PEDAGOŠKA FAKULTETA
POUČEVANJE, PREDMETNO POUČEVANJE
MANCA CERAR
RAZUMEVANJE MATEMATIČNIH DOKAZOV IN VELJAVNOSTI DOKAZOV V OSNOVNI ŠOLI
Magistrsko delo
Ljubljana, 2021
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
POUČEVANJE, PREDMETNO POUČEVANJE
MANCA CERAR
RAZUMEVANJE MATEMATIČNIH DOKAZOV IN VELJAVNOSTI DOKAZOV V OSNOVNI ŠOLI
Understanding Mathematical Proof and the Validity of Proofs in Elementary School
Magistrsko delo
Mentor: doc. dr. Zlatan Magajna Somentorica: asist. dr. Adrijana Mastnak
Ljubljana, 2021
Zahvaljujem se mentorju doc. dr. Zlatanu Magajni in somentorici asist. dr. Adrijani Mastnak za vso pomoč, strokovne nasvete in usmerjanje pri nastajanju magistrskega dela. Iskrena hvala tudi vsem učiteljem in otrokom, ki so omogočili izvedbo raziskave.
Posebna zahvala pa gre moji družini in fantu za podporo ter spodbudo v času študija in nastajanja magistrskega dela.
POVZETEK
Učenci se v zadnjem triletju osnovne šole srečajo z utemeljitvami ali argumentacijami.
Te so lahko neformalne in temeljijo na argumentih, ki imajo ali pa nimajo matematične veljave, ali pa tudi preprostejše formalne. Temeljna vloga matematičnega dokaza pri pouku je spodbujanje matematičnega razumevanja, saj je dokaz najbolj prepričljiv, ko vodi do razumevanja. Pomembna matematična aktivnost je tudi prepoznavanje veljavnosti dokaza, ki zajema premislek o tem, ali je domnevni dokaz matematično pravilen in ali vključuje ustrezno logično matematično sklepanje. Raziskave so pokazale, da učenci ne čutijo potrebe po dokazovanju, doživljajo postopek dokazovanja kot težak in imajo največ težav ravno pri nalogah, ki zahtevajo utemeljevanje in dokazovanje trditev.
V teoretičnem delu magistrskega dela smo obravnavali pojem matematičnega dokaza ter opisali njegovo vlogo pri matematiki in pri učenju matematike. Obravnavali smo pomen in vključevanje dokaza pri pouku ter predstavili kognitivne procese pri dokazovanju z vidika učenčevega razvoja. Predstavili smo različne funkcije dokaza v matematiki in pri pouku matematike, kognitivne vidike dokazovanja ter težave učencev pri učenju dokazov in dokazovanju. Predstavili smo tudi dve klasifikaciji matematičnih dokazov:
klasifikacijo po Tallu in klasifikacijo glede strogosti utemeljitve.
V empiričnem delu magistrskega dela smo uporabili kvantitativni in kvalitativni pristop za ugotavljanje izbranih vidikov dokazovanja v osnovnošolski matematiki. Zaradi vpliva učbenika kot vodila znanja na učence smo po dveh izbranih klasifikacijah analizirali zastopanost različnih vrst utemeljitev v najbolj razširjenih učbenikih za matematiko v zadnjem triletju osnovne šole. Analiza učbenikov »Skrivnosti števil in oblik« je pokazala, da je po klasifikaciji po Tallu v učbenike vključenih največ vizualnih dokazov, torej utemeljitev, ki imajo slikovno in verbalno podporo. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je v učbenike vključenih največ generičnih dokazov. Najmanj vključenih utemeljitev po klasifikaciji po Tallu je enaktivnih dokazov, po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa utemeljitev z avtoriteto. Glede na vključenost utemeljitev pri različnih temah je največ utemeljitev vključenih pri temi geometrija in merjenje.
Vzorec raziskave je predstavljalo 49 devetošolcev iz dveh različnih slovenskih osnovnih šol. Od tega je bilo v vzorcu 27 učno zmožnejših in 22 učno šibkejših učencev. S preizkusom znanja smo raziskali, ali učenci osnovnih šol sprejmejo in prepoznajo veljavnost utemeljitve matematičnega dejstva, torej nas je zanimalo, ali učenci razlikujejo med formalnim dokazom in neformalnimi utemeljitvami. Prav tako smo raziskali, ali razumejo različne vrste utemeljitev po dveh izbranih klasifikacijah. Podatki, zbrani s preizkusom znanja, so pokazali, da imajo učenci težave pri sprejemanju in prepoznavanju veljavnosti utemeljitev, saj je velik delež učencev kot veljavne utemeljitve prepoznalo večino vrst utemeljitev na preizkusu znanja. Kot najbolj razumljive vrste utemeljitev je največji delež učencev po klasifikaciji po Tallu prepoznal enaktivne utemeljitve, po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa utemeljitev z avtoriteto in utemeljitev s sliko.
Kot najmanj razumljivi vrsti utemeljitev pa je največji delež učencev po klasifikaciji po Tallu prepoznal manipulativni dokaz, po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa formalni dokaz. Statistična analiza podatkov je pokazala, da obstajajo statistično pomembne razlike med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci glede prepoznavanja ter sprejemanja veljavnosti in razumevanja različnih vrst utemeljitev glede na izbrani klasifikaciji.
Z anketnim vprašalnikom smo raziskali stališča učencev o dokazih in dokazovanju pri pouku matematike. Malo več kot polovici učencev je težko podati utemeljitev neke matematične izjave, a hkrati menijo, da imajo dovolj znanja za razumevanje dokaza neke matematične izjave. Največji delež učencev se najmanj strinja s trditvijo, da običajno težko razumejo dokaz, ki ga učitelj predstavi pri pouku. Večji delež učencev ve, kaj je pri matematiki dokaz in kako je ta videti, ter zna presoditi, ali je nek dokaz pravilen ali ne.
Učenci so izkazali želje po dokazih in dokazovanju pri matematiki. Več kot polovica učencev si želi, da bi se pri pouku predstavilo in opisalo več dokazov matematičnih izjav, pogovarjalo o resničnosti matematičnih izjav ter reševalo naloge, kjer se dokaže neko matematično izjavo. Zelo velik delež učencev si želi, da bi šolski učbenik vključeval več dokazov matematičnih izjav, in meni, da so dokazi zanimivi. Malo manj kot polovica učencev se strinja, da jim učitelj pri pouku pove, zakaj sploh dokazujemo matematične izjave, in meni, da če učitelj pri pouku matematično izjavo napiše na tablo, je trditev s tem že dokazana. Prav tako večji delež učencev meni, da so dokazi le za učence z boljšimi ocenami in da matematične izjave ni treba dokazati, če je zapisana v učbeniku. Velik delež učencev meni, da poznajo namen dokazovanja v matematiki, in se strinja, da je dokaz v matematiki pomemben, ker z njim zagotovimo resničnost izjave in ker nam razloži, zakaj neka trditev drži.
S podatki, zbranimi s pomočjo anketnega vprašalnika, smo raziskali tudi, ali obstajajo statistično pomembne razlike med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci glede stališč o dokazih in dokazovanju pri pouku matematike. Zbrani podatki so pokazali, da je večjemu deležu učno šibkejših učencev težje podati utemeljitev neke matematične izjave, da običajno težje razumejo dokaz, ki ga učitelj predstavi pri pouku, ter da se jim zdi, da nimajo dovolj znanja, da bi razumeli dokaz neke matematične izjave. Večji delež učno zmožnejših učencev se bolj od učno šibkejših učencev strinja, da vedo, kaj je pri matematiki dokaz in kako je ta videti, ter da običajno znajo presoditi, ali je nek dokaz pravilen ali ne. Večji delež učno zmožnejših učencev je pokazal večjo željo po tem, da bi šolski učbenik in pouk matematike vključevala več dokazov matematičnih izjav in nalog, kjer se dokaže neko matematično trditev. Večji delež učno šibkejših učencev se strinja, da če učitelj pri pouku neko trditev zapiše na tablo ali pa če je matematična izjava zapisana v učbeniku, te ni treba dokazati, saj je s tem že dokazana. Večji delež učno zmožnejših učencev se bolj od učno šibkejših učencev zaveda namena dokazovanja pri matematiki in pomembnosti dokaza, da z njim zagotovimo resničnost izjave in razložimo, zakaj neka trditev drži. Večji delež učno šibkejših učencev se bolj od učno zmožnejših učencev strinja, da dokazi niso pomembni za dobro znanje matematike ter da so dokazi le za učence z boljšimi ocenami. Tako učno zmožnejši kot učno šibkejši učenci so pokazali podobno stopnjo strinjanja s tem, da jim učitelj pri pouku pove, zakaj sploh dokazujemo matematične izjave.
Ključne besede: dokaz, dokaz pri pouku, vrste matematičnih dokazov, veljavnost dokaza, razumevanje dokaza
ABSTRACT
In the last three years of elementary school, pupils encounter substantiations or argumentations. These can be informal and based on arguments, which have or do not have mathematical validity, or even simpler formal ones. The basic role of mathematical proof in lessons is to encourage mathematical understanding, since a proof is most convincing, when it leads to understanding. An important mathematical activity is also the recognition of the validity of proofs, which includes the consideration, if an alleged proof is mathematically correct and if it includes a suitable logical mathematical reasoning. Research has shown that pupils do not feel the need for proving, they experience the proving procedure as hard and encounter most problems particularly with tasks, which require argumentations and proving.
In the theoretical part of the master’s thesis, we discussed the concept of mathematical proof and described its role in mathematics and learning mathematics. We discussed the importance and incorporating proofs in lessons and presented the cognitive processes in proving from the perspective of the pupil’s development. We presented different functions of proof in mathematics and mathematics lessons, cognitive perspectives of proving and problems of pupils in learning proofs and proving. We also presented two classification of mathematical proofs: the classification according to Tall and the classification regarding the strictness of substantiation.
In the empirical part of the master’s thesis, we used a quantitative and qualitative approach to identify the selected perspectives of proving in elementary school mathematics. Due to the influence of the textbook as a knowledge guide for pupils, we chose two classifications and used them to analyse different types of argumentations in the most widespread textbooks for mathematics in the last three years of elementary school. The analysis of the textbooks “Skrivnosti števil in oblik” has shown that according to the classification by Tall, the textbooks include mostly visual proofs, which means argumentations with figure and verbal support. According to the classification regarding the strictness of substantiation, in textbooks prevail generic proofs. The least common argumentations, according to the classification by Tall, are enactive proofs, and according to the classification regarding the strictness of substantiation, argumentations with authority. In terms of inclusion of argumentations in different topics, the most argumentations are included in the topic Geometry and Measuring.
The research included a sample of 49 ninth graders from two different Slovenian elementary schools, out of which 27 were high achievers and 22 were low achievers. With a written examination, we analysed, if pupils accept and recognise the validity of an argumentation in a mathematical proof, meaning if pupils differentiate between a formal proof and informal argumentations. We also analysed, if they understand different types of argumentations according to the two chosen classifications. The data, obtained with the written examination, showed that pupils have problems to accept and recognise the validity of argumentations, since at the examination, a high proportion of pupils recognized the majority of types of argumentations as valid. According to the classification by Tall, the highest proportion of pupils recognised enactive argumentations as the easiest to understand, and argumentations with authority and argumentations with a figure according to the classification regarding the strictness of substantiation. As hardest to understand types, the highest proportion of pupils recognized the manipulative proof, according to the classification by Tall, and the formal proof, according to the classification regarding the strictness of substantiation. The statistical
analysis of data showed that there are statistically significant differences between high and low achievers regarding the recognition and acceptance of validity and understanding of different types of argumentations in terms of the chosen classifications.
We used a questionnaire to research the views of pupils on proofs and proving in mathematics lessons. A little more than half of the pupils find it hard to argument a certain mathematical statement, but at the same time they think they have enough knowledge to understand mathematical proofs. The highest proportion of pupils least agree with the statement that usually they find it hard to understand a proof presented by the teacher during lessons. A high proportion of pupils claim to know, what a proof in mathematics is and how it looks like, and know how to estimate, if a proof is correct or incorrect. The pupils expressed desires for learning proofs and proving in mathematics. More than a half of pupils would like that mathematical lessons would include more presentations, descriptions of proofs of mathematical statements, they would like to discuss about the correctness of mathematical statements and to solve proving tasks. A very high proportion of pupils want that the school textbook would include more proofs of mathematical statements and they think that proofs are interesting. A little less than a half of pupils agree that during lessons, the teacher tells them, why we bother to prove mathematical statements, and think that if the teacher writes a mathematical statement on the board during lessons, the statement is already proven. A high proportion of pupils also think that proofs are only for pupils with better grades and that, if a mathematical statement is written in the textbook, it does not require to be additionally proven. A high proportion of pupils think that they know the purpose of proving in mathematics and agree that a proof in mathematics is important, since it assures validity of the statement and explains, why a certain statement is correct.
With the data, obtained with the questionnaire, we also analysed, if there are statistically important differences between high and low achievers regarding views on proofs and proving in mathematics lessons. The obtained data showed that most low achievers find it hard to argument a mathematical statement, usually find it difficult to understand a proof presented by the teacher during lessons, and find that they do not have enough knowledge to understand a proof of a mathematical statement. A significantly higher proportion of high achievers than low achievers agree that they know, what a proof in mathematics is and how it looks like, and that they usually can estimate, if a certain proof is correct or incorrect. Also, a significantly higher proportion of high achievers than low achievers expressed a desire for the school textbook and mathematics lessons to include more proofs of mathematical statements and more proving tasks. On the other hand, a significantly higher proportion of low achievers than high achievers agree that if a teacher during mathematics lessons writes a statement on the board or if the mathematical statement is written in the textbook, it does not require to be additionally proven and is therefore already proven. A higher proportion of high achievers than low achievers is aware of the purpose of proving in mathematics and the importance of a proof to assure the correctness of a claim. A higher proportion of low achievers than high achievers agree that proofs are not important for a good mathematics knowledge and that proofs are only for pupils with good grades. Both group of students expressed a similar level of agreement with the fact that during lessons, the teacher tells them, why we prove mathematical statements.
Key words: proof, proof in lessons, types of mathematical proofs, validity of a proof, understanding of a proof
i
UVOD ... 1
1. TEORETIČNI DEL ... 2
1.1. Opredelitev argumentacije in matematičnega dokaza ter aktivnosti razumevanje dokaza in preverjanje veljavnosti dokaza ... 2
1.2.Eksperimentiranje in dokazovanje ... 5
1.3. Seznam funkcij dokaza in dokazovanja ... 6
1.4. Kognitivni razvoj ... 7
1.4.1. Kognitivni vidik dokaza ... 9
1.4.2. Razvojno učenje dokazov ... 9
1.5.Obravnava dokazov pri pouku matematike ... 9
1.5.1. Področje dokazovanja pri pouku ... 11
1.5.1.1. Učne strategije ... 11
1.5.1.2. Učno okolje ... 12
1.5.2. Učenci in učitelj matematike ter dokazi pri pouku ... 12
1.5.3. Dokazi v učnem načrtu in metaznanje o dokazu ... 15
1.5.4. Področje geometrije in van Hielove stopnje ... 16
1.5.4.1. Van Hielove in van Dormolnove stopnje ... 16
1.6. Kognitivni razvoj reprezentacij in klasifikacija dokazov po Tallu ... 18
1.6.1. Enaktivni dokaz ... 19
1.6.2. Vizualni dokaz ... 20
1.6.3. Manipulativni dokaz ... 22
1.7. Klasifikacija glede strogosti utemeljitve ... 23
1.7.1. Utemeljitev z avtoriteto ... 23
1.7.2. Utemeljitev s sliko (dokaz brez besed) ... 24
1.7.3. Utemeljitev s primeri ... 24
1.7.4. Utemeljitev z vpogledom ... 25
1.7.5. Generični dokaz ... 25
1.7.5.1. Evklidski dokaz kot besedni prevod generične vizualne utemeljitve ... 27
1.7.6. Formalni dokaz ... 28
1.8. Težave učencev pri dokazovanju ... 28
2. EMPIRIČNI DEL ... 30
2.1. Opredelitev raziskovalnega problema ... 30
2.2. Cilji raziskave ... 30
2.3. Raziskovalna vprašanja ... 31
2.4. Metode in raziskovalni pristop ... 31
2.4.1. Vzorec ... 31
ii
2.4.2. Raziskovalni inštrumenti in postopek zbiranja podatkov ... 32
2.4.2.1. Študija dokumentov... 32
2.4.2.2. Preizkus znanja ... 33
2.4.2.3. Anketni vprašalnik ... 33
2.4.3. Postopki obdelave podatkov ... 33
2.5. Rezultati raziskave z razlago ... 34
2.5.1. Analiza matematičnih učbenikov ... 34
2.5.1.1. Učbenik za 7. razred ... 34
2.5.1.2. Učbenik za 8. razred ... 42
2.5.1.3. Učbenik za 9. razred ... 55
2.5.1.4. Skupne ugotovitve analize učbenikov Skrivnosti števil in oblik ... 64
2.5.2. Analiza preizkusa znanja ... 66
2.5.2.1. Prva naloga na preizkusu znanja ... 67
2.5.2.2. Druga naloga na preizkusu znanja ... 71
2.5.2.3. Tretja naloga na preizkusu znanja ... 75
2.5.2.4. Interpretacija podatkov, pridobljenih s preizkusom znanja ... 78
2.5.3. Analiza anketnega vprašalnika ... 86
2.5.3.1. Stališča učencev o dokazu in dokazovanju pri matematiki ... 87
2.5.3.2. Razlike med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci glede stališč o dokazu in dokazovanju ... 93
3. SKLEPI ... 101
4. LITERATURA ... 104
5. PRILOGE ... 1
5.1. Soglasje staršev... 1
5.2. Preizkus znanja ... 2
5.3. Anketni vprašalnik ... 7
5.4. Kolmogorov‒Smirnov preizkus normalnosti porazdelitve podatkov ... 9
iii
KAZALO TABEL
Tabela 1: Struktura vzorca glede na učno uspešnost pri matematiki ... 31 Tabela 2: Analiza utemeljitev v učbenikih za matematiko Skrivnosti števil in oblik .... 64 Tabela 3: Trditve o posameznem odgovoru otroka (utemeljitvi) pri podajanju dokaza matematične izjave na preizkusu znanja ... 66 Tabela 4: Frekvenčna in strukturna tabela strinjanja učencev s trditvami, ki se
navezujejo na Lejin odgovor, ter razlike med učenci glede učne uspešnosti ... 67 Tabela 5: Frekvenčna in strukturna tabela strinjanja učencev s trditvami, ki se
navezujejo na Simonov odgovor, ter razlike med učenci glede učne uspešnosti ... 69 Tabela 6: Frekvenčna in strukturna tabela strinjanja učencev s trditvami, ki se
navezujejo na Tanjin odgovor, ter razlike med učenci glede učne uspešnosti ... 70 Tabela 7: Frekvenčna in strukturna tabela strinjanja učencev s trditvami, ki se
navezujejo na Žanov odgovor, ter razlike med učenci glede učne uspešnosti ... 71 Tabela 8: Frekvenčna in strukturna tabela strinjanja učencev s trditvami, ki se
navezujejo na Anjin odgovor, ter razlike med učenci glede učne uspešnosti ... 72 Tabela 9: Frekvenčna in strukturna tabela strinjanja učencev s trditvami, ki se
navezujejo na Blažev odgovor, ter razlike med učenci glede učne uspešnosti ... 73 Tabela 10: Frekvenčna in strukturna tabela strinjanja učencev s trditvami, ki se
navezujejo na Matevžev odgovor, ter razlike med učenci glede učne uspešnosti ... 74 Tabela 11: Frekvenčna in strukturna tabela strinjanja učencev s trditvami, ki se
navezujejo na Aljin odgovor, ter razlike med učenci glede učne uspešnosti ... 75 Tabela 12: Frekvenčna in strukturna tabela strinjanja učencev s trditvami, ki se
navezujejo na Mašin odgovor, ter razlike med učenci glede na učno uspešnost ... 76 Tabela 13: Frekvenčna in strukturna tabela strinjanja učencev s trditvami, ki se
navezujejo na Dejanov odgovor, ter razlike med učenci glede učne uspešnosti ... 77 Tabela 14: Prikaz strinjanja učencev s tem, da posamezna vrsta utemeljitve pojasni, zakaj je izjava resnična, in razlike med učenci glede na učno uspešnost ... 79 Tabela 15: Prikaz strinjanja učencev s tem, da posamezna vrsta utemeljitve pojasni, da je izjava vedno resnična ali pa je resnična le v nekaj primerih, in razlike med učenci glede učne uspešnosti ... 81 Tabela 16: Prikaz strinjanja učencev s tem, da razumejo posamezno vrsto utemeljitve, in razlike med učenci glede učne uspešnosti ... 83 Tabela 17: Trditve o dokazih in dokazovanju pri pouku matematike, razporejene v štiri različne kategorije ... 86 Tabela 18: Prikaz stopnje strinjanja učencev s trditvami, ki se nanašajo na težave
učencev pri dokazovanju ... 87 Tabela 19: Prikaz stopnje strinjanja učencev s trditvami, ki se nanašajo na želje po dokazovanju pri pouku matematike ... 89 Tabela 20: Prikaz stopnje strinjanja učencev s trditvami, ki se nanašajo na vlogo
oziroma namen dokaza pri pouku ... 90 Tabela 21: Prikaz stopnje strinjanja učencev s trditvami, ki se nanašajo na pomen
dokaza za matematično znanje ... 91
iv
Tabela 22: Razlike med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci v stopnji strinjanja s trditvami, ki se nanašajo na težave učencev pri dokazovanju ... 93 Tabela 23: Razlike med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci v stopnji strinjanja s trditvami, ki se nanašajo na želje po dokazovanju pri pouku matematike ... 95 Tabela 24: Razlike med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci v stopnji strinjanja s trditvami, ki se nanašajo vlogo oziroma namen dokaza pri pouku ... 97 Tabela 25: Razlike med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci v stopnji strinjanja s trditvami, ki se nanašajo na pomen dokaza pri pouku ... 99
v
KAZALO SLIK
Slika 1: Povezava med konstrukcijo dokaza in preverjanjem veljavnosti dokaza
(prirejeno po Pfeiffer, 2009, str. 405) ... 3 Slika 2: Preverjanje veljavnosti pri učenju o matematičnih dokazih (prirejeno po
Pfeiffer, 2009, str. 406) ... 3 Slika 3: Kognitivni razvoj dokaza skozi tri svetove matematike (prirejeno po Tall idr., 2012, str. 24) ... 8 Slika 4: Simetrija enakokrakega trapeza (prirejeno po Cabassut idr., 2012, str. 172) .... 18 Slika 5: Komponente človeške dejavnosti (prirejeno po Tall, 1995b, str. 61) ... 18 Slika 6: Kognitivni razvoj reprezentacij (prirejeno po Tall, 1995a, str. 29) ... 19 Slika 7: Enaktivni dokaz izjave, da ima enakokraki trikotnik skladna kota ob krakih (Tall, 1995a, str. 31) ... 20 Slika 8:Prikaz (enaktivnega) vizualnega dokaza Pitagorovega izreka (Tall, 1995a, str.
31) ... 20 Slika 9: Vizualni (generični) dokaz zakona o zamenjavi faktorjev, ki prikazuje, da velja 4 ∙ 3 = 3 ∙ 4 (prirejeno po Tall, 1995b, str. 70) ... 21 Slika 10: Vizualni (generični) dokaz algebrske identitete razlike dveh kvadratov (Tall, 1995a, str. 32) ... 21 Slika 11: Vsota zaporednih lihih števil je vedno enaka kvadratu števila (prirejeno po Grabiner, 2012, str. 149) ... 22 Slika 12: Vizualni dokaz (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (Grabiner, 2012, str. 154) ... 22 Slika 13: Manipulativni dokaz algebrske identitete (a + b)(a – b)... 23 Slika 14: Manipulativni dokaz izjave, da je vsota dveh zaporednih lihih števil večkratnik števila 4 ... 23 Slika 15: Utemeljitev s sliko: utemeljitev Pitagorovega izreka (Cabassut, 2009, str. 114) ... 24 Slika 16: Utemeljitev z vpogledom: utemeljitev zakona o zamenjavi seštevancev
(Magajna, 2012, str. 30). ... 25 Slika 17: Vsota prvih n lihih števil je enaka n2 (preoblikovano po Balacheff, 1988, str.
216) ... 26 Slika 18: Generični dokaz na levi in formalni dokaz matematične izjave na desni strani (Biehler in Kempen, 2013, str. 88) ... 26 Slika 19: Generični dokaz s figurami (prirejeno po Biehler in Kempen, 2019, str. 33) . 27 Slika 20: Trikotnik ∆ABC, za katerega velja AB = AC (Tall, 1995a, str. 34) ... 27 Slika 21: Različni trikotniki z lastnostjo AB = AC (Tall, 1995a, str. 34)... 27 Slika 22: Struktura vzorca glede na učno uspešnost ... 32 Slika 23: Utemeljitev pravila za deljivost števil s številom 4 (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 10) ... 34 Slika 24: Utemeljitev pravila za deljivost števil s številom 8 (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 10) ... 35
vi
Slika 25: Utemeljitev pravila za deljenje ulomka z naravnim številom (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 64) ... 35 Slika 26: Utemeljitev pravila za deljenje ulomka z ulomkom (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 66 in 67). ... 36 Slika 27: Utemeljitev trditve, da je vsota notranjih kotov v vsakem trikotniku enaka 180° (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 120). ... 37 Slika 28: Utemeljitve o velikosti notranjih kotov v trikotniku, vsoti notranjega in
pripadajočega zunanjega kota ter vsoti zunanjih kotov (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 120) ... 37 Slika 29: Utemeljitev izjave o težišču trikotnika (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str.
134) ... 38 Slika 30: Utemeljitev trditve o vsoti notranjih kotov v štirikotniku (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 138) ... 38 Slika 31: Utemeljitev trditve o vsoti zunanjih kotov v štirikotniku (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 138) ... 39 Slika 32: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine trikotnika (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 163) ... 39 Slika 33: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine trikotnika (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 163)... 39 Slika 34: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine paralelograma (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 161)... 40 Slika 35: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine trapeza (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 167) ... 40 Slika 36: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine deltoida (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 166) ... 41 Slika 37: Utemeljitev pravilnosti pravila o množenju potenc z enako osnovo (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 63)... 42 Slika 38: Utemeljitev pravilnosti pravila o deljenju potenc z enako osnovo (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 63)... 42 Slika 39: Utemeljitev pravilnosti pravila o potenciranju produkta (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 66) ... 43 Slika 40: Utemeljitev pravilnosti pravila o potenciranju količnika (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 66) ... 43 Slika 41: Utemeljitev pravilnosti pravila o potenciranju potenc (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 67) ... 44 Slika 42: Utemeljitev pravilnosti pravila o kvadratnem korenu produkta (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 72)... 44 Slika 43: Utemeljitev pravilnosti pravila o kvadratnem korenu količnika (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 63)... 44 Slika 44: Utemeljitev pravilnosti pravila o množenju enočlenikov (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 87) ... 45 Slika 45: Utemeljitev pravila o množenju veččlenika z enočlenikom (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 93) ... 45
vii
Slika 46: Utemeljitev pravilnosti pravila o množenju veččlenika z veččlenikom
(Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 97) ... 46 Slika 47: Utemeljitev pravilnosti pravila o izpostavljanju skupnega faktorja (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 95) ... 47 Slika 48: Utemeljitev izreka o številu diagonal večkotnika (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 145) ... 47 Slika 49: Utemeljitev izreka o vsoti notranjih kotov večkotnika (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 148) ... 48 Slika 50: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine večkotnika (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 155) ... 48 Slika 51: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun obsega kroga (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 162) ... 49 Slika 52: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun dolžine krožnega loka (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 165) ... 50 Slika 53: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine kroga (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 168) ... 51 Slika 54: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine krožnega izseka
(Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 172) ... 52 Slika 55: Utemeljitev pravilnosti Pitagorovega izreka (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 180) ... 53 Slika 56: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun površine in prostornine kocke in kvadra (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 201) ... 54 Slika 57: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun prostornine prizme (Skrivnost števil in oblik 9, 2013, str. 141) ... 55 Slika 58: Utemeljitve pravilnosti obrazcev za izračun površine in prostornine različnih prizem (Skrivnost števil in oblik 9, 2013, str. 142) ... 56 Slika 59: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun površine in prostornine valja
(Skrivnost števil in oblik 9, 2013, str. 151) ... 57 Slika 60: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun površine in prostornine pravilne štiristrane prizme (Skrivnost števil in oblik 9, 2013, str. 158) ... 57 Slika 61: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun prostornine piramide (Skrivnost števil in oblik 9, 2013, str. 157) ... 58 Slika 62: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun površine stožca (Skrivnost števil in oblik 9, 2013, str. 165) ... 59 Slika 63: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun površine krogle (Skrivnost števil in oblik 9, 2013, str. 171) ... 59 Slika 64: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun prostornine stožca (Skrivnost števil in oblik 9, 2013, str. 166) ... 60 Slika 65: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun prostornine krogle (Skrivnost števil in oblik 9, 2013, str. 171) ... 61 Slika 66: Utemeljitev pravilnosti pravila za kvadrat dvočlenika (Skrivnost števil in oblik 9, 2013, str. 12) ... 62
viii
Slika 67: Utemeljitev pravilnosti pravila za izračun produkta vsote in razlike dveh enakih členov (Skrivnost števil in oblik 9, 2013, str. 17)... 62 Slika 68: Utemeljitev pravilnosti pravila za izračun razlike kvadratov (Skrivnost števil in oblik 9, 2013, str. 21) ... 63 Slika 69: Lejin odgovor pri dokazovanju pravilnosti izjave pri prvi nalogi na preizkusu znanja ... 67 Slika 70: Simonov odgovor pri dokazovanju pravilnosti izjave pri prvi nalogi na
preizkusu znanja ... 68 Slika 71: Tanjin odgovor pri dokazovanju pravilnosti izjave pri prvi nalogi na preizkusu znanja ... 69 Slika 72: Žanov odgovor pri dokazovanju pravilnosti izjave pri prvi nalogi na preizkusu znanja ... 70 Slika 73: Anjin odgovor pri dokazovanju pravilnosti izjave pri drugi nalogi na preizkusu znanja ... 72 Slika 74: Blažev odgovor pri dokazovanju pravilnosti izjave pri drugi nalogi na
preizkusu znanja ... 73 Slika 75: Matevžev odgovor pri dokazovanju pravilnosti izjave pri drugi nalogi na preizkusu znanja ... 74 Slika 76: Aljin odgovor pri dokazovanju pravilnosti izjave pri tretji nalogi na preizkusu znanja ... 75 Slika 77: Mašin odgovor pri dokazovanju pravilnosti izjave pri tretji nalogi na preizkusu znanja ... 76 Slika 78: Dejanov odgovor pri dokazovanju pravilnosti izjave pri tretji nalogi na
preizkusu znanja ... 77
1
UVOD
Dokaz ima pomembno vlogo v matematiki. Z utemeljitvami ali argumentacijami, ki so lahko neformalne in temeljijo na argumentih, ki imajo ali pa nimajo matematične veljave, ali pa so preprostejše formalne, se učenci1 srečajo v zadnjem triletju osnovne šole. Tehnik dokazovanja oziroma utemeljevanja je več vrst. V teoretičnem delu predstavimo dve klasifikaciji: klasifikacijo dokazovanja po Tallu in klasifikacijo utemeljevanja glede strogosti utemeljitve. Klasifikacija po Tallu opredeli tri vrste dokazov glede na vključenost različnih reprezentacij po Brunerju. Klasifikacija glede strogosti utemeljitve pa opredeli šest različnih vrst utemeljitev glede na strogost utemeljitve. Pomembni matematični aktivnosti pri dokazovanju sta prepoznavanje veljavnosti dokaza in razumevanje dokaza.
V teoretičnem delu magistrskega dela obravnavamo pojem matematičnega dokaza ter opišemo njegovo vlogo pri matematiki in pri učenju matematike. Obravnavamo pomen in vključevanje dokaza pri pouku ter predstavimo kognitivne procese pri dokazovanju z vidika učenčevega razvoja. Predstavimo tudi različne funkcije dokaza v matematiki in pri pouku matematike, kognitivne vidike dokazovanja ter težave učencev pri učenju dokazov in dokazovanju.
V empiričnem delu magistrskega dela analiziramo vključenost različnih vrst dokazov oziroma utemeljitev v matematične učbenike, proučimo prepoznavanje in sprejemanje veljavnosti, razumevanje različnih vrst utemeljitev ter stališča učencev o dokazih in dokazovanju. Z analizo najbolj razširjenih osnovnošolskih matematičnih učbenikov proučimo vključenost različnih vrst utemeljitev glede na izbrani klasifikaciji. S podatki, zbranimi s preizkusom znanja, raziščemo, kako dobro učenci prepoznajo veljavnost različnih vrst utemeljitev in ali razumejo posamezno vrsto utemeljitve glede na izbrani klasifikaciji. Raziščemo tudi, ali učna uspešnost vpliva na prepoznavanje veljavnosti in razumevanje različnih vrst utemeljitev, zanima nas torej, ali se med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci pojavljajo razlike. S podatki, zbranimi z anketnim vprašalnikom, raziščemo stališča učencev o težavah učencev pri dokazovanju, željah po dokazovanju pri pouku matematike, vlogi ali namenu dokaza pri pouku in pomenu dokaza za matematično znanje. Raziščemo tudi, ali učna uspešnost učencev vpliva na izražena stališča učencev.
Zbrani podatki omogočijo vpogled v stanje v slovenskih osnovnih šolah glede dokazov in dokazovanja pri pouku matematike. Analiza zbranih podatkov in analiza matematičnih učbenikov omogočita vpogled v raven razumevanja utemeljitev oziroma dokazov in preverjanja ter sprejemanja veljavnosti utemeljitev pri učencih ter vpogled v stališča učencev glede dokazov in dokazovanja pri pouku matematike. Z analizo matematičnih učbenikov pa pridobimo vpogled v vključenost različnih vrst utemeljitev pri različnih temah, na osnovi tega pa vpogled v to, s katerimi utemeljitvami se učenci srečajo pri branju vsebin iz učbenika.
1 Izraz »učenci« in njegova edninska oblika »učenec« se v magistrski nalogi nanašata na oba spola.
2
1. TEORETIČNI DEL
1.1. Opredelitev argumentacije in matematičnega dokaza ter
aktivnosti razumevanje dokaza in preverjanje veljavnosti dokaza
Dokaz ima osrednjo vlogo v matematični disciplini in praksi matematikov (Knuth, 2002a) ter predstavlja osnovo matematičnega razumevanja. Ključen je za razvoj, vzpostavljanje in posredovanje matematičnega znanja (Stylianides, 2007b). Dokazi lahko imajo tudi pojasnjevalno moč (Zaslavsky, Nickerson, Stylianides, Kidron in Winicki-Landman, 2012). G. Hanna in Barbeau (2008) sta opredelila vlogo dokaza pri matematiki kot nosilec znanja.
Razumevanje dokaza (angl. proof comprehension) pomeni razumevanje napisanega besedila v učbeniku ali pa napisanega besedila na tabli pri pouku. Naloge, ki preverjajo razumevanje dokaza, so takšnega tipa, da mora učenec iz eksplicitnega oblikovati implicitni opis dokaza, da poskrbi za povzetek dokaza in podobne naloge (Selden in Selden, 2015). Učitelji2 matematike se zavedajo, da je matematično razumevanje izmuzljivo. Za matematika je dokaz najbolj dragocen, ko vodi do razumevanja in učencem pomaga razumeti pomen izjave, ki se dokazuje. Tak dokaz je tudi bolj prepričljiv in bolj verjetno vodi do nadaljnjih odkritij pravilnosti (Hanna, 2000).
Pomembna matematična aktivnost pri dokazovanju je preverjanje veljavnosti dokaza (angl. proof validation), ki zajema ugotavljanje, branje ali poskus refleksije o matematični pravilnosti domnevnega dokaza (Weber, 2008). Vključuje preverjanje pravilnosti uporabljenih argumentov, ki zajema preverjanje, ali je v dokazu napaka ter ali je konstruiran v skladu z matematičnimi pravili, in vključuje tudi preverjanje logičnega sklepanja v dokazu (Biehler in Kempen, 2019). Preverjanje veljavnosti dokaza zajema postavljanje vprašanj ter oblikovanje odgovorov na zastavljena vprašanja, potrjevanje trditev ali izjav, konstruiranje poddokazov, iskanje ali interpretiranje ostalih izrekov in definicij ipd. (Selden in Selden, 2015). Selden in Selden sta argumentirala, da je sposobnost preverjanja veljavnosti dokazov ključna spretnost pri dokazovanju matematične izjave (Selden in Selden, 2003). V okviru učenja in poučevanja matematike za veljavnost dokaza ni pogoj, da je dokaz kompleksen, obsežen ali formalen (Waring, 2001).
Razlikujemo med formalnim dokazom in neformalnimi utemeljitvami. Učenci na šolski ravni običajno podajajo neformalne utemeljitve (Cabassut idr., 2012). Utemeljitev je veljavna, če je argument deduktiven in hkrati nudi dokazila o resnici matematične izjave (Stylianides in Stylianides, 2009). Enako velja za veljavnost formalno zapisanega dokaza (Hadas, Hershkowitz in Schwarz, 2000). Na šolski ravni govorimo o večji in manjši prepričljivosti oziroma formalnosti. Neformalne utemeljitve so veljavne le v primeru, ko jih je zaradi splošne veljavnosti možno predstaviti in zapisati tudi kot formalni dokaz (Magajna, 2012). V magistrskem delu tako ločimo med formalno in didaktično veljavnostjo dokaza.
V primerjavi z branjem besedila, ki nima matematične vsebine, preverjanje veljavnosti dokaza od bralca zahteva več časa in pozornosti pri razumevanju utemeljitve s preverjanjem dedukcije, preverjanjem utemeljitev ipd. Vključuje postavljanje vprašanj in oblikovanje odgovorov na vprašanja, ustvarjanje poddokazov ali priklic znanja drugih izrekov in definicij. Selden in Selden (1995) opisujeta, kako je preverjanje veljavnosti
2 Izraz »učitelji« in njegova edninska oblika »učitelj« se v magistrskem delu nanašata na oba spola.
3
dokaza povezano s sposobnostjo konstrukcije dokaza. Pri konstrukciji dokaza je potrebna prava ideja ob pravem času, medtem ko pri preverjanju veljavnosti ni tako. Med konstrukcijo dokaza razmišljamo tudi o veljavnosti dokaza, kar pa običajno zahteva konstrukcijo poddokazov. To povezavo prikazuje slika 1.
Slika 1: Povezava med konstrukcijo dokaza in preverjanjem veljavnosti dokaza (prirejeno po Pfeiffer, 2009, str. 405)
Predstavitev, ki je prikazana na sliki 1, je možno razširiti tako, da se poudari učinek preverjanja veljavnosti dokaza pri učenju o matematični dokazih. To razširitev prikazuje slika 2 (Pfeiffer, 2009).
Slika 2: Preverjanje veljavnosti pri učenju o matematičnih dokazih (prirejeno po Pfeiffer, 2009, str. 406)
Povezava med konstrukcijo dokaza in preverjanjem veljavnosti dokaza je v tem, da lahko sposobnost potrditve veljavnosti dokaza izboljša sposobnost konstrukcije dokaza, razvije globlje razumevanje, razvije večjo pomembnost dokazane trditve in razvije znanje o metodah ali strategijah dokazovanja (Pfeiffer, 2009).
V filozofiji in zgodovini matematike obstajajo konfliktna mnenja o vlogi dokaza pri matematiki in o razlogih, kaj »naredi« dokaz sprejemljiv (Waring, 2001). Matematiki poudarjajo pomen socialnega procesa preverjanja veljavnosti dokaza, saj je za veliko posameznikov v matematični skupnosti dokaz družbeni konstrukt in produkt dogovora matematikov (Knuth, 2002b). Manin (1977, v Cabassut idr., 2012) trdi, da dokaz postane dokaz šele po socialnem dejanju njegovega sprejetja kot dokaz.
Matematični argument (ali preprosto argument) je opredeljen kot povezano zaporedje izjav, ki je namenjeno potrditvi ali zavrnitvi pravilnosti matematične trditve. Štirje glavni elementi argumenta, ki se pomembno upoštevajo pri presoji, ali argument šteje kot dokaz, so: osnova argumenta (opis osnove: definicija, aksiom itd.), formulacija (opis oblikovanja: kot logični sklep ali kot posploševanje posameznih primerov itd.), reprezentacija (način izražanja ali predstavitve: z uporabo vsakdanjega jezika, algebraično ipd.) in družbena razsežnost (kakšno vlogo igra argument v družbenem kontekstu skupnosti, kjer je ustvarjen). Lastnosti teh štirih glavnih elementov so na ravni
4
osnovnošolskega izobraževanja pomembne, da lahko argument šteje kot dokaz.
Argumenti in dokazi se gradijo na že sprejetih izjavah, kot so definicije in aksiomi, ki pa predstavljajo temelj matematike. Postopek sprejemanja argumenta kot dokaz se močno opira na socialne mehanizme matematične skupnosti, kjer bi moral biti sprejet kot dokaz (Stylianides, 2007b).
Splošni argument je opredeljen kot zaporedje trditev, ki se nanašajo na vse primere v tej domeni izjave, ki jo utemeljujemo. Formalno veljaven argument je argument, ki je deduktiven in hkrati nudi prepričljiva dokazila o pravilnosti matematične izjave. Dokaz je lahko veljaven splošni argument, a veljaven splošni argument ni nujno dokaz (Stylianides in Stylianides, 2009).
Neveljavni splošni argument je splošni argument s pomanjkljivostmi v logičnem sklepanju. Empirični argument je neveljaven argument, ki zajema neupravičena dokazila o presoji resničnosti izjave s preverjanjem primerov, ki sodijo v ustrezne podmnožice v dani domeni izjave (Stylianides in Stylianides, 2009). Empirični argument na stopnji osnovne šole in na splošno v matematični disciplini ne predstavlja dokaza matematične izjave, saj je iz ugotovitev psihologov in obstoječih dokazov razvidno, da so otroci lahko uspešni v deduktivnem sklepanju in dokazovanju (Stylianides, 2007b).
V literaturi se pri različnih avtorjih pojavijo različne opredelitve dokaza v matematiki.
Tudi v okviru matematične skupnosti ni poznana nedvoumna splošna definicija dokaza (Cabassut idr., 2012).
Definicija dokaza po Borweinu pravi, da je dokaz zaporedje izjav, od katerih vsaka od njih veljavno izhaja iz predhodnih izjav ali pa je aksiom ali predpostavka. Končna izjava iz zaporedja podanih izjav pa je tista, katere resničnost ali pravilnost dokazujemo.
Definicija matematike, povzeta po Borweinu, ne vsebuje besede dokaz, kajti za Borweina matematika kot znanost vključuje veliko več kot le dokaz. Ta opredelitev dokaza narekuje, da je matematika skupina področij, ki se ukvarjajo s števili, količinami, oblikami in prostori ter njihovimi medsebojnimi odnosi ali povezavami, uporabami, posplošitvami in abstraktnostjo (Borwein, 2012).
Zaradi pomembnosti razvoja kompetenc učencev pri procesu dokazovanja se je povečalo število raziskav, ki proučujejo in raziskujejo pedagogiko dokazovanja. Obstaja potreba po široko zastavljeni opredelitvi dokaza, ki vključuje vključenost postopka dokazovanja v razvoju pri pouku (Bieda, 2009).
Opredelitev dokaza, ki jo je podal Stylianides (2007a), pravi, da je dokaz matematični argument, ki je sestavljen iz povezanega zaporedja trditev, ki potrjujejo ali zavračajo pravilnost matematične trditve, in ima naslednje značilnosti:
(i) vključuje izjave (ali niz izjav), sprejete v skupnosti, torej v razredu, kjer veljajo kot pravilne in se uporabljajo brez dodatne utemeljitve;
(ii) uporablja načine sklepanja (načine argumentacije), ki so veljavni in znani ali poznani znotraj skupnosti, torej v razredu, in
(iii) je predstavljen z oblikami izražanja (načini predstavljanja argumentacije), ustreznimi in znanimi znotraj skupnosti, torej v razredu.
Ta opredelitev dokaza je dovolj prilagodljiva za uporabo tako v skupnosti matematikov kot tudi v šolskem prostoru (Reid in Vallejo Vargas, 2019).
Opredelitev matematičnega dokaza je odvisna od stopnje poznavanja matematike. Za matematika je dokaz lahko kompleksen, strog in včasih dolg argument (Waring, 2001).
5
Že od časa Cauchyja matematiki obravnavajo vse dokaze (tudi negeometrijske) kot kombinacijo aksiomov in strogo formalnih izpeljav. Formalne definicije dokaza pa pomena ne razložijo v celoti. Matematiki so prepričani, da v praksi vedo, kaj je dokaz (Cabassut idr., 2012). Dokaz igra pomembno vlogo pri odkrivanju ali ustvarjanju nove matematike. Kot trdi de Villiers, se je v zgodovini na čisto deduktiven način pojavilo veliko novih odkritih rezultatov (npr. neevklidska geometrija) (1999, v Knuth, 2002b).
Dokaz lahko pokaže tudi potrebo po boljših definicijah ali pa naredi prispevek k sistematizaciji, oblikovanju in zapisu rezultatov ali formalizaciji vsebin matematičnega znanja (Hanna, 2000).
Dokazi so bili v zgodovini pogosto obravnavani kot orodje za preverjanje matematičnih izjav in preverjanje njihove univerzalnosti. Leibnitz je verjel, da je matematični dokaz univerzalen simboličen zapis, ki dovoljuje jasno razlikovanje med dejstvom in izmišljotino ter resnico ali zmoto (Hanna, 1990). Rav razlikuje med formalnim dokazom in konceptualnim dokazom – s tem misli na neformalni dokaz. Rav meni, da dokaz prispeva k pridobivanju novih matematičnih pogledov ter vzpostavitvi novih kontekstualnih povezav in novih metod reševanja problemov (Rav, 1999).
Dokazi omogočijo, da se loči med resničnimi rezultati in rezultati, ki so verjetni, a na splošno niso nujno resnični. Natančna formulacija argumentov omogoča, da vidimo posamezno povezanost matematičnih rezultatov skupaj s širšimi matematičnimi idejami.
Dokaz matematičnega rezultata omogoča odgovor na vprašanje »Zakaj je to res?«
(Grabiner, 2009).
Dokazovanje se opredeli kot proces, kjer posameznik odstrani ali ustvari dvome o resnici neke matematične trditve. Proces dokazovanja vsebuje dve podpodročji: ugotavljanje (angl. ascertaining) in prepričevanje (angl. persuading). Kot pojasni Mariotti, je ugotavljanje proces, ki ga posameznik uporablja, da odstrani svoje dvome. Prepričanje pa je proces, ki se uporablja za odstranitev ostalih dvomov (Mariotti, 2006). Proces dokazovanja uči logičnega razmišljanja (Grabiner, 2009).
Razumevanje odnosa med argumentacijo in matematičnim dokazom lahko ima pomemben pomen pri oblikovanju nalog in oblikovanju učnega načrta s ciljem učenja konstrukcije dokaza in izvajanja procesa dokazovanja. Nekateri raziskovalci vidijo matematični dokaz drugače kot argumentacijo, drugi pa kot del istega, kot kontinuum (Hanna in de Villiers, 2008).
Matematika kot znanost je po mnenju Polya, Lakatosa in drugih matematikov eksperimentalna in induktivna znanost, kjer pomembno vlogo igra eksperimentiranje (de Villiers, 2010).
1.2. Eksperimentiranje in dokazovanje
Tradicionalna opredelitev dokaza v matematiki povsem zanemarja vlogo eksperimentiranja. Preverjanje matematičnih izjav je zgolj ena od funkcij dokaza. V zadnjih letih se poleg funkcije preverjanja matematičnih izjav bolj poudarja razmerje ali povezava med dokazom in eksperimentiranjem ter številne druge pomembne funkcije znotraj matematike. Eksperimentiranje v matematiki vključuje naslednje pomembne funkcije, pomembne za dokaz: domnevanje, preverjanje, zavračanje, razumevanje, pridobivanje vpogleda ipd. (Hanna in de Villiers, 2008).
Eksperimentiranje pri dokazovanju hkrati omogoča nova odkritja. Pri dokazovanju je pomembno eksperimentalno raziskovanje predpostavk ali pa uporaba že dokazanih rezultatov ali izjav. Raziskovanje, kot je eksperimentiranje, pomaga učencem bolje
6
razumeti pomen matematičnega izreka tudi v primerih, ko jim ne uspe oblikovati kakršnegakoli protiprimera. Polya trdi, da eksperimentiranje pripomore k odkrivanju in razumevanju dokazov (1983, v de Villiers, 2010).
1.3. Seznam funkcij dokaza in dokazovanja
Dokaz ima veliko različnih funkcij. Vsak dober dokaz omogoča razumevanje in razlago pravilnosti rezultatov (de Villiers, 2010). V matematiki kot znanosti je namen dokazovanja in utemeljevanja verifikacija ali potrjevanje pravilnosti matematične trditve, ki jo dokazujemo (Magajna, 2012). Pri vključevanju dokaza in dokazovanja pri pouku matematike pa se navaja več funkcij, zato v nadaljevanju o teh funkcijah govorimo kot o didaktičnih funkcijah dokaza.
Seznam didaktičnih funkcij dokaza in dokazovanja v šolski matematiki, ki ga navaja G.
Hanna (2000) v svojem članku, je naslednji:
• verifikacija ali preverjanje (angl. verification) kot utemeljevanje pravilnost trditve, ki jo dokazujemo;
• razlaga ali pojasnitev (angl. explanation) kot vpogled, zakaj je izjava ali trditev pravilna;
• sistematizacija (angl. systematization) kot organizacija znanja različnih matematičnih vsebin v deduktiven sistem aksiomov, konceptov in izrekov;
• odkritje (angl. discover) kot iznajdba novega matematičnega znanja;
• komunikacija (angl. communication) kot prenos matematičnega znanja ali oblikovanje utemeljitev matematičnih trditev ali izjav;
• konstrukcija (angl. construction) empirične teorije;
• raziskovanje (angl. exploration) pomena definicije ali posledic predpostavk ali domnev in
• vključitev (angl. incorporation) poznanega matematičnega dejstva v nek nov okvir in pogled na okvir z drugega, novega vidika.
V začetku spoznavanja z matematičnimi vsebinami se mora vsak učenec spoznati s temeljnimi didaktičnimi funkcijami dokaza, kot sta preverjanje in raziskovanje (Hanna, 2000).
De Villiers (1990) je v okviru proučevanja težav učencev z dokazi in dokazovanjem predstavil malo drugačne didaktične funkcije dokaza, kot jih navaja G. Hanna. Navedel je naslednjih šest didaktičnih funkcij dokaza.
• preverjanje (angl. verification), ki se nanaša na preverjanje resničnosti izjave;
• razlaga ali pojasnilo (angl. Explanation) kot vpogled v to, zakaj je izjava resnična;
• sistematizacija (angl. systematization) kot organizacija znanja različnega matematičnega znanja v deduktivni sistem aksiomov, glavnih konceptov in izrekov;
• odkritje (angl. discover) kot iznajdba novih rezultatov;
• komunikacija (angl. communication) kot prenos matematičnega znanja in
7
• intelektualni izziv (angl. intellectual challenge) kot izpolnitev potrebe po dokazovanju matematičnih izjav, ki izhaja iz posameznika.
Didaktični funkciji preverjanja in razlage ali pojasnila sta povezani z glavno vlogo dokaza v matematiki (Hadas idr., 2000). Za funkcijo preverjanja ločimo dve podfunkciji:
funkcijo, ki preverja prepričljivost trditve, in funkcijo, ki potrjuje nujnost resničnosti trditve (Cabassut, 2009). Po mnenju de Villiersa so funkcije dokaza pri matematiki kot znanosti pomembne tudi pri pouku matematike, a se zaveda, da niso vedno predstavljene (de Villiers, 1990). Analiza učnega materiala nakazuje, da so didaktične funkcije v učbenikih pogosto ostale skrite in prav tako niso bile izpolnjene pri pouku, čeprav so pri pouku zaželene (Hadas idr., 2000).
Podobne didaktične funkcije kot jih navajata G. Hanna in de Villiers navaja tudi Balacheff. Tudi Balacheff je opazil, da didaktična funkcija komunikacija ni izpopolnjena pri pouku matematike in predlaga, da se v pouk vključijo aktivnosti, pri katerih učenci postanejo pozorni na te vidike funkcije (Balacheff, 1991).
Izziv učiteljev matematike in oblikovalcev ali piscev učnega načrta je ponazoriti in razviti pozornost tudi na funkcije dokaza in eksperimentiranje, kajti tudi proces postavljanja predpostavk, preverjanja predpostavk, zavračanja predpostavk in razumevanja predpostavk za učence predstavlja velik izziv (de Villiers, 2010).
Matematik Robinson kot najpomembnejšo vlogo dokazovanja vidi razlago (Robinson, 2000). Dokazovanje težkega rezultata predstavlja za učence intelektualni izziv, kot je npr.
sestavljanje puzzlov (de Villiers, 2010).
1.4. Kognitivni razvoj
Otroci na začetku svojega razvoja ne razmišljajo deduktivno. Pomembne korake k deduktivnemu razmišljanju naredijo s pomočjo učiteljev (Tall idr., 2012).
Obstaja več teorij kognitivne rasti, ki opisujejo različne vidike razvoja. Piaget, oče kognitivnih pristopov k razvoju, opisuje razvoj otroka skozi različne stopnje, od senzomotorične skozi konkretne operacije in nato do stopnje formalnih operacij (Tall idr., 2012).
Van Hiele se v svoji teoriji osredotoči na razvoj evklidske geometrije in opisuje razvoj skozi zaporedje stopenj, ki se gradijo od prepoznavanja predmetov prek konstruiranja njihovih opisov in kategorizacije do natančne uporabe, opredelitve in konstrukcije z uporabo ravnila in šestila do razvoja evklidskega deduktivnega dokaza (1986, v Tall idr., 2012).
Številni teoretični okviri govorijo o različnih reprezentacijah. Bruner opredeljuje tri načine reprezentacij: enaktivne, ikonične in simbolične reprezentacije (1966, v Tall idr., 2012).
Trije glavni načini poteka razvoja matematičnega razmišljanja so opredeljeni kot trije svetovi matematike (Tall, 2009):
• svet, ki se prične z interakcijami s predmeti in se razvija z besednim opisom in opredelitvijo platonske matematike, ki jo predstavlja evklidska (in tudi neevklidska) geometrija;
• svet, ki se razvija iz dejanj v simbolne oblike računov in manipulacije kot postopke, ki so lahko stisnjeni v objekte (procepte), ki delujejo dvojno: kot proces ali kot koncept;
8
• svet (aksiomatskega formalizma), ki temelji na sistemu aksiomov in definicijah novih konceptov, ki temeljijo na aksiomih in formalnih dokazih izrekov.
Vsak otrok v svojem razvoju prične z interakcijami s situacijami v vsakdanjem življenju, dotikanjem predmetov in zaznavanjem predmetov s čutili, raziskovanjem lastnosti predmetov ter razvijanjem jezika za njihovo opisovanje. Otrok med raziskovanjem lastnosti predmetov hkrati izvaja različne operacije, kot so: razvrščanje, štetje, deljenje, seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje, razvijanje aritmetičnih operacij itd. (Tall idr., 2012). Otroci z dotikom videnega eksperimentirajo in se tako duševno razvijajo. Slika 3 prikazuje kognitivni razvoj otroka skozi zaznavanje, izvajanje dejanj in refleksijo (Tall, 2009).
Slika 3: Kognitivni razvoj dokaza skozi tri svetove matematike (prirejeno po Tall idr., 2012, str. 24)
Okvir predstavlja otroka spodaj levo, ki z igro raziskuje oblike in odnose ter povezave med predmeti. Otrok tako gradi razvoj evklidske geometrije in z nadaljnjim razvojem odkriva, da se koncepti, ki temeljijo na zaznavanju in dejanjih, lahko spremenijo v dokaz z verbalno definicijo. Ta pomembna kognitivna sprememba, ki je na sliki 3 označena s črtkano črto, vodi od sklepa, ki temelji na dojemanju in dejanju, v evklidski dokaz v geometriji in dokaz, ki temelji na definiciji (Tall idr., 2012). Matematično razmišljanje se razvija specifično, nato generično in nato v obliki računanja ter manipuliranja, ki vodi do dokazov, ki temeljijo na iz pravilnosti izpeljanih pravilih s pomočjo manipuliranja s simboli. Formalizem temelji na definicijah teorije množic in deduktivnih dokazih. Drugi temeljni prehod v kognitivnem razvoju se zgodi v premiku v aksiomatski formalni svet definicij in formalne dedukcije. Razvoj vodi dalje še do formalnega sveta matematika Hilberta (Tall, 2009).
9
1.4.1.
Kognitivni vidik dokaza
Kognitivni vidik dokaza zajema celoten razvoj dokaza in dokazovanja pri posamezniku, od otroka do matematika. Otrok v razvoju razvije odnos do dokazov, da prepriča sebe in ostale dvomljivce, od uporabe konkretnih primerov prek numeričnih protiprimerov in vizualnih primerov, ki predstavljajo širše razrede primerov, pa do formalnih aksiomatskih dokazov, ki so širše sprejemljivi v matematični skupnosti. Razvoj dokaza, ki je lahko veljaven ali neveljaven, vključuje podajanje argumentov z različnimi stopnjami prepričljivosti (Hanna in de Villiers, 2008).
Učenci že od zgodnjega otroštva kažejo visoko stopnjo sposobnosti v sklepanju in utemeljevanju svojih argumentov v družbenih situacijah. Učenci sami od sebe ne sprejmejo koncepta matematičnega dokazovanja in deduktivnega sklepanja. Pri tem imajo pomembno vlogo učitelji, ki morajo učencem pomagati pri deduktivnem sklepanju in prepoznavanju koncepta matematičnega dokaza. Iz sklepov raziskav se ta prenos ne zgodi samodejno (Hanna in de Villiers, 2008).
1.4.2.
Razvojno učenje dokazov
Učenje dokazov in dokazovanja pri pouku matematike bi moralo potekati razvojno.
Učenci bi se morali z dokazom srečati že v osnovni šoli. Uspeh procesa učenja konstrukcije dokazov in postopka dokazovanja je odvisen od stališč in pogledov učiteljev na opredelitev dokaza, od predstavljenih oblik dokazov ali utemeljitev učitelja pri pouku, sloga poučevanja učitelja v razredu, načina razlage učitelja, od vrst podanih nalog učitelja, ki so potencialne in učencem nudijo priložnosti za dokazovanje, ter od načina diagnosticiranja učenčevih težav pri dokazovanju ter načrtovanju dejavnosti za lažje premagovanje teh težav (Hanna in de Villiers, 2008).
Učenje dokazovanja in konstrukcije dokaza ali utemeljitve je pri pouku matematike pomembno (Bar-Tikva, 2009). Pri pouku je učence treba opozoriti na pomembnost in omejitve matematičnega dokaza. Kot ključno vlogo matematičnega dokaza se navaja spodbujanje matematičnega razumevanja, saj je dokaz najbolj prepričljiv, ko vodi do razumevanja ter učencem pomaga misliti učinkovitejše in tako vodi do nadaljnjih matematičnih odkritij (Hanna, 2000).
Vključenost procesa učenja dokazov ter dokazovanja pomaga učencem do globljega razumevanja matematičnih konceptov. Za obravnavo dokazov pri pouku ni treba skrajšati časa, porabljenega za druge matematične dejavnosti. Obravnave dokazov ne bi smeli razumeti kot dodatno sestavino, ki zahteva dodaten čas. Pristop k matematiki, ki je usmerjen k obravnavi dokazov, učencem nudi možnosti za razvoj radovednosti učencev in sposobnost logičnega razmišljanja. Posledično bi tak pristop prispeval k temu, da bi učenci izboljšali razumevanje tudi drugih matematičnih konceptov (Waring, 2001).
Stopnja, ki jo učenec v osnovni šoli lahko doseže, je lahko povezana s starostjo v primeru, da je sposobnost dokazovanja odvisna od kognitivnega razvoja, ki je tudi povezan s starostjo. Ni pa nujno, da je sposobnost dokazovanja v celoti odvisna od izkušenj učencev.
Obstajajo osnovnošolci, ki so zmožni konstrukcije dokaza, čeprav v preprosti obliki, npr.
v obliki diagramov (Waring, 2001).
1.5. Obravnava dokazov pri pouku matematike
Dokazovanje v matematiki že od časa antike temelji na dedukciji. Deduktivno sklepanje in dokazovanje zavzemata pomembno mesto pri učenju matematike in matematičnem znanju posameznika (Magajna, 2012). Pomembna vloga dokaza in dokazovanja pri
10
matematiki kot disciplini vodi v potrebo po učenju dokazov že v osnovni šoli, saj bi pouk matematike le tako (vsaj deloma) odražal pravo naravo matematike (Furinghetti in Morselli, 2009). Matematik Polya meni, da bi dokazi morali biti predstavljeni in bi jih morali učiti že v osnovni šoli (Borwein, 2012). Ernest (1989) navaja tri glavne elemente, ki vplivajo na učenje matematike: sistem prepričanj in znanja, socialni kontekst, v katerem poteka učenje, ter refleksija procesa učenja in poučevanja.
V šolski matematiki se dokazovanje običajno uporablja za preverjanje že prej znanih rezultatov (Knuth, 2002b). Vzpostaviti veljavnost ni edini namen dokaza, sicer se ne bi razvila potreba po dokazovanju matematičnih dejstev po različnih poteh ali načinih (Zaslavsky idr., 2012). Med adolescenco se pokaže radovedna plat otrok in potreba po odgovorih na vprašanja se povečuje z večjo zmogljivostjo logičnega razmišljanja ali sklepanja. Če se nova matematična dejstva učencem pri pouku poleg predstavitve tudi dokaže in ne le predstavi kot novo očitno pravilno znanje, potem sledi, da učenci pričnejo ceniti znanje matematike kot celoto in ne le kot niz diskretnih tem ali dejstev. Učenje matematike na tak način gradi znanost, v kateri je vsaka nova izjava utemeljena s predhodno dokazano izjavo, s katero se poudari medsebojne povezave matematičnega znanja. Učenci s takšnim načinom učenja začnejo razmišljati kot pravi matematiki in postanejo matematično pismeni (Waring, 2001). Razlogi za učenje dokazov in dokazovanja v šoli sledijo iz pričakovanj, da so se učenci že srečali s pojasnjevanjem, podobno kot to počnejo matematiki (Zaslavsky idr., 2012). Učenci, ki se ne učijo dvomiti o matematični izjavi, so prikrajšani za pravo naravo matematike (Bleiler, 2009).
Po Hadas idr. (2000) sta dva pomembna razloga za učenje dokazov:
• učenje deduktivnega sklepanja kot dela človeške kulture in
• učenje deduktivnega sklepanja kot orodje za preverjanje in prikazovanje univerzalnosti matematičnih izjav.
V nasprotju z matematiko kot znanostjo, ki je pretežno deduktivna, je pouk matematike v osnovni šoli pretežno induktiven (Waring, 2001). Običajna učna ura poteka kot učiteljeva predstavitev novih pojmov, ki so pravzaprav trditve, lastnosti in zakoni, nato sledi reševanje nalog. S takšnim slogom poučevanja matematike učenci pridobijo vtis, da je matematika sistematična in deduktivna znanost (de Villiers, 2010).
Pri poučevanju matematike sta razlaga in razumevanje matematičnih dejstev zelo povezana. Ključno je razumevanje, pri katerem je vsaka podana razlaga usmerjena v to, da posameznik razume, zakaj je matematična trditev resnična. Dokaz, ki bo uporabljen pri pouku, mora vključevati razlago. Pomembno je, da ne prikaže le, da je rezultat resničen, ampak tudi, zakaj je resničen (Hanna, 2018).
Cilj učenja dokazov je razvoj matematičnega znanja z eksperimentiranjem, vizualizacijo, merjenjem, induktivnim sklepanjem in preverjanjem primerov (Hadas idr., 2000).
Koristno je poskusiti učencem na sistematični način predstaviti vlogo dokaza pri pouku z vključitvijo celotnega razpona v matematični praksi izvedljivih didaktičnih funkcij dokaza (Hanna, 2000). Russo (2018) je s skupino osnovnošolcev, starih osem ali devet let, izvedel raziskavo z več aktivnostmi. Tovrstne aktivnosti so učencem za sklepanje in presojanje o argumentih omogočile uporabo matematičnega jezika ter ob tem gradnjo njihovega razumevanja pomembnih matematičnih idej. Učenci so pri teh aktivnostih dokazovali pravilnost ali napačnost danih izjav o sodih in lihih številih ter množenju števil. Avtor članka je učencem podal le izjave, ki so primerne starosti v raziskavo vključenih učencev. Pri utemeljevanju izjav so se učenci lotili različnih strategij in
11
uporabljali različne poti matematičnega sklepanja. Nekateri učenci so pri utemeljevanju konstruirali tudi pravilne in veljavne argumentacije.
Knuthove ugotovitve raziskave kažejo, da učitelji vidijo dokaz kot objekt, ki ga je treba posebej učiti, in ne kot orodje, ki je lahko vključeno pri podajanju matematičnih dejstev pri pouku matematike (Knuth, 2002b).
Furinghetti in Morselli sta opredelila dva vidika obravnave dokaza pri pouku. Prvi vidik je učenje dokazov, pri katerem učitelj učencem predstavi matematične izjave skupaj z dokazom (Furinghetti in Morselli, 2011; Cabassut idr., 2012). Ta vidik vidi dokaz kot dokazovanje resnice izreka ali trditve (Hanna, 2018) ter se osredotoča na dokaz kot rezultat (Cabassut idr., 2012). Didaktični funkciji dokaza prepričanje in sistematizacija se večinoma sklicujeta na dokaz kot končni rezultat (Furinghetti in Morselli, 2009). Drugi vidik je učenje z dokazovanjem, pri katerem so učenci aktivno vključeni pri konstrukciji dokaza ali pa so celo izzvani, da konstruirajo lastne dokaze ali utemeljitve preprostih izjav (Furinghetti in Morselli, 2011; Cabassut idr., 2012). Ta vidik vidi dokaz kot odgovor, zakaj je izrek resničen (Hanna, 2018), uporablja dokaz kot spodbujanje matematičnega razumevanja ter se osredotoča na dokaz kot proces ali postopek (Cabassut idr., 2012). Na tak način dokaz postane sredstvo za izboljšanje matematičnega znanja. Ostale didaktične funkcije dokaza, kot je na primer razlaga, pa se sklicujejo na dokaz kot postopek dokazovanja (Furinghetti in Morselli, 2009).
V izobraževanju se uporabljajo različne metafore o vlogi dokaza v matematiki. Rav (1999) je uporabil metaforo, da lahko dokaz vidimo kot omrežje poti v javnem sistemu transporta, kjer so izreki kot avtobusne postaje. Manin je uporabil metaforo, da lahko vidimo aksiome, definicije in izreke kot pike v matematičnem vesolju, lokalne atrakcije in križišča, kjer so dokazi ceste, poti in avtoceste, ki povezujejo te pike. Vsaka pot vodi do kakovostnih ogledov turističnih znamenitosti ali atrakcij, ki so lahko bolj pomembne kot dejstvo, da pot vodi od točke A do točke B (1992, v Hanna, 2000).
1.5.1.
Področje dokazovanja pri pouku
Vodilna raziskovalca na področju dokazovanja v osnovni šoli, Ball in Bass, opredeljujeta matematično sklepanje kot osnovno matematično veščino, ki se ne loči od razumevanja matematičnega znanja. Ball in Bass (2003) sta področje dokazovanja razdelila na dve kategoriji: učne strategije in učno okolje.
1.5.1.1. Učne strategije
Najpomembnejša strategija, ki jo lahko učitelj uporabi pri spodbujanju učencev k matematičnem razmišljanju, navajata visoko pričakovanje do učencev že od prvega dne, da je treba svoje trditve preveriti in utemeljiti. Pomemben pristop pri tem je, da učitelji ne sprejmejo odgovorov, ampak dosledno postavljajo vprašanja, ki učence sprašujejo po veljavnosti odgovora, in vprašanja, ki sprašujejo, ali odgovor velja v vsakem primeru.
Pomembno je tudi, kako učenci prepoznajo veljavnost v vseh primerih ipd. Pogosteje kot bodo učenci slišali tovrstna vprašanja, večja bo verjetnost, da bodo sami sebe, pa tudi ostale učence v razredu povprašali o pravilnosti matematičnih trditev ali izjav (Bleiler, 2009).
Ob začetku izvajanja tovrstne strategije bodo učenci imeli veliko napačnih predstav o pravilnih tehnikah dokazovanja. Pogost odgovor učencev na vprašanje, zakaj je njihov odgovor pravilen, bo sklicevanje na avtoriteto: ker mi je tako rekla sestra, učiteljica, piše v učbeniku ipd. Prav tako je pogosta napaka osnovnošolcev, da na novo formulirajo
