3.4 Potencialni tok nestisljive tekoˇ cine
4.0.20 Elektromagnetno valovanje
Z
(V)
∂ρ
∂tdV = I
(S)=(∂V)
jdS= Z
(V)
∇·jdV.
Kontinuitena enaˇcba v diferencialni obliki se torej glasi:
∇·j+ ∂ρ
∂t = 0. (4.83)
Kontinuitetna enaˇcba velja v vsakem primeru. Takoj pa se lahko vpraˇsamo, ali se Maxwellove enaˇcbe s kontinuitetno enaˇcbo sploh ujemajo. Lotimo se naslednjega premis-leka. ˇCe na ˇcetrto Maxwellovo enaˇcbo delujemo z operatorjem∇· dobimo:
0 =∇·∇×B=µo∇·j,
kar pomeni, da se ˇcetrta Maxwellova enaˇcba ne ujema s kontinuitetno enaˇcbo. Preostane nam le, da Maxwellovo enaˇcbo popravimo, in sicer takole:
∇×B=µoj+εoµo
∂E
∂t. (4.84)
Clenuˇ εoµo∂E∂t pravimo premikalni tok. Ta pove, da podobno kot spreminjajoˇce se magnetno polje ustvari elektriˇcno, tudi spreminjajoˇce elektriˇcno polje ustvari magnetno polje.
4.0.20 Elektromagnetno valovanje
Osnovne enaˇcbe elektrodinamike (Maxwellove enaˇcbe) so zelo preproste po obliki. Zan-imivo pa je, da iz njih lahko izpeljemo veliko pomembnih ugotovitev. Ena najpomem-bnejˇsih posledic Maxwellovih enaˇcb je elektromagnetno valovanje, ki ga bomo na kratko opisali v tem poglavju. Ukvarjali se bomo s primerom, ko nimamo nobenih zunan-jih nabojev in nikakrˇsnih tokov. V nasprotju s prejˇsnjimi poglavji, ko smo se omejili bodisi na statiˇcna elektriˇcna in magnetna polja ali pa nas spreminjanja teh polj niso zanimala,
2razen pri nastajanju ali anihilaciji delcev, pa ˇse takrat se skupni naboj ohranja
pa sedaj skuˇsajmo ugotoviti, kako se elektriˇcno in magnetno polje spreminjata. Najprej zapiˇsimo Maxwellove enaˇcbe v vakuumu:
∇·E= 0 , ∇·B= 0,
∇×E=−∂B
∂t , ∇×B =εoµo∂E
∂t.
EinBnimata izvorov, vendar spreminjanje kateregakoli od njiju takoj povzroˇci nastanek ali spreminjanje drugega. Delujmo z operatorjem rotor na enaˇcbo ∇×E=−∂B∂t.
∇× ∇×E =−∂
∂t∇×B =−∂
∂t(εoµo∂E
∂t) =−εoµo∂2E
∂t2 . Upoˇstevamo matematiˇcno zvezo: ∇×(∇×A) = ∇(∇ ·A)− ∇2A in dobimo:
∇(∇ ·E)− ∇2E=−ε0µ0∂2E
∂t2
Prvi ˇclen je enak niˇc, saj nimamo nikjer nabojev, torej ∇·E= 0. Ostane:
∇2E=εoµo∂2E
∂t2 , (4.85)
kar je t.i. valovna enaˇcba za elektriˇcno polje. Podobno enaˇcbo moramo najti tudi za magnetno polje. Delujmo z operatorjem rotor na enaˇcbo ∇×B=ε0µ0∂E∂t:
∇×(∇×B) =ε0µ0 ∂
∂t(∇×E).
Spet upoˇstevamo matematiˇcno zvezo: ∇×(∇×A) = ∇(∇ ·A)− ∇2A in dobimo:
∇2B=εoµo∂2B
∂t2 , (4.86)
kar je valovna enaˇcba za magnetno polje.
Reˇsitve valovne enaˇcbe
Izpeljali smo dve valovni enaˇcbi, ki sta vektorski, kar pomeni, da imamo skupno 6 enaˇcb.
Zanimamo se za reˇsitve teh enaˇcb. Poiskali jih bomo tako, da si bomo izbrali eno moˇzno komponento, npr y:
∇2Ey =εoµo∂2Ey
∂t2 .
Reˇsevanje te enaˇcbe poteka enako kot reˇsevanje katerikoli druge enaˇcne oblike:
∂2u(x, t)
∂x2 = 1 c2
∂2u(x, t)
∂t2
Postopku reˇsevanja pravimo loˇcevanje spremenljivk. Za funkcijo u(x, t) uporabimo nas-tavek
u(x, t) =v(x)w(t)
To prepiˇsemo v enaˇcbo, pri tem pa odvajanje po x zaznamujemo s ˇcrtico, po ˇcasu pa s piko:
wv00 = 1 c2wv.¨
Funkcije prostorske spremenljivke postavimo na eno stran, ˇcasovne pa na drugo (v tem je trik loˇcevanja):
v00 v = 1
c2
¨ w w
Ce hoˇˇ cemo, da zgornja zveza velja, morata biti obe strani enaki isti konstanti:
v00
v =−k2 = 1 c2
¨ w w
Zaradi zgodovinskih in sicerˇsnjih razlogov vpeljemo ˇse konstanto ω2 = c2k2 in zapiˇsemo sedaj nesklopljeni enaˇcbi:
v00+k2v = 0 in w¨+ω2w= 0.
Reˇsitvi zgornjih enaˇcb sta znani vsem srenjeˇsolcem, zapiˇsimo ju v kompleksni obliki:
v(x) = Aeikx+Be−ikx in w(t) = Ceiωt+De−iωt.
Sploˇsne reˇsitve valovne enaˇcbe bodo produkt zgornjih dveh reˇsitev, torej bodo oblike u(x, t)∼e±i(kx∓ωt),
kjer pridejo v poˇstev vse permutacije predznakov. Takim reˇsitvam pravimo tudi ravni val, ki potuje s hitrostjo:
v = x t = ω
k =c.
To je zapis enaˇcbe ravnega vala v eni dimenziji. V treh dimenzijah pa se enaˇcbo ravnega vala zapiˇse takole:
u(r, t)∼e±i(kr±ωt).
To pa je sedaj ravni val, ki se ˇsiri v neki poljubni smeri k s hitrostjoc.
Stojeˇce valovanje
Konstanti A in B v krajevnem delu v(x) reˇsitve u(x, t) valovne enaˇcbe ter konstanti C in D v ˇcasovnem delu reˇsitve iˇsˇcemo glede na razliˇcne robne pogoje. Oglejmo si primer, ko velja v(x = 0) = 0 ter v(x = l) = 0. Opraviti imamo torej s stojeˇcim valovanjem znotraj meja x = 0 ter x = l, kjer ima valovanje vozle. Takoj lahko zapiˇsemo naslednji dve enaˇcbi:
A+B = 0, Aeikl+Be−ikl = 0.
Ker je po prvem B =−A, je potemtakem
eikl−e−ikl= 2isin(kl) = 0, kar nam da za kˇstevno mnogo reˇsitev
knl =nπ in un(x, t) =Ansin(knx)e±iωnt.
Sicer vemo, da je ωn = ckn, vendar brez ostalih robnih pogojev ne moremo izraˇcunati koliko je An.
Fourierov razvoj
Valovni enaˇcbi sta linearni, kar pomeni, da je pri reˇsitvah enaˇcbe u1 in u2 tudi vsaka njuna linearna kombinacija αu1+βu2 spet reˇsitev valovne enaˇcbe. Velja namreˇc:
α∂2u1
∂x2 +β∂2u2
∂x2 = α c2
∂2u1
∂t2 + β c2
∂2u2
∂t2 . Sedaj lahko zapiˇsemo reˇsitev s Fourierovo vrsto:
u(x, t) =X
k,ω
A(k, ω)ei(kx−ωt) kjer je ω =kc.
Koeficienti A(k, ω) so Fourierovi koeficienti ali parcialne amplitude. V treh dimenzijah delamo analogno. Valovna enaˇcba se glasi:
∇2u(r, t) = 1 c2
∂u(r, t)
∂t2 . Sploˇsno reˇsitev zapiˇsemo s Fourierovo vrsto:
u(r, t) =X
k,ω
A(k, ω)ei(kr−ωt) kjer je |k|= 2π
λ in kkc.
Vektorcima velikost enako hitrosti razˇsirjanja valovanja, njegova smer pa je smer razˇsirjanja.
Za vektorja E inB zapiˇsemo Fourierovo vrsto v sledeˇci obliki:
E(r, t) = X
k,ω
E0(k, ω)ei(kr−ωt), B(r, t) = X
k,ω
B0(k, ω)ei(kr−ωt).
Poskuˇsajmo sedaj ugotoviti, kaj tak zapis pomeni v okviru Maxwellovih enaˇcb. Z drugimi besedami, zanima nas, kakˇsno je elektromagnetno valovanje. Najprej razmiˇsljajmo o enaˇcbi ∇·E= 0:
∇·E = ∂Ex
∂x +∂Ey
∂y +∂Ez
∂z =X
k,ω
(ik)E(k, ω)e±i(kr−ωt) = 0.
Sledi:
kE(k, ω) = 0 oziromak⊥E(k, ω). (4.87) Vektor E je torej pri elektromagnetnem valovanju pravokoten na vektor k, ki ima smer razˇsirjanja valovanja.
Kaj pa vektor B. Uporabimo enaˇcbo ∇×B=ε0µ0∂E
∂t: X
k,ω
(ik×B(k, ω))e±i(kr−ωt)=−ε0µ0X
k,ω
iωE(k, ω)e±i(kr−ωt), iz ˇcesar sledi:
k×B(k, ω) = −ε0µ0ωE(k, ω) = −ω
c2E(k, ω). (4.88) Hitrost razˇsirjanja valovanja definiramo kot:
c= c
kk in obratno k= k
cc. (4.89)
Ko to vstavimo v (4.88), dobimo:
k
cc×B(k, ω) = −ω
c2E(k, ω) in konˇcno:
B(k, ω)×c=E(k, ω). (4.90) Dobili smo enaˇcbo, ki povezuje vektorjaBinEpri elektromagnetnem valovanju. Iz enaˇcbe
∇·B= 0 in iz simetrije te enaˇcbe z enaˇcbo∇·E= 0, takoj zakljuˇcimo ˇse k·B(k, ω) = 0 oziroma:
k⊥B(k, ω).
V Fourierovem prostoru sta torejE in B drug na drugega pravokotna, hkrati pa sta pra-vokotna tudi na smer razˇsirjanja valovanja, ki je podana skoziromac. Elektromagnetno valovanje je torej transverzalno valovanje. S tem v zvezi je tudi polarizacija valovanja, o kateri pa na tem mestu ne bomo govorili.