Kognitivni razvoj reprezentacij in klasifikacija dokazov po Tallu

Tall opredeljuje komponente človeške dejavnosti kot vložek (zaznavanje), aktivnost (misel) in rezultat (dejanje), kot prikazuje slika 5. Matematične dejavnosti vidimo kot zaznavanje predmetov, razmišljanje o njih in izvajanje dejanj (Tall, 1995b).

Slika 5: Komponente človeške dejavnosti (prirejeno po Tall, 1995b, str. 61)

Osnovnošolska matematika se začne z zaznavanjem predmetov, ki jih učenci najprej opazujejo in po analiziranju verbalno opišejo, kar vodi v klasifikacijo (najprej v skupine in nato v hierarhije) in začetek verbalne dedukcije, ki se nanaša na lastnosti in razvoj sistematičnega verbalnega dokaza (Tall, 1995b).

Klasifikacija reprezentacij po Brunerju opredeljuje tri različne vrste reprezentacij:

enaktivne, ikonične in simbolične (Tall, 1995b). Enaktivne reprezentacije temeljijo na interakciji z okoljem in vključujejo fizično dejanje. Ikonične reprezentacije vključujejo vizualno predstavitev. Simbolične reprezentacije pa lahko nastopajo v treh različnih oblikah: verbalni (opis), formalni (opredelitev) in procesni obliki (dualnost proces-predmet) (Tall, 1995a).

19

Tall (1995a) je po Brunerjevi klasifikaciji reprezentacij orisal, kako enaktivne reprezentacije zagotovijo temelje matematični rasti in kako vizualne ter simbolične reprezentacije razkrivajo različne vrste razvoja, ki delujejo medsebojno in povzročajo potrebo po formalni definiciji in dokazu, kar prikazuje diagram na sliki 6.

Slika 6: Kognitivni razvoj reprezentacij (prirejeno po Tall, 1995a, str. 29)

Kot prikazuje slika 6, so formalne reprezentacije ločene od reprezentacij po Brunerju. Pri formalnih reprezentacijah imata prednost definicija in dedukcija z uporabo formalnega dokaza. Prehod od vizualnih in simboličnih reprezentacij do formalnih reprezentacij zahteva ogromno kognitivno rekonstrukcijo. V osnovnošolski matematiki se koncepti razvijejo, kasneje besedno zapišejo in šele nato vizualno predstavijo. S črtkano črto je na sliki 6 označena pomembna kognitivna rekonstrukcija, potrebna za vzpostavitev definicije kot podlage za konstrukcijo formalnega koncepta, ki loči osnovnošolsko matematiko od bolj napredne oblike mišljenja, ki je značilno za formalno reprezentacijo (Tall, 1995a).

Formalni dokaz mora odražati kognitivno raven učeče se osebe in kognitivni razvoj dokaza mora upoštevati kognitivno strukturo in reprezentacije, ki so na voljo odraščajočemu posamezniku. Kognitivni razvoj dokaza je odvisen od kognitivne strukture in reprezentacij, ki so učencem na voljo v določenem času (Tall, 1995a).

Glede na različne vrste reprezentacij in različne načine razmišljanja je možnih več različnih tipov ali vrst dokaza (Tall, 1995b). Tall v svoji klasifikaciji dokazov opredeli enaktivni dokaz, vizualni dokaz in manipulativni dokaz. Učitelji matematike morajo pri uvajanju dokazov pri pouku premisliti o naravi vključenega matematičnega dokaza in ustrezno vključevati različne vrste dokazov v povezani s kognitivnim razvojem učencev (Tall, 1995a).

1.6.1. Enaktivni dokaz

Enaktivni dokaz (angl. enactive proof) je dokaz na najbolj enostavni ravni, ki vključuje izvajanje fizičnega dejanja z namenom dokazovanja resnice neke matematične izjave.

Vključuje tudi vizualno in verbalno podporo, a bistveni dejavnik je fizično gibanje z namenom, da se prikaže in utemelji zahtevan odnos ali povezava (Tall, 1995a).

20

Slika 7 prikazuje primer enaktivnega dokaza izjave, da sta v enakokrakem trikotniku kota ob krakih skladna. Izjavo utemeljimo z rezanjem trikotnika iz papirja in s prepogibanjem izrezanega trikotnika po osi simetrije (Tall, 1995a).

Slika 7: Enaktivni dokaz izjave, da ima enakokraki trikotnik skladna kota ob krakih (Tall, 1995a, str. 31)

Enaktivni dokaz vedno vključuje posebne primere ali primere, ki so videti kot reprezentativni prototipi posamezne klasifikacije primerov (Tall, 1995a).

1.6.2. Vizualni dokaz

Vizualni dokaz (angl. visual proof) vključuje enaktivne elemente, običajno pa ima tudi verbalno podporo (Tall, 1995a).

Primer vizualnega dokaza je klasični indijski dokaz Pitagorovega izreka, ki je predstavljen na sliki 8 (Tall, 1995a).

Slika 8:Prikaz (enaktivnega) vizualnega dokaza Pitagorovega izreka (Tall, 1995a, str. 31)

Pri obeh kvadratih s stranicami 𝑎 + 𝑏, predstavljenih na vizualnem dokazu na sliki 8, so stranice 𝑎 in 𝑏 ter hipotenuza 𝑐 poimenovane oziroma postavljene na dva različna načina.

Pri prvem načinu postavitve stranic v kvadratu je območje kvadrata brez štirih pravokotnih trikotnikov, ki so osenčeni s sivo barvo, izraženo kot vsota dveh kvadratov s ploščino 𝑎² in 𝑏². Pri drugem načinu postavitve stranic v kvadratu pa je območje kvadrata brez štirih pravokotnih trikotnikov, ki so prav tako osenčeni s sivo, izraženo kot kvadrat s ploščino 𝑐². Za razumevanje dokaza je nujno potrebno, da si učenci predstavljajo premik s sivo osenčenih trikotnikov iz prvega načina postavitve na drugi način postavitve stranic tako, da je razvidno, da za ploščine kvadratov velja 𝑎²+ 𝑏² = 𝑐². Vsak vizualni prikaz lahko ima različne dolžine stranic 𝑎 in 𝑏, vendar tak vizualni prikaz lahko vidimo kot prototip, ki je značilen za katerikoli pravokotni trikotnik (Tall, 1995a).

Slika 9 prikazuje vizualni (generični) dokaz aritmetične trditve, da množenje ni odvisno od vrstnega reda faktorjev (zakon o zamenjavi faktorjev) (Tall, 1995a).

21

Slika 9: Vizualni (generični) dokaz zakona o zamenjavi faktorjev, ki prikazuje, da velja 4 ∙ 3 = 3 ∙ 4 (prirejeno po Tall, 1995b, str. 70)

Vizualni dokaz, predstavljen na sliki 9, je konstruiran ali predstavljen tako, da je produkt dveh faktorjev mogoče videti na dva različna načina (kot štiri pike v treh vrsticah ali pa kot tri pike v štirih vrsticah). Manj pa smo pozorni na enaktivno prerazporeditev, zato je to primer vizualnega dokaza. Vizualni prikaz lahko vidimo kot tipičen predstavnik razreda podobnih vizualnih predstavitev, ki so tipični prototipi splošne izjave, da za produkt faktorjev 𝑚 in 𝑛 velja 𝑚 ∙ 𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑚, kjer števili 𝑚 in 𝑛 pripadata množici naravnih števil s številom 0 (ℕ₀) (Tall, 1995a).

Z vizualnim (generičnim) dokazom, predstavljenim na sliki 10, je možno (vsaj za pozitivni vrednosti dolžin stranic 𝑎 in 𝑏) z vizualno predstavitvijo dokazati pravilnost algebrske identitete 𝑎² − 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏). Dokaz prav tako vsebuje enaktivne elemente, s pomočjo katerih lahko lažje vizualiziramo dinamično prerazporeditev posameznih delov (Tall, 1995a).

Slika 10: Vizualni (generični) dokaz algebrske identitete razlike dveh kvadratov (Tall, 1995a, str. 32)

V primeru ikoničnega načina reprezentacije vizualni prikaz pogosto vidimo kot prototip, ki lahko predstavlja vse primere nekega razreda in ne le posameznega specifičnega primera, ki sodi v ta razred primerov (Tall, 1995b).Vizualne oblike in ideje dokaza so po 19. stoletju pričele veljati za sumljive in nezanesljive, kljub temu da se pogosto zdijo zelo prepričljive (Tall, 1995a). Generični dokaz zakona o zamenjavi faktorjev (komutativnost množenja), predstavljen na sliki 9, ki s slikovno predstavitvijo utemeljuje, da velja 𝑚 ∙ 𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑚, utemelji pravilnost izjave le v primeru, ko sta 𝑚 in 𝑛 pozitivni celi števili.

Prav tako vizualni dokaz algebrske identitete razlike dveh kvadratov, predstavljen na sliki 10, velja le za pozitivna realna števila. Koncepti se spreminjajo v pomenu od enaktivnih prek vizualnih ali simboličnih dokazov v formalne, različne vrste dokazov, ki lahko prepričajo posameznika. Kar je za posameznika na eni stopnji razvoja zadovoljiv dokaz, se lahko pozneje izkaže za nezadovoljivega (Tall, 1995a).

22

Vizualizacija je prva demonstracija in vizualni dokaz je bilo mogoče videti v matematiki mnogih kultur, prav tako v grški. Vizualni dokazi se uporabljajo tudi v aritmetiki, ne le pri geometriji. V vizualnih dokazih v pitagorejski teoriji števil je pika predstavljala enoto.

Slika 11 prikazuje primer pitagorejske predstavitve izjave, da je vsota zaporednih lihih števil vedno enaka kvadratu števila (Grabiner, 2012).

Slika 11: Vsota zaporednih lihih števil je vedno enaka kvadratu števila (prirejeno po Grabiner, 2012, str.

149)

Vizualna demonstracija Grkom sčasoma ni zadostovala in v geometriji se je razvil ali oblikoval logičen dokaz, ki sklepa, da je nekaj logična posledica nečesa, kar so že verjeli, da je resnično. Logični dokazi so potrebni, ko nekaj, kar se dokazuje, ni očitno, in Grki so menili, da morajo v zvezi z neočitnim podati argument primerov. Vizualni dokaz pogosto ni le bolj prepričljiv, ampak je tudi sredstvo za nadaljnje odkrivanje (Grabiner, 2012).

Slika 12 predstavlja dobro poznani vizualni argument, ki ga najdemo v babilonskem jeziku, kitajski in indijski matematiki, ki učencu dokaže, da velja (𝑎 + 𝑏)² = 𝑎²+ 2𝑎𝑏 + 𝑏² (Grabiner, 2012).

Slika 12: Vizualni dokaz (a + b)² = a2 + 2ab + b² (Grabiner, 2012, str. 154)

Starodavna vizualizacija pomaga razložiti algebrsko računanje. Nekateri nasledniki grške geometrije so ustvarjalno povezali vizualne argumente z logičnimi dokazi (Grabiner, 2012). Vizualni dokazi postanejo neveljavni, ko slikovni prototipi v celoti ne pokrijejo celotnega razreda primerov, na katerega se dokaz nanaša (Tall, 1995b).

1.6.3.

Manipulativni dokaz

Manipulativni dokaz (angl. manipulative proof) je ena izmed vrst dokaza v klasifikaciji,

ki jo opredeljuje Tall. Primer manipulativnega dokaza je dokaz algebrske identitete

23

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎²− 𝑏², ki je prikazan na sliki 13. Pri tem manipulativnem dokazu je potrebno znanje množenja veččlenikov, pri čemer se izničita izraza 𝑏𝑎 in –𝑎𝑏.

Slika 13: Manipulativni dokaz algebrske identitete (a + b)(a – b)

Na sliki 14 je primer manipulativnega dokaza izjave, da je vsota dveh zaporednih lihih števil večkratnik števila 4, kar se lahko izrazi algebraično.

Slika 14: Manipulativni dokaz izjave, da je vsota dveh zaporednih lihih števil večkratnik števila 4

Opazimo, da je rezultat vsote izrazov 2𝑛 + 1 in 2𝑛 + 3 izraz 4𝑛 + 4. Tak dokaz se izvede z uporabo ustrezne algebraične reprezentacije in algebraične manipulacije (v tem primeru seštevanja dveh izrazov) (Tall, 1995a).