Opredelitev argumentacije in matematičnega dokaza ter aktivnosti razumevanje

aktivnosti razumevanje dokaza in preverjanje veljavnosti dokaza

Dokaz ima osrednjo vlogo v matematični disciplini in praksi matematikov (Knuth, 2002a) ter predstavlja osnovo matematičnega razumevanja. Ključen je za razvoj, vzpostavljanje in posredovanje matematičnega znanja (Stylianides, 2007b). Dokazi lahko imajo tudi pojasnjevalno moč (Zaslavsky, Nickerson, Stylianides, Kidron in Winicki-Landman, 2012). G. Hanna in Barbeau (2008) sta opredelila vlogo dokaza pri matematiki kot nosilec znanja.

Razumevanje dokaza (angl. proof comprehension) pomeni razumevanje napisanega besedila v učbeniku ali pa napisanega besedila na tabli pri pouku. Naloge, ki preverjajo razumevanje dokaza, so takšnega tipa, da mora učenec iz eksplicitnega oblikovati implicitni opis dokaza, da poskrbi za povzetek dokaza in podobne naloge (Selden in Selden, 2015). Učitelji² matematike se zavedajo, da je matematično razumevanje izmuzljivo. Za matematika je dokaz najbolj dragocen, ko vodi do razumevanja in učencem pomaga razumeti pomen izjave, ki se dokazuje. Tak dokaz je tudi bolj prepričljiv in bolj verjetno vodi do nadaljnjih odkritij pravilnosti (Hanna, 2000).

Pomembna matematična aktivnost pri dokazovanju je preverjanje veljavnosti dokaza (angl. proof validation), ki zajema ugotavljanje, branje ali poskus refleksije o matematični pravilnosti domnevnega dokaza (Weber, 2008). Vključuje preverjanje pravilnosti uporabljenih argumentov, ki zajema preverjanje, ali je v dokazu napaka ter ali je konstruiran v skladu z matematičnimi pravili, in vključuje tudi preverjanje logičnega sklepanja v dokazu (Biehler in Kempen, 2019). Preverjanje veljavnosti dokaza zajema postavljanje vprašanj ter oblikovanje odgovorov na zastavljena vprašanja, potrjevanje trditev ali izjav, konstruiranje poddokazov, iskanje ali interpretiranje ostalih izrekov in definicij ipd. (Selden in Selden, 2015). Selden in Selden sta argumentirala, da je sposobnost preverjanja veljavnosti dokazov ključna spretnost pri dokazovanju matematične izjave (Selden in Selden, 2003). V okviru učenja in poučevanja matematike za veljavnost dokaza ni pogoj, da je dokaz kompleksen, obsežen ali formalen (Waring, 2001).

Razlikujemo med formalnim dokazom in neformalnimi utemeljitvami. Učenci na šolski ravni običajno podajajo neformalne utemeljitve (Cabassut idr., 2012). Utemeljitev je veljavna, če je argument deduktiven in hkrati nudi dokazila o resnici matematične izjave (Stylianides in Stylianides, 2009). Enako velja za veljavnost formalno zapisanega dokaza (Hadas, Hershkowitz in Schwarz, 2000). Na šolski ravni govorimo o večji in manjši prepričljivosti oziroma formalnosti. Neformalne utemeljitve so veljavne le v primeru, ko jih je zaradi splošne veljavnosti možno predstaviti in zapisati tudi kot formalni dokaz (Magajna, 2012). V magistrskem delu tako ločimo med formalno in didaktično veljavnostjo dokaza.

V primerjavi z branjem besedila, ki nima matematične vsebine, preverjanje veljavnosti dokaza od bralca zahteva več časa in pozornosti pri razumevanju utemeljitve s preverjanjem dedukcije, preverjanjem utemeljitev ipd. Vključuje postavljanje vprašanj in oblikovanje odgovorov na vprašanja, ustvarjanje poddokazov ali priklic znanja drugih izrekov in definicij. Selden in Selden (1995) opisujeta, kako je preverjanje veljavnosti

2 Izraz »učitelji« in njegova edninska oblika »učitelj« se v magistrskem delu nanašata na oba spola.

3

dokaza povezano s sposobnostjo konstrukcije dokaza. Pri konstrukciji dokaza je potrebna prava ideja ob pravem času, medtem ko pri preverjanju veljavnosti ni tako. Med konstrukcijo dokaza razmišljamo tudi o veljavnosti dokaza, kar pa običajno zahteva konstrukcijo poddokazov. To povezavo prikazuje slika 1.

Slika 1: Povezava med konstrukcijo dokaza in preverjanjem veljavnosti dokaza (prirejeno po Pfeiffer, 2009, str. 405)

Predstavitev, ki je prikazana na sliki 1, je možno razširiti tako, da se poudari učinek preverjanja veljavnosti dokaza pri učenju o matematični dokazih. To razširitev prikazuje slika 2 (Pfeiffer, 2009).

Slika 2: Preverjanje veljavnosti pri učenju o matematičnih dokazih (prirejeno po Pfeiffer, 2009, str. 406)

Povezava med konstrukcijo dokaza in preverjanjem veljavnosti dokaza je v tem, da lahko sposobnost potrditve veljavnosti dokaza izboljša sposobnost konstrukcije dokaza, razvije globlje razumevanje, razvije večjo pomembnost dokazane trditve in razvije znanje o metodah ali strategijah dokazovanja (Pfeiffer, 2009).

V filozofiji in zgodovini matematike obstajajo konfliktna mnenja o vlogi dokaza pri matematiki in o razlogih, kaj »naredi« dokaz sprejemljiv (Waring, 2001). Matematiki poudarjajo pomen socialnega procesa preverjanja veljavnosti dokaza, saj je za veliko posameznikov v matematični skupnosti dokaz družbeni konstrukt in produkt dogovora matematikov (Knuth, 2002b). Manin (1977, v Cabassut idr., 2012) trdi, da dokaz postane dokaz šele po socialnem dejanju njegovega sprejetja kot dokaz.

Matematični argument (ali preprosto argument) je opredeljen kot povezano zaporedje izjav, ki je namenjeno potrditvi ali zavrnitvi pravilnosti matematične trditve. Štirje glavni elementi argumenta, ki se pomembno upoštevajo pri presoji, ali argument šteje kot dokaz, so: osnova argumenta (opis osnove: definicija, aksiom itd.), formulacija (opis oblikovanja: kot logični sklep ali kot posploševanje posameznih primerov itd.), reprezentacija (način izražanja ali predstavitve: z uporabo vsakdanjega jezika, algebraično ipd.) in družbena razsežnost (kakšno vlogo igra argument v družbenem kontekstu skupnosti, kjer je ustvarjen). Lastnosti teh štirih glavnih elementov so na ravni

4

osnovnošolskega izobraževanja pomembne, da lahko argument šteje kot dokaz.

Argumenti in dokazi se gradijo na že sprejetih izjavah, kot so definicije in aksiomi, ki pa predstavljajo temelj matematike. Postopek sprejemanja argumenta kot dokaz se močno opira na socialne mehanizme matematične skupnosti, kjer bi moral biti sprejet kot dokaz (Stylianides, 2007b).

Splošni argument je opredeljen kot zaporedje trditev, ki se nanašajo na vse primere v tej domeni izjave, ki jo utemeljujemo. Formalno veljaven argument je argument, ki je deduktiven in hkrati nudi prepričljiva dokazila o pravilnosti matematične izjave. Dokaz je lahko veljaven splošni argument, a veljaven splošni argument ni nujno dokaz (Stylianides in Stylianides, 2009).

Neveljavni splošni argument je splošni argument s pomanjkljivostmi v logičnem sklepanju. Empirični argument je neveljaven argument, ki zajema neupravičena dokazila o presoji resničnosti izjave s preverjanjem primerov, ki sodijo v ustrezne podmnožice v dani domeni izjave (Stylianides in Stylianides, 2009). Empirični argument na stopnji osnovne šole in na splošno v matematični disciplini ne predstavlja dokaza matematične izjave, saj je iz ugotovitev psihologov in obstoječih dokazov razvidno, da so otroci lahko uspešni v deduktivnem sklepanju in dokazovanju (Stylianides, 2007b).

V literaturi se pri različnih avtorjih pojavijo različne opredelitve dokaza v matematiki.

Tudi v okviru matematične skupnosti ni poznana nedvoumna splošna definicija dokaza (Cabassut idr., 2012).

Definicija dokaza po Borweinu pravi, da je dokaz zaporedje izjav, od katerih vsaka od njih veljavno izhaja iz predhodnih izjav ali pa je aksiom ali predpostavka. Končna izjava iz zaporedja podanih izjav pa je tista, katere resničnost ali pravilnost dokazujemo.

Definicija matematike, povzeta po Borweinu, ne vsebuje besede dokaz, kajti za Borweina matematika kot znanost vključuje veliko več kot le dokaz. Ta opredelitev dokaza narekuje, da je matematika skupina področij, ki se ukvarjajo s števili, količinami, oblikami in prostori ter njihovimi medsebojnimi odnosi ali povezavami, uporabami, posplošitvami in abstraktnostjo (Borwein, 2012).

Zaradi pomembnosti razvoja kompetenc učencev pri procesu dokazovanja se je povečalo število raziskav, ki proučujejo in raziskujejo pedagogiko dokazovanja. Obstaja potreba po široko zastavljeni opredelitvi dokaza, ki vključuje vključenost postopka dokazovanja v razvoju pri pouku (Bieda, 2009).

Opredelitev dokaza, ki jo je podal Stylianides (2007a), pravi, da je dokaz matematični argument, ki je sestavljen iz povezanega zaporedja trditev, ki potrjujejo ali zavračajo pravilnost matematične trditve, in ima naslednje značilnosti:

(i) vključuje izjave (ali niz izjav), sprejete v skupnosti, torej v razredu, kjer veljajo kot pravilne in se uporabljajo brez dodatne utemeljitve;

(ii) uporablja načine sklepanja (načine argumentacije), ki so veljavni in znani ali poznani znotraj skupnosti, torej v razredu, in

(iii) je predstavljen z oblikami izražanja (načini predstavljanja argumentacije), ustreznimi in znanimi znotraj skupnosti, torej v razredu.

Ta opredelitev dokaza je dovolj prilagodljiva za uporabo tako v skupnosti matematikov kot tudi v šolskem prostoru (Reid in Vallejo Vargas, 2019).

Opredelitev matematičnega dokaza je odvisna od stopnje poznavanja matematike. Za matematika je dokaz lahko kompleksen, strog in včasih dolg argument (Waring, 2001).

5

Že od časa Cauchyja matematiki obravnavajo vse dokaze (tudi negeometrijske) kot kombinacijo aksiomov in strogo formalnih izpeljav. Formalne definicije dokaza pa pomena ne razložijo v celoti. Matematiki so prepričani, da v praksi vedo, kaj je dokaz (Cabassut idr., 2012). Dokaz igra pomembno vlogo pri odkrivanju ali ustvarjanju nove matematike. Kot trdi de Villiers, se je v zgodovini na čisto deduktiven način pojavilo veliko novih odkritih rezultatov (npr. neevklidska geometrija) (1999, v Knuth, 2002b).

Dokaz lahko pokaže tudi potrebo po boljših definicijah ali pa naredi prispevek k sistematizaciji, oblikovanju in zapisu rezultatov ali formalizaciji vsebin matematičnega znanja (Hanna, 2000).

Dokazi so bili v zgodovini pogosto obravnavani kot orodje za preverjanje matematičnih izjav in preverjanje njihove univerzalnosti. Leibnitz je verjel, da je matematični dokaz univerzalen simboličen zapis, ki dovoljuje jasno razlikovanje med dejstvom in izmišljotino ter resnico ali zmoto (Hanna, 1990). Rav razlikuje med formalnim dokazom in konceptualnim dokazom – s tem misli na neformalni dokaz. Rav meni, da dokaz prispeva k pridobivanju novih matematičnih pogledov ter vzpostavitvi novih kontekstualnih povezav in novih metod reševanja problemov (Rav, 1999).

Dokazi omogočijo, da se loči med resničnimi rezultati in rezultati, ki so verjetni, a na splošno niso nujno resnični. Natančna formulacija argumentov omogoča, da vidimo posamezno povezanost matematičnih rezultatov skupaj s širšimi matematičnimi idejami.

Dokaz matematičnega rezultata omogoča odgovor na vprašanje »Zakaj je to res?«

(Grabiner, 2009).

Dokazovanje se opredeli kot proces, kjer posameznik odstrani ali ustvari dvome o resnici neke matematične trditve. Proces dokazovanja vsebuje dve podpodročji: ugotavljanje (angl. ascertaining) in prepričevanje (angl. persuading). Kot pojasni Mariotti, je ugotavljanje proces, ki ga posameznik uporablja, da odstrani svoje dvome. Prepričanje pa je proces, ki se uporablja za odstranitev ostalih dvomov (Mariotti, 2006). Proces dokazovanja uči logičnega razmišljanja (Grabiner, 2009).

Razumevanje odnosa med argumentacijo in matematičnim dokazom lahko ima pomemben pomen pri oblikovanju nalog in oblikovanju učnega načrta s ciljem učenja konstrukcije dokaza in izvajanja procesa dokazovanja. Nekateri raziskovalci vidijo matematični dokaz drugače kot argumentacijo, drugi pa kot del istega, kot kontinuum (Hanna in de Villiers, 2008).

Matematika kot znanost je po mnenju Polya, Lakatosa in drugih matematikov eksperimentalna in induktivna znanost, kjer pomembno vlogo igra eksperimentiranje (de Villiers, 2010).