Kinematika deformacije

Pri deformaciji se izbran del telesa, torej skupek njegovih atomov oziroma molekul, pre-makne iz izhodiˇsˇcne v neko drugo lego: ˇce smo pred deformacijo njegovo lego opisali skrajevnim vektorjem r, oziroma v komponentah x_i, jo po deformaciji opiˇsemo s kra-jevnim vektorjemR(r).

Zavedati se moramo, da lahko lego skupka atomov oz. molekul, torej bodisi r ali pa R(r) definiramo le v snoveh, kjer imajo atomi (oziroma molekule) poloˇzajski red dolgega dosega. Vsak atom oz. molekulo torej lahko oznaˇcimo tako, da navedemo koordinate toˇcke v prostoru, kjer se nahaja. Za tekoˇcine (pa tudi veˇcino tekoˇcih kristalov) to ni mogoˇce, saj se atomi oz. molekule popolnoma neurejeno gibljejo po prostoru in jih ne moremo povezati z dolˇcenimi toˇckami v prostoru.

Loˇcimo dva opisa deformacije: pri enem preberemo koordinate nekega izbranega dela telesa v starem, nedeformiranem, koordinatnem sistemu r. To je Lagrangeov opis.

Uporabljamo ga pri teoriji elastiˇcnosti. Pri drugem pa preberemo koordinate istega dela telesa v novem - deformiranem koordinatnem sistemu R. To pa je Eulerjev opis.

Uporabljamo ga pri hidromehaniki. Mi se bomo zaenkrat ukvarjali s teorijo elastiˇcnosti in bomo uporabljali Lagrangeov opis.

1Vˇcasih se sliˇsi tudi termin mehanika kontinuumov. Tega preganjam. Latinske besede slovenimo tako, da vzamemo osnovo (pri besedicontinuumje tocontinu), jo prepiˇsemo v slovenˇsˇcino in nanjo nataknemo slovenska obrazila (kontinu−ov)!

Privzeli bomo princip lokalne akcije: deformacije v telesu so posledice lokalnih sil.

Uˇcinke dolgega dosega zanemarimo.

Zakonom, ki povezujejo zunanje uˇcinke z notranjimi odgovori razliˇcnih vrst snovi, pravimo konstitutivni zakoni. Taka sta npr. zakona D = ₀E v elektrodinamiki in F = κ∆l/l pri deformaciji vzmeti. Da bi izpeljali sploˇsne konstitutivne zakone v elastomehaniki, pa moramo najprej znati opisati deformaicjo elastiˇcnega tlesa.

2.4.1 Tenzor deformacije

Posvetimo se najprej kinematiki oz. opisu deformacije v zveznem mediju. Oglejmo si transformacijo r7−→R(r); zapisano po komponentah je to:

x_i 7−→R_i(x_k) = x_i+u_i(x_k),

kjer smo vpeljali vektor deformacije u_i(x_k), ki pove, za koliko se pri deformaciji premakne toˇcka, ki je bila pred deformacijo v x_k. Komponenten zapis u_i(x_k) je popol-noma enakovreden vektorskemu zapisu u(r). Latinski indeksi seveda teˇcejo od 1−3 in predstavljajo komponente x, y, z.

Razdalja med dvema sosednjima toˇckama na poljubni mnogoterosti se zapiˇse kot dl²₀ =g_ik⁽⁰⁾dx_idx_k.

kjer jeg_ik⁽⁰⁾ metriˇcni tenzor pred deformacijo². drje seveda vektorska razlika poloˇzajev dveh infinitezimalno sosednjih vektorjev.

Pri deformiranem telesu gledamo ustrezno razliko med vektorjemaR(r) inR(r+dr).

Tu vpeljemo element razdalje med istima toˇckama po deformaciji z zvezo dl² =g_ikdx_idx_k.

Deformacijo potemtakem oˇcitno lahko opiˇsemo kar z metriˇcnim tenzorjem, Lagrangeove koordinate pa ostanejo iste. Razdalja med dvema bliˇznjima toˇckama v telesu pred in po deformacijio zapiˇsemo po definiciji kot

dl²−dl²₀ = (g_ik−g_ik⁽⁰⁾)dx_idx_k =: 2u_ikdx_idx_k, kjer je u_ik (Greenov) tenzor deformacije, ki smo ga vpeljali kot

u_ik = 1

2(g_ik−g_ik⁽⁰⁾).

Tenzor deformacije je oˇcitno tenzor, saj je enak razliki dveh drugih tenzorjev, je pa tudi simetriˇcen, uik =uki, paˇc glede na lastnosti metriˇcnega tenzorja.

2Uporabljamo Einsteinov sumacijski dogovor: AiBi = P

iAiBi. Pod tenzorjem pojmujemo neko matriko, ki se transformira tako kot tenzorski produkt koordinat.

Poskusimo ga izraziti z vektorjem odmika u_i(x_k)! Zaˇcnimo s karteziˇcno 3D mreˇzo na nedeformiranem telesu. Metriˇcni tenzor je kar identitetna matrika, kar pomeni, da od produkta preˇzivijo le diagonalni elementi, torej elementi z enakim indeksom:

dl₀² =dx_idx_i =dx²_i.

Sedaj telo infinitezimalno deformiramo. Vsaka toˇcka x_k se preslika v R_i(x_k), zato je razdalja med dvema infinitezimalno bliˇznjima toˇckama po deformaciji³:

dl² =dR_idR_i =dR_i².

Tu smo prepostavili, da sta si toˇcki, ki sta si blizu pred deformacijo, blizu tudi po njej. Obiˇcajno je to res, razen v primerih, ko se telo pretrga, s katerimi pa se tu ne bomo ukvarjali. Ker je po definiciji vektorja deformacije R(r) = r+u(r), sledi

dRi =dxi+ ∂u_i Zmnoˇzimo in imamo

dx_idx_i+ ∂u_i

Pri linearnih ˇclenih smo indeks i v drugem ˇclenu spremenili v p, v tretjem pa v k – to lahko naredimo, saj so i,p in k nemi indeksi. Po definiciji je

dl²−dl₀² = 2u_pkdx_pdx_k=⇒

i imenujemo linearna komponenta tenzorjau_ik, ˇclen ^∂u_∂x^l

i

∂ul

∂xk pa nelinearna (kvadratna) komponenta tenzorjau_ik. Mi se bomo ukvarjali z linearno teorijo elastiˇcnosti, zato bomo nelinearni del zanemarili. To pomeni, da se bomo v nadaljevanju omejili na majhne deformacije. V linearnem opisu deformacije je u_ik ravno simetriziran gradient deformacijskega vektorja ui:

3infinitezimalna razlika med dvema toˇckama je ˇse vedno evklidska

u_ik = 1 2

∂u_i

∂x_k +∂u_k

∂x_i

.

2.4.2 Fizikalen pomen komponent tenzorja deformacije

Tenzor u_ik lahko v vsaki toˇcki diagonaliziramo: spravimo v tako obliko, da ima po diago-nali lastne vrednosti, vsi ostali elementi pa so 0. V lastnem sistemu deformacijski tenzor u_ik zapiˇsemo

dl² =dl₀² + 2u_ikdx_idx_k =dl²₀+ 2u₁₁dx₁² + 2u₂₂dx₂²+ 2u₃₃dx₃².

To je sevad spet element razdalje med dvema sosednjima toˇckama po deformaciji.

Sprememba kvadrata loˇcne dolˇzine dl²−dl₀² je v lastnem koordinatnem sistemu tenzorja deformacije torej vsota treh med seboj neodvisnih prispevkov. ˇCe si ogledamo enega, ostala dva pa postavimo na 0, dobimo (upoˇstevaje, da je tedaj dl²₀ =dx²₁)

dl² =dx²₁(1 + 2u₁₁),

kar lahko korenimo in razvijemo po u₁₁ do najniˇzjega reda dl=dx₁(1 +u₁₁),

od kjer sledi za relativni raztezek v lastni smeri 1:

u₁₁= dl−dx₁ dx₁ .

Zakljuˇcimo, dalastne vrednosti tenzorja deformacije predstavljajo relativne raztezke v lastnih smereh. Tudiˇce nismo v lastnem koordinatnem sistemu, do na-jniˇzjega reda v deformaciji diagonalni elementi u_ii ˇse vedno predstavljajo relativne spre-membe dolˇzin vx, y, z sneri.

Zanima nas ˇse pomen nediagonalnih elementov v tenzorju. Zato si oglejmo, kako se transformirajo koti med smermi pred in po deformacijo. Vzemimo ortogonalna vektorja v dveh smereh, recimo, (dx₁,0,0) in (0, dx₂,0). Prvi vektor naj se transformira v dR⁽¹⁾ = (dR⁽¹⁾₁ , dR⁽¹⁾₂ , dR⁽¹⁾₃ ), drugi pa v dR⁽²⁾ = (dR⁽²⁾₁ , dR⁽²⁾₂ , dR⁽²⁾₃ ). Pri tem za komponente prvega vektorja po definiciji zapiˇsemo:

dR⁽¹⁾₁ =dx₁+∂u₁

∂x₁dx₁ =

1 + ∂u₁

∂x₁

dx₁, dR⁽¹⁾₂ = ∂u2

∂x₁dx₁, dR⁽¹⁾₃ = ∂u₃

∂x₁dx₁, in za drugi vektor

dR⁽²⁾₁ = ∂u1

∂x₂dx₂, dR⁽²⁾₂ =dx₂+∂u₂

∂x2

dx₂ =

1 + ∂u₂

∂x2

dx₂, dR⁽²⁾₃ = ∂u₃

∂x2

dx₂.

Sedaj izraˇcunamo skalarni produkt dR⁽¹⁾ ·dR⁽²⁾ =|dR⁽¹⁾||dR⁽²⁾|cosθ₁₂ in ohranimo le linearne ˇclene:

dR⁽¹⁾·dR⁽²⁾ ≈ ∂u1

∂x₂dx₁dx₂+ ∂u2

∂x₁dx₁dx₂ = 2u₁₂dx₁dx₂.

Ker je|dx₁|·|dx₂|do lieanrnega reda enako|dR⁽¹⁾||dR⁽²⁾|(relativni raztezki so namreˇc po predpostavki majhni), je

dR⁽¹⁾·dR⁽²⁾ =|dR⁽¹⁾||dR⁽²⁾|cosθ12 ≈2u12dx⁽¹⁾dx⁽²⁾. Od tod pa sledi

2u12= cosθ12.

Enak rezultat bi dobili za ostale nediagonalne elemente. Torej je npr. nediagonalni element u₁₂ poloviˇcni kosinus kota med novima smerema prve in druge koordinatne osi, ki sta bili pred deformacijo pravokotni med seboj.

Kaj pa se zgodi z volumnom telesa po defromaciji? Pred deformacijo je volumski element v telesu

dV₀ =dx₁dx₂dx₃, po deformaciji pa

dV =dR₁dR₂dR₃.

Iz vektorske analize vemo, da lahko to zapiˇsemo z Jacobijevo determinantoJ(r) takole:

dV =

det∂R_i(r)

∂x_k

dV0 =J(r)dV0. Ker je R_i(x_l) =x_i+u_i(x_l) lahko v linearnem redu zapiˇsemo

J(r) = det

∂x_i+u_i(x_l)

∂x_k

= det

δ_ik+∂u_i(x_l)

∂x_k

= (1 +Tr u_ik+ldots), ali drugaˇce

dV −dV0

dV₀ =Tr u_ik.

Sled tenzorja deformacije je torej enaka relativni spremembi volumna pri deforma-ciji. Bilo bi neprijetno, ˇce bi bila ta relativna sprememba volumna odvisna od izbire koordinatnega izhodiˇsˇca. Na sreˇco temu ni tako.

2.4.3 Invariante tenzorja deformacije

Sled Tr u_ik je invarianta tenzorja in ni vezana na doloˇcen koordinatni sistem. To vemo iz linearne algebre. Pri iskanju lastnih vrednosti linearnega operatorja u_ik so namreˇc koeficienti karakteristiˇcnega polinoma invariante operatorja:

det(uik−tδik) = −t³+I1t²−I2t+I3 = 0.

Invariante I₁,I₂,I₃ so definirane kot

I₁ = ¹_2mnpinpu_im =Tru_ik I2 = ¹₂mnpmjkunjupk = ¹₂

(Tr uik)²−Tr uik2

= ¹₂(ujjukk−ukjujk) I₃ = ¹_6mnpijku_imu_jnu_kp = detu_ik.

V definicijah skalarnih invariant tenzorja smo vpeljali ε_ijk, Levi-Civitajev absolutno antisimetriˇcni tenzor 3. reda, katerega elementi so:

ε_ijk =







1 ; (ijk) je soda permutacija

−1 ; (ijk) je liha permutacija

0 ; sicer

(2.1) Pomagal nam bo pri bolj simetriˇcnem zapisu razliˇcnih enaˇcb tudi kasneje. Zati si ga zapomnimo.

In document AVTOR: prof. dr. Rudolf Podgornik (Strani 50-55)