovo naˇcelo nima nobene zveze z enaˇcbami, ki smo jih napisali zgoraj in, ki so veˇc ali manj sledile iz Maxwellovih enaˇcb. Zato se zdi nekoliko presenetljivo, da s pomoˇcjo Fermatovega naˇcela pridemo do iste enaˇcbe ˇzarka. Pokaˇzimo, da je res tako.

Pomagali si bomo z znanjem analitiˇcne mehanike. Kvadrat loˇcnega elementads zapiˇsemo (tu gre le za drugaˇcen zapis, ki je matematiˇcno neoporeˇcen):

ds² =drdr = smo ga ˇze sreˇcali pri analitiˇcni mehaniki. Spomnimo se na Euler-Lagrangeovo enaˇcbo in sklepamo, da velja:

iz ˇcesar nato sledi:

d

Zadnji izraz ˇse nekoliko preoblikujemo:

d ds

n(r) r˙

|r |

= d

ds(n(r)e(r)) =∇n(r). (4.141) To pa je enaˇcba ˇzarka. Kot vidimo je Farmatovo naˇcelo enakovredno aproksimaciji ge-ometrijske optike. Vendar pa iz Farmatovega naˇcela ne moremo dobiti odvisnosti ampli-tude ˇzarka od r.

In document AVTOR: prof. dr. Rudolf Podgornik (Strani 119-124)