Imejmo izotropno in homogeno snov (npr. polikristalitna snov) in skuˇsajmo izraˇcunati gostoto proste energije za to snov v okviru linearne elastiˇcne teorije. Ker je prosta en-ergija od koordinatnega sistema neodvisen skalar je lahko zgolj funkcija skalarnih invariant tenzorja deformacije. Omejimo se le na skalarne invariante do drugega reda glede na de-formacijo, kar je v skladu z linearizacijo tenzorja deformacije.
Kot ˇze vemo, so skalarne invariante koeficienti sekularne enaˇcbe lastnih vrednosti tenzorja deformacije, in smo jih ˇze zapisali v poglavju o kinematiki deformacije. Zapiˇsimo z njimi gostoto proste energije kot linearno kombinacijo skalarnih invariant do drugega reda:
f(uik) =f0+A1Truik+A2Tr2uik+ 1
2A3(Tr2uik−Tru2ik) +A4detuik.
Faktor 12 pri koeficientuA3je pisan iz zgodovinskih razlogov in nima globljega pomena.
Koeficient A1 mora biti niˇc, saj sicer napetostni tenzor nikoli ne bi mogel biti niˇceln in bi potemtakem vedno obstajala neka napetost v telesu, ˇcetudi to ne bi bilo deformirano.
Clen s koeficientomˇ A4 je tretjega reda in ga zato zanemarimo. Razvoj proste energije do kvadratnega reda po tenzorju deformacije je potemtakem
f(uik) =f0+1
2λTr2uik+µTru2ik,
kjer sta λ in µ Lam´ejeva elastiˇcna modula in sta odvisna od snovnih lastnosti snovi.
Izraˇcunajmo zdaj pik na na¸cin, ki smo ga izpeljali v prejˇsnjem poglavju.
pik = ∂
∂uik
f0+λ
2(Truik)2 +µu2ik
. Odvod ˇclena f0 je 0, druge pa odvajamo, kot smo vajeni:
∂f
∂uik =λ(Trulj)δik+ 2µuik in tako dobimo
pik =λTruljδik+ 2µuik.
To je ravno Hookeov zakon, ki pove, kako so napetosti v telesu odvisne od deformacij.
Hooke ga je formuliral kot Ut tensio, sic vis. Za homogeno izotropno telo sta torej dovolj dve snovni konstanti (v Lam´ejevem naboru sta toµ inλ), da popiˇsemo zvezo med napetostmi in deformacijami.
Delujmo na to enaˇcbo s sledjo :
Trpik =λTruik+ 2µTruik
⇒Trpik = (3λ+ 2µ)Truik.
Ob vstavitvi te enaˇcbe v izraz za pik in razreˇsevanjem za uik dobimo:
uik = 1 2µ
pik− λ
2µ+ 3λδikTrpik
.
Izpeljali smo torej odvisnost tenzorja napetosti od deformacije in odvisnost deformacije od tenzorja napetosti.
Glede na to, da je gostota proste energije kvadratna funkcijauik in glede na to, da je pik enak odvodu gostote proste energije po uik mora seveda veljati
f =f0+1 2pikuik .
To zvezo bomo kasneje veˇckrat potrebovali in si jo torej dobro zapomnimo.
2.6.1 Izotropno telo pod izotropno obremenitvijo
Zgornje enaˇcbe nam povedo, kako se obnaˇsa izotropno telo pod vplivom (v sploˇsnem) neizotropnih napetosti. ˇCe bi bile tudi napetosti izotropne, tedaj je namreˇc deforma-cijski tenzor pik = −pδik, kjer je p ravno tlak, bi se morala naˇsa teorija reducirati na termodinamsko zvezo med izotropno deformacijo, torej spremembo volumna, in tlakom.
Poglejmo, ˇce to drˇzi.
Iz Hookeovega zakona sledi:
Trpik = 2µTruik+ 3λTruik =−3p, oziroma
(2µ−3λ)Truik =−3p.
Spomnimo se enakosti Truik = dVV , kjer smo privzeli,, da je pritisnjeni tlak majhen in je zato tudi sprememba volumna (diferencialno) majhna. To nesemo v prejˇsnji rezultat:
−3p= (2µ+ 3λ)dV V . Ker p opisuje spremembo tlaka, piˇsimo rajedp namestop:
−3dp= (2µ+ 3λ)dV V . Ce to obrnemo, dobimo enaˇˇ cbo:
3
2µ+ 3λ =−1 V
∂V
∂P
T
(predpostavili smo, da je temperatura ves ˇcas konstantna). Po drugi strani je to znan izraz iz termodinamike:
−1 V
∂V
∂P
T
=χT −→χT = 3 2µ+ 3λ.
Naˇsa teorija je torej v dani limiti popolnoma konsistentna s termodinamiko! Razliˇcni deli fizike so sicer neodvisni, vendar pa vedno med seboj konsistentni.
2.6.2 Hookeov zakon in simetrija elastiˇ cnih teles
Razliˇcna elastiˇcna telesa so invariantna na razliˇcne simetrijske operacije, ki jih napravimo nad njimi. Recimo, izotropno telo je invariantno na vse rotacije in zrcaljenja. Enoosno telo je invariantno na rotacije okrog glavne osi itd.
Manjˇsa je simetrija, torej na manj simetrijskih operacij je telo invariantno, teˇzje je dobiti prosto energijo. Vseeno pa lahko, ˇce se omejimo na linearno teorijo elastiˇcnosti, zapiˇsemo nekaj sploˇsnih principov, ki veljajo ne glede na simetrijo.
Glede na to, da sta tenzorja napetosti in deformacije oba tenzorja drugega redu, nam (linearno) zvezo med njima v sploˇsnem posreduje tenzor ˇcetrtega reda (tenzor elastiˇcnega modula):
pik =Kiklmulm.
Glede na to, da sta tako tenzor napetosti, kot tenzor deformacije simetriˇcna tenzorja, mora veljati
Kiklm =Kkilm =Kikml =Klmik.
Zaradi tega od prvotnih 81 komponent tenzorja elastiˇcnega modula ostane le 21 neodvis-nih!
Poiskati jih moram za vsako vrsto simetrije posebej. Kot primer bomo obravnavali le ˇse telo z enoosno simetrijo.
2.6.3 Young-Poissonovi snovni konstanti
V tem poglavju se bomo omejili na homogene deformacije, kot je npr. razteg ali skrˇcitev teles vzdolˇz njihovih osi. Imejmo palico, ki jo usmerimo v smeri osi z; Ob raztegu ali skrˇcevanju vzdolˇz te osi so sile na robni ploskvi enakomerne, zato jih bomo opisovali s tlakomp. Ker je deformacija homogena, je deformacijski vektor uik konstanten po celem telesu, ravno tako tudi napetostni tenzor pik, ki ga lahko zapiˇsemo brez veˇcjih teˇzav ob analizi robnih pogojev. Zunanjih sil na plaˇsˇc ni in je zato piknk = 0; na povrˇsini je od 0 razliˇcna le komponentapzz =p. Zaradi homogenosti deformacije privzamemo, da to velja tudi v notranjosti palice.
Zapiˇsimo Hookov zakon za diagonalne elemente deformacijskega tenzorja:
uxx =uyy =− λ
2µ(3λ+ 2µ)p, uzz = µ+λ
µ(3λ+ 2µ)p.
Komponenta uzz nam meri vzdolˇzno deformacijo palice; za laˇzji zapis vpeljimo novo koliˇcino:
E = p uzz,
ki ji pravimo Youngov modul. Komponenti uxx in uyy podajata preˇcno deformacijo palice; tokrat vpeljemo:
σ=−uxx
uzz =−uyy uzz,
ki ji pravimo Poissonovo ˇstevilo. Ti dve koliˇcini nadomestita Lam´ejevi konstanti µ in λ; zapiˇsimo transformacijske enaˇcbe, ki prevedejo Youngov modul in Poissonovo ˇstevilo v stari nabor:
λ= Eσ
(1−2σ)(1 +σ), µ= E 2(1 +σ). V obratni smeri:
E = (3λ+ 2µ)µ
µ+λ , σ= λ 2(µ+λ).
Vidimo, da je E pozitivno definiten, σ pa omejen na [−1,1/2]. To ugotovimo na sledeˇc naˇcin: ˇce izrazimoσ s pomoˇcjo sisljivosti κ inµ, dobimo
σ= 3κ−2µ 2(3κ+ 2µ), µpa se seveda lahko spreminja na obmoˇcju [0,∞)!
Prepiˇsimo tudi enaˇcbo Hookovega zakona v obliko, ki vsebujeE in σ:
pik = E 1 +σ
uik+ σ
1−2σullδik
,
kjer jeull sled deformacijskega tenzorja,Truik. To enaˇcbo lahko tudi obrnemo; izvedemo Tr na njej, da ugotovimo zvezo med Truik in Trpik:
Trpik = E 1 +σ
Truik+ 3σ
1−2σTruik
(faktor 3 v drugem ˇclenu na desni pride odTr I). Torej:
Trpik = E
1−2σTruik ⇒Truik =ull = 1−2σ E pll. To nesemo v Hookovo enaˇcbo:
pik = E 1 +σ
uik+ σ 1−2σ
1−2σ E pllδik
in dobimo na koncu
⇒uik = 1 +σ E
pik− σ
1 +σpllδik .
Razliˇcne nabore elastiˇcnih konstant lahko strnemo v takˇsno tabelo
Iz zgodovisnkih razlogov bomo v nadaljnjih formulacija izmeniˇcno uporabljali tako Lam´ejev kot Young - Poissonov nabor elastiˇcnih konstant.
izraˇzen(a) z λ µ E σ
λ ,µ µ(3λ+2µ)λ+µ 2(λ+µ)λ
λ,σ λ(1−2σ)2σ λ(1+σ)(1−2σ)
σ
E, σ (1+σ)(1−2σ)σE E 2(1+σ)
Tabela 2.1: Zveze med razliˇcnimi nabori elastiˇcnih konstant.