1 ; (ijk) je soda permutacija
−1 ; (ijk) je liha permutacija
0 ; sicer
(2.1) Pomagal nam bo pri bolj simetriˇcnem zapisu razliˇcnih enaˇcb tudi kasneje. Zati si ga zapomnimo.
2.5 Napetostni tenzor
Predpostavimo, da so vse sile, ki delujejo med razliˇcnimi deli telesa kratkega dosega.
To sledi iz predpostavke o lokalnem delovanju. V kolikor to ne bi bilo res (recimo pri piezoelektriˇcnosti) bi bilo treba teorijo elastiˇcnosti ustrezno dopolniti.
Volumske sile
Razdelimo ves prostor na telo, ki ga opazujemo in okolico. Med njima se nahaja meja (∂), ki je v sploˇsnem neka dana povrˇsina. Vse sile, ki delujejo na telo, lahko razdelimo v tem smislu na notranje (delujejo med deli telesa) in zunanje (delujejo med deli telesa in okolico) takole
Fi = Z
ρ(r)fie(r)d3r+ Z
fi(r)d3r,
kjer smo zfiz oznaˇcili zunanjo silo na enoto mase 4. Prvi integral predstavlja interak-cijo z zunanjimi polji kot npr. teˇznostjo, , drugi pa interakcije med deli telesa in okolico.
Upoˇstevali smo tudi, da je gostota telesa lahko nehomogena. Po 3. Newtonovem zakonu se vse notranje sile med seboj uniˇcijo in jih zato ni potrebno upoˇstevati.
Ker so po predpostavki vse sile kratkega dosega se mora dati vsota sil med telesom in njegovo okolico zapisati v obliki povrˇsinskega integrala (premisli natanˇcno ta argument), saj ostanejo v integralu le sile, ki delujejo neposredno preko povrˇsine telesa. Po analogiji z Gaussovim teoremom, po katerem je integral vektorja a po povrˇsini enak integralu divergence tega vektorja po volumnu
I
akdSk=
Z ∂ak
∂xkdV
uvidimo da lahko zapiˇsemo podobno relacijo tudi za tenzor pik I
pikdSk =
Z ∂pik
∂xkdV.
To ni niˇc drugega kot Gaussov izrek za vsako komponento i; ˇce so torej sile kratkega dosega potem se mora dati gostota sile med telesom in okoljem zapisati kot divergenca nekega tenzorja:
fi = ∂pik
∂xk
,
tako, da se njen volumski integral po telesu lahko zapiˇse kot povrˇsinski integral po njegovi meji
Z
fi(r)d3r = Z
∂
pikdSk.
Na tak naˇcin smo vpeljalinapetostni tenzorpik. Lahko reˇcemo, da jepikposploˇsitev pojma sile pri deformaciji tridimenzionalnih teles. Njegova vpeljava je vezana na to, da so sile med telesom in njegovo okolico kratkega dosega.
Na hitro si oglejmo pomen napetostnega tenzorja. ˇCe silo na nek volumen izrazimo s povrˇsinskim integralom, se to zapiˇse takole:
4indeksz pomeni zunanja
Fi = I
∂
pikdSk+ Z
ρfie(r)d3r.
V primeru, ko nimamo zunanjih sil, drugi ˇclen seveda odpade. Za nek neskonˇcno majhen del povrˇsine je potem
pik = dFi dSk.
Povedano z besedami: pik je sila na enoto povrˇsine, ki deluje v smerii, ˇce normala ele-menta povrˇsine kaˇze v smerik. Namesto dSk piˇsimo produkt enotskega vektorja normale na povrˇsino ter elementa ploˇsˇcine:
Fi = I
piknkdS.
Produkt piknk smemo tako interpretirati kot gostoto sile na enoto povrˇsine v smeri i. ˇce je telo od zunaj neobremenjeno, je ta gostota sil niˇc:
fi =piknk = 0.
Pa imamo robni pogoj, ki mora veljati na povrˇsini neobremenjenega elastiˇcnega telesa.
Navor
Povrˇsinsko silo torej znamo zapisati s pomoˇcjo napetostnega tenzorja. Po analogiji s silo se mora tudi navor zapisati kot povrˇsinski integral neke funkcije. Navor izraˇcunamo kot integral vektorskega produkta roˇcice in gostote sile po volumnu celotnega telesa:
M= Z
r×f(r)d3r.
V komponentnem zapisu se to glasi Mi =
Z
[r×f]id3r=εijk Z
xjfkd3r.
Zdajle fk izrazimo z divergenco napetostnega tenzorja (fk = ∂p∂xkl
l) in nadomestimo odvod z odvodom produkta (xjpkl):
Mi =εijk
Z xj
∂pkl
∂xld3r =εijk
Z ∂(xjpkl)
∂xl d3r−εijk
Z ∂xj
∂xlpkld3r.
Prvi ˇclen je volumski integral divergence εijkxjpkl, in je zato po Gaussovem izreku izrazljiv kot povrˇsinski integral. Drugega ˇclena se za razliko nikakor ne da prevesti na ploskovni integral; ˇce naj bo tudi navor, tako kot sila, izrazljiv kot povrˇsinski integral (kar po principu o lokalni akciji mora biti), mora biti ta ˇclen enak 0:
εijk
Z ∂xj
∂xlpkld3r= 0.
∂xj
∂xl je enakδjl, tako da smemo indeks l nadomestiti z j: εijk
Z
pkjd3r= 0.
To mora veljati na vsakem volumnu, tako da mora biti ˇze izraz pod integralom enak 0. Zapiˇsemo ga lahko tudi takole, pri ˇcemer se sklicujemo na antisimetriˇcnost tenzorja εijk:
εijkpkj = 1
2(εijkpkj −εikjpkj).
Indeksi v drugem ˇclenu so nemi, zato smemok inj zamenjati, ter izpostaviti εijk: εijkpkj = 1
2εijk(pkj −pjk) = 0.
Da bo temu zadoˇsˇceno, mora veljati
pkj =pjk,
torej mora biti napetostni tenzor tak kot tenzor deformacije simetriˇcen.
Primeri napetostnega tenzorja
Za konec navedimo nekaj zgledov, ki jih opisujemo s tenzorjem napetosti:
1. Izotropen tlak (diagonalni elementi so enaki tlaku, vsi ostali so 0, kar pomeni, da sila vedno deluje v tisti smeri, kamor kaˇze normala na povrˇsino):
pij =−pδij
2. Strig (na enoto povrˇsine z normalo v smeri y deluje sila v smeri z; tenzor ima dva izvendiagonalna elementa od niˇc razliˇcna):
pij =p0(δiyδzj+δizδyj)
3. Enosmerna napetost (sila deluje pravokotno na element povrˇsine v smeri y):
pij =T δiyδjy
2.5.1 Cauchyjeva enaˇ cba
V tem podpoglavju bomo izpeljali Newtonov zakon za zvezno telo, ki mu obiˇcajno pravimo tudi Cauchyjev zakon.
Na nek delˇcek telesa v majhnem volumnu d3r delujejo tako zunanje sile kot tudi sile, ki so posledica napetosti v telesu. Skupna sila na tak delˇcek telesa je potemtakem
dFi =fi(r)d3r=
ρ(r)fie(r) + ∂pik(r)
∂xk
d3r.
Z fi smo oznaˇcili skupno gostoto sile na enoto volumna, z fiz pa gostoto zunanje sile na enoto mase. Silafipo drugem Newtonovem zakonu povzroˇca pospeˇsevanje izbranega dela telesa. Pospeˇsek je kar drugi odvod vektorja deformacijeupo ˇcasu (ta vektor namreˇc pove, za koliko je del telesa premaknjen glede na nedeformirano telo) in od tod ˇze dobimo Cauchyjevo enaˇcbo
ρ¨ui =ρfiz+∂pik
∂xk.
To je lokalna enaˇcba, ki velja za vsak del telesa posebej. Velikokrat nas zanima ravnovesje, torej oblika ˇze deformiranega telesa, ne pa tudi dinamika deformacije. Tedaj so vsi pospeˇski enaki 0 in se enaˇcba elastiˇcnega ravnovesja glasi
0 =ρfiz+ ∂pik
∂xk
.
Ta (kot tudi ˇze prejˇsnja) enaˇcba bi bila (vsaj v principu) reˇsljiva, ˇce bi poznali povezavo med napetostnim tenzorjem pik in vektorjem deformacije ui (konstitutivna relacija), in robne pogoje, ki jih dobimo iz simetrij sistema. Slednjih smo se ˇze dotaknili na koncu prejˇsnjega poglavja, ko smo ugotovili, da je za prosto, neobremenjeno telo gostota sil na enoto povrˇsine enaka 0 na robu (povrˇsini) telesa:
piknk ∂
= 0.
Da bi reˇsili Cauchyjevo enaˇcbo nam torej manjka ˇse konstitutivna relacija pik =pik(ui) =pik(uik).
V najbolj preprosti obliki se ta konstitutivna relacija imenuje Hookeov 5 zakon.
5R. Hooke, 1678
2.5.2 Termodinamika deformacije
Poglejmo, koliko dela opravimo na telesu, ki ga opisujemo s tenzorjem napetosti pik(r), ˇ
ce vektor deformacije spremenimo zaδui(r). Delo, ki ga opravimo na enota volumna, je, po definiciji, enako produktu gostote sile (divergenca napetostnega tenzorja) in poti (v naˇsem primeru kar sprememba vektorja deformacije). Opravljeno delo je tako:
δW =
kjer je δw volumska gostota opravljenega dela. Podobno kot prej nadomestimo delni odvod pik s popolnim odvodom produkta (pikδui) in z Gaussovim stavkom zamenjamo volumski integral divergence z integralom po sklenjeni ploskvi:
δW =
Telo naj bo dovolj veliko, da se deformacije v notranjosti ne poznajo na povrˇsini (tako ui kot δui na robu telesa – integracijskem obmoˇcju integrala po sklenjeni ploskvi – sta 0). S tem prvi ˇclen odpade. V preostalem drugem ˇclenu pa upoˇstevamo simetriˇcnost napetostnega tenzorja in dobimo
Z
δW je delo, ki ga opravimo, oz. ga okolica opravi, na telesu. Bolj pa nas zanima, koliko elastiˇcne energije je vskladiˇsˇcene v telesu po deformaciji. Tej energiji pravimo tudi prosta energija (F) saj predstavlja najveˇcje moˇzno razpoloˇzljivo delo, ki ga lahko opravi deformirano telo. Sprememba proste energije je torej enaka negativni spremembi vskladiˇsˇcene defromacijske energije dF = −dW pri konstantni temperaturi. ˇCe le-ta ni konstantna pa velja dF = −SdT − dW, kjer je S entropija. Prosto energijo dobimo pravzaprav iz notranje energije, tako da napravimo Legendreovo transformacijo z ozirom naT S 6.
Poglejmo si izraz za spremembo volumske gostote proste energije. Gostota proste en-ergije f je skalarna koliˇcina, enaka vsoti dovedene toploteT ds (pri reverzibilnih procesih, kjer je T temperatura inds sprememba volumske gostote entropije) in opravljenega dela (−δw).
6Za podrobnosti si poglejte katerikoli uˇcbenik termodinamike.
df =−sdT −δw=−sdT +pikduik.
Od tod preberemo, da je v ravnovesju pri konstantni temperaturi tenzor napetosti podan z enaˇcbo
pik = ∂f
∂uik
T
. (2.2)
To je osnovna zveza termodinamike deformacije. ˇCe imamo torej prosto energijo kot funkcijo tenzorja deformacije, nam zgornja relacija daje tenzor napetosti kot funkcijo tenzorja deformacije: kar pa je ravno Hookeov zakon.
2.5.3 Ekstremalni problem v elastomehaniki
Zgoraj smo torej ugotovili, kako iz gostote elastiˇcne proste energije, kot funkcije defor-macijskega tenzorja pridelamo napetostni tenzor. Ponovimo: ˇce imamo gostoto proste energije v oblikif =f(uik) potem lahko tenzor napetosti izpeljemo iz En. 2.2.
Namesto tega, pa sedaj raje definirajmo nov termodinamski potencial oblike
e=f(uik)−uikpik. (2.3)
To ni niˇc drugega kot Legendrova transformacija elastiˇcne proste energije. Oˇcitno smo preˇsli iz neodvisne spremenljivke uik na neodvisno spremenljivko pik! Torej je e=e(pik).
Postopek je popolnoma analogen prehodu iz neodvisne spremenljivke V v prosti energiji A na neodvisno spremenljivko pv prosti entalpiji G:
G=A−pV. (2.4)
Sedaj postopajmo analogno kot v termodinamiki. Ravnovesno stanje pri ustreza mini-mumu proste entalpije, oziroma
∂G
∂V
= 0 −→p= ∂A
∂V
. (2.5)
Podoben razmislek velja tudi za elastiˇcni termodinamski potencial En. 2.3 ∂e
∂uik
= 0 −→pik = ∂f
∂uik
. (2.6)
Ravnovesno stanje v elastomehaniki lahko torej dobimo tudi tako, da poiˇsˇcemo minimum elastiˇcnega potenciala e glede na tenzor elastiˇcne deformacije.
S tem smo problem elastiˇcnega ravnovesja prevedli na ekstremalni problem: poiˇsˇcemo f(uik), izpeljemo prispevek zunanjih napetosti k prosti energiji −uikpik in vsoto obeh minimiziramo po deformaciji! Velikokrat namestoe uporabimo kar isto ˇcrko f.