Elektrostatika

Naboj se v nekem delu prostora lahko spremeni le, ˇce vanj teˇce ali pa iz njega odteka toka. To je vse kar hoˇcemo vedeti o elektroimagnetnem polju.

Poleg diferencialne oblike Maxwellovih enaˇcb, ki smo jo zapisali zgoraj, lahko dobimo tudi integralno obliko. Vse zgornje enaˇcbe integroramo po volumni in upoˇstevamo izrek Gaussa in Stokesa. To nas pripelje do

I Te enaˇcbe lahko nazorno povemo tudi z besedami. Kako? Sedaj si poglejmo nekatere, nikakor ne vse, pomembne posledice Maxwellovih enaˇcb. Zaˇceli bomo z njihovim statiˇcnim pribliˇzkom.

4.0.18 Elektrostatika

Predpostavimo, da nimamo v prostoru nobenih magnetnih polja, elektriˇcno polje pa je statiˇcno. V tem primeru se Maxwellove enaˇcbe reducirajo na

∇×E= 0 ∇·E = ρ

₀. (4.61)

V tem primeru bomo govorili o elektriostatiki.

Elektrostatika raziskuje sile med mirujoˇcimi naelektrenimi telesi. Toˇckasto naelek-treno telo deluje na drugo toˇckasto naelektreno telo z elektriˇcno silo:

F= e₁e₂ 4πε₀r²

r r

.

Zakon imenujemoCoulombov zakon. Vektorrkaˇze od naboja e₁ doe₂, ˇce raˇcunamo silo s katero delujee₁ nae₂. ˇCe pa raˇcunamo silo s katero delujee₂ nae₁, pa kaˇzerv nasprotno smer. Sila med nabitima telesoma je odbojna za e1e2 >0 in privlaˇcna za e1e2 <0.

Coulombova obravnava elektriˇcne sile temelji na prepostavki, da naboj e₁ deluje na naboj e₂ skozi prazen prostor na daljavo. V Faradayevi in Maxwellovi sliki pa delovanje na daljavo zamenjamo z delovanjem polja, ki je nekekˇsen posrednik delovanja naboja na naboj. V tej sliki si predstavljamo, da naboj e₁ okrog sebe ustvari elektriˇcno polje, ki potem deluje na naboj e₂ (isto velja tudi za naboj e₂). Vsaki toˇcki elektriˇcnega polja priredimo jakost elektriˇcnega polja E. Elektriˇcno silo s katero elektriˇcno polje deluje na naboj, izraˇcunamo z enaˇcbo:

F=eE.

Vektor E ima isto smer, kot sila na toˇckasto pozitivno naelektreno telo. S pomoˇcjo Coulombovega zakona ugotovimo, da za jakost elektriˇcnega polja v okolici naboja evelja:

E= e 4πε₀r²

r r

Ce imamo v prostoru veˇˇ c nabojev e_i v toˇckah r_i, potem pa je elektriˇcna poljska jakost v neki poljubni toˇcki r6=r_i doloˇcena z enaˇcbo:

E(r) = 1 4πε₀

N

X

i=1

e_i(r−r_i)

|r−r_i |, (4.62)

Naboji niso vedno toˇckasti, zato si poglejmo ˇse, kako zapiˇsemo polje okrog zvezno po-razdeljenih nabojev:

E(r) = 1 4πε0

Z

(V)

ρ(r⁰)(r−r⁰)

|r−r⁰ |³ d³r⁰ (4.63) Koliˇcine s ˇcrtico se nanaˇsajo na prostor, po katerem integriramo. S pomoˇcjo Diracove delta funkcije zlahka pridemo tudi do diskretnih nabojev, ˇce gostoto nabojevρ(r) zapiˇsemo kot

ρ(r⁰) = X

i

eiδ³(r⁰ −ri).

Elektriˇcno polje lahko sicer opiˇsemo z elektriˇcno poljsko jakostjoE, moˇzen pa je ˇse en naˇcin. Vsaki toˇcki elektriˇcnega polja priredimo elektriˇcni potencial ϕ(r), tako da velja:

E(r) =−∇ϕ(r). (4.64)

Tu je:

ϕ(r) = 1 4πε₀

Z

(V)

ρ(r⁰)d³r⁰

|r−r⁰ |. (4.65)

Velja namreˇc:

∇ 1

|r−r⁰ | =− r−r⁰

|r−r⁰ |³

Ker velja zveza (4.64), lahko s pomoˇcjo matematiˇcne zveze ∇× ∇ϕ = 0, ki velja za poljubno funkcijoϕzapiˇsemo Maxwellovo enaˇcbo za rotor elektriˇcega polja v stacionarnih razmerah:

∇×E = 0. (4.66)

Elektriˇcni potencial je skalarna koliˇcina. Njegov gradient je po velikosti enak elektriˇcni poljski jakostiE, po smeri pa je elektriˇcni poljski jakostiE nasproten. Enota za elektriˇcni potencial je voltV, ki je ena izmed osnovnih enot.

Zdaj se lotimo ˇse ene Maxwellove enaˇcbe povezane z elektriˇcnim poljem. Integrirajmo elektriˇcno polje po poljubni ploskvi¹, znotraj katere je en toˇckast naboj. Takole storimo:

I

(S)

EdS = I

(S)

EdScosϑ=

= I

(S)

edScosϑ

4πε_o |r |² = e 4πε_o

I

(S)

dScosϑ r² .

Izraz pod integralom ni niˇc drugega kot loˇcni element prostorskega kota. Ker integriramo po zakljuˇceni ploskvi, je vrednost integrala 4π. Ugotovili smo torej, da je

I

(S)

EdS= e ε_o.

Brez dokaza bomo sedaj privzeli sicer veljavno trditev, da takˇsna zveza velja ne samo za en naboj znotraj neke plosve, paˇc pa za poljubno porazdelitev (toˇckastih ali zveznih) nabojev. V matematiˇcnem jeziku to lahko zapiˇsemo:

I

(S)=(∂V)

EdS= 1 ε_o

Z

(V)

ρ(r)d³r.

Seveda vemo, kam pes taco moli. Uporabili bomo Gaussov izrek in dobili:

Z

(V)

∇·EdV = 1 ε_o

Z

(V)

ρ(r)dV.

Matematika nas prepriˇca, da ne gre drugaˇce kot:

ε_o∇·E =ρ,

kar je prva Maxwellova enaˇcba. ˇCe v njej zapiˇsemo E = −∇ϕ(r), dobimo Poissonovo enaˇcbo:

ρ=ε_o∇ ·(−∇ϕ) = −ε∇²ϕ,

1pravzaprav bomo izraˇcunali elektriˇcni pretok skozi zakljuˇceno ploskev

ki je ponavadi zapisana v tejle obliki:

∇²ϕ=−ρ ε_o.

In sedaj se lahko do onemoglosti prepiramo katera enaˇcba je bolj fundamentalna (temeljna), Poissonova ali (prva) Maxwellova.

Poglejmo si preprost primer za uporabo Poissonove enaˇcbe. Ce imamo opraviti zˇ enim toˇckastim nabojem, lahko gostoto nabojevρ(r⁰) zapiˇsemo kotρ(r⁰) =δ³(r−r⁰), kar pomeni, da je naboj v toˇcki r⁰. Poissonovo enaˇcbo zapiˇsemo torej takole:

∇²ϕ =−eδ³(r−r⁰)

ε₀ . (4.67)

Postopka, ki bi nas pripeljal do reˇsitve ne bomo opisali, ˇce pa pobrskamo po spominu, ugotovimo, da reˇsitev ˇze poznamo. Imamo namreˇc en toˇckast naboj, zato

ϕ(r) = e

4πε₀ |r−r⁰ |. Energija naboja v elektriˇcnem polju

Elektriˇcno polje deluje na naboj s silo F =eE. Da ta naboj miruje, mora nanj delovati nasprotno enaka sila −F, ki pri poˇcasnem premikanju tega naboja opravi delo:

dA=−Fdr=−eEdr.

Na poti od r1 do r2 pa opravi delo:

A=− Z r2

r1

eEdr=eϕ(r₂)−eϕ(r₁). (4.68) Vidimo, da je delo A odvisno le od zaˇcetne in konˇcne toˇcke r₁ in r₂. Ni odvisno od poti po kateri smo premikali naboj. Razliki:

ϕ(r2)−ϕ(r1)

pravimo elektriˇcna napetost in jo oznaˇcimo z U(r₂,r₁). Velja torej:

U(r₂,r₁) = − Z r2

r1

Edr=ϕ(r₂)−ϕ(r₁). (4.69) Sedaj pa razmislimo, kaj pomeni enaˇcba (4.68):A = eϕ(r₂) −eϕ(r₁). Kot smo videli zgoraj je to delo, ki ga opravi sila−Fpri premikanju naboja iz toˇcker₁ v toˇcko r₂. Lahko pa si pomen te enaˇcbe razlagamo tako, da se je pri premikanju naboja le-temu spremenila potencialna energija. To definiramo:

U =eϕ (4.70)

Lahko torej reˇcemo, da sila −Fpri premikanju naboja iz toˇcke r₁ v toˇcko r₂ opravi delo, ki je enako spremembi potencialne energije.

Multipolni razvoj potenciala

Elektriˇcni potencial kot ˇze vemo izraˇcunamo po enaˇcbi:

ϕ(r) = 1

Ce je toˇˇ cka v kateri raˇcunamo potencial, daleˇc stran od porazdelitve nabojev, lahko potencial V(r) pribliˇzno izraˇcunamo tako, da ga zapiˇsemo kot vsoto veˇcih prispevkov.

Pomagamo si s Taylorjevo vrsto. Najprej se spomnimo, kako se glasi Taylorjeva vrsta neke poljubne funkcije veˇcih spremenljivk:

f(r₀+r) = f(r₀) +∇f(r₀)r+ 1

2!(r∇)(r∇)f(r₀) +...

V naˇsem primeru bomo v Taylorjevo vrsto razvili _|r−r¹0

|. In sicer:

Za potencial ϕ(r) sledi:

ϕ(r) = 1

To enaˇcbo zapiˇsemo kot vsoto veˇcih ˇclenov:

ϕ(r) = e

Enaˇcbi (4.72) pravimo tudi multipolni razvoj potenciala. Pri tem je e celotni naboj, p je dipolni moment, m_ik pa je tenzor kvadrupolnega momenta. ˇCe bi upoˇstevali veˇc ˇclenov Taylorjeve vrste, bi pri multipolnem razvoju potenciala dobili kot naslednji moment tenzor tretjega reda oziroma tenzor oktopolnega momenta itd. Enaˇcba (4.72) velja le v velikih oddaljenostih od porazdelitve nabojev. V nasprotnem primeru moramo izraˇcunati veˇc ˇ

clenov.

V posebnih primerih se pokaˇze, da nam v enaˇcbi (4.72) ni potrebno izraˇcunati vseh treh ˇclenov. ˇCe imamo opraviti z enim nabojem, ostane le prvi ˇclen. Za en pozitiven toˇckast naboj in en negativen toˇckast naboj, ki se nahajata blizu skupaj (elektriˇcni dipol) ostane le drugi ˇclen. Za ˇstiri npr. enako nabite pozitivne toˇckaste naboje, ki so razporejeni v ogljiˇsˇcih kvadrata pa nam ostane le tretji ˇclen.

Zdaj si nekoliko podrobneje oglejmo elektriˇcni dipol. V zgornjih raˇcunih smo izpeljali dipolni moment p, ki ga izraˇcunamo iz enaˇcbe (4.72). Izpeljali smo ga tako, da smo elektriˇcni potencial razvili v multipolno vrsto. Zdaj si poglejmo ˇse en naˇcin izpeljave dipolnega momenta. Gledali bomo elektriˇcni potencial dveh nabojev e in −e, in sicer v veliki oddaljenosti. Naj bo nabojepostavlen v toˇckir₁, naboj−epa v toˇckir₂. Potencial, ki ga ta dva naboja povzroˇcata v neki drugi toˇcki r je:

ϕ(r) = e

4πε₀ |r−r₁ | − e 4πε₀ |r−r₂ |

Ce vpeljemo vektorˇ d, ki kaˇze od e proti −e, lahko zapiˇsemo (slikaXX):

r1 = R−d 2 r₂ = R+d 2 Za potencial sledi:

e

4πε₀ |r−R+^d₂ | − e

4πε₀ |r−R−^d₂ | = e

4πε₀ |r−R| − e

4πε₀ |r−R|+ + e

4πε₀ d

2∇ 1

|r−R|+ e 4πε₀

d

2∇ 1

|r−R| +...

Vpeljemo nov vektor, ki naj bo enak:

p=ed. (4.73)

Pri tem zahtevamod →0 vendar tako, da jeed=const. Dobili smo enaˇcbo:

ϕ(r) = p

4πε₀∇ 1

|r−R| = p(r−R)

4πε₀ |r−R|³ (4.74)

Ce vzamemoˇ R = 0, dobimo natanko dipolni ˇclen v enaˇcbi (4.72). Vidimo, da potencial dipola opiˇsemo samo z drugim ˇclenom enaˇcbe (4.72), kar pomeni, da morata biti ostala dva ˇclena enaka niˇc.

In document AVTOR: prof. dr. Rudolf Podgornik (Strani 97-102)