Interpretacija podatkov, pridobljenih s preizkusom znanja

Nabor utemeljitev pri nalogah na preizkusu znanja zajema vse vrste utemeljitev, ki jih opredeljujeta klasifikacija po Tallu in klasifikacija glede strogosti utemeljitve. Sledi analiza zbranih podatkov o vseh različnih utemeljitvah pri vsaki od trditev.

Trditev a: Odgovor učenca pojasni, zakaj je izjava resnična.

V tabeli 14 so zbrani odgovori vseh učencev ter učno zmožnejših in učno šibkejših učencev glede strinjanja s trditvijo, da utemeljitev pojasni, zakaj je izjava resnična. V tabeli je predstavljen prikaz odgovorov pri različnih vrstah utemeljitev po dveh izbranih klasifikacijah. Podatke v tabeli, ki prikazujejo stopnjo strinjanja s trditvijo, smo osenčili s tremi različnimi odtenki sive barve. Podatke smo glede deleža strinjanja razdelili v tri kategorije: 0–50 %, 51–75 % in 76–100 %.

V zadnjem stolpcu tabele je podatek, ali se pojavljajo statistično pomembne razlike med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci glede strinjanja s trditvijo, da utemeljitev pojasni, zakaj je izjava resnična. Podatek je naveden glede na izračun hi-kvadrat preizkusa hipoteze neodvisnosti.

Odgovore smo razvrstili v tri kategorije: da (pri vseh utemeljitvah te vrste so se pokazale statistično pomembe razlike), ne (pri vseh utemeljitvah te vrste se niso pokazale statistično pomembe razlike) in včasih (pri nekaterih utemeljitvah te vrste so se pokazale statistično pomembe razlike in pri nekaterih pa ne).

79

Tabela 14: Prikaz strinjanja učencev s tem, da posamezna vrsta utemeljitve pojasni, zakaj je izjava resnična, in razlike med učenci glede na učno uspešnost

Vrsta utemeljitve manipulativni dokaz najbolj pojasni, zakaj je izjava resnična, saj je utemeljitev izbralo malo manj kot tri četrtine učencev. Večina manipulativnih dokazov na preizkusu znanja zares pojasni, zakaj je izjava resnična, nekateri pa ne (Mašin odgovor). Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve so zbrani podatki pokazali, da resničnost izjave najbolj pojasni generični dokaz, kar je prepoznala večina učencev. Generični dokaz prav tako pojasni, zakaj je izjava resnična. Zbrani podatki so pokazali, da po klasifikaciji po Tallu resničnost izjave najmanj pojasni enaktivni dokaz, ki zares ne pojasni, zakaj je izjava resnična. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa resničnost izjave najmanj pojasni utemeljitev z avtoriteto, ki prav tako ne pojasni, zakaj je izjava resnična. Ta podatek pove, da učenci znajo prepoznati, da ni dovolj, da jim učitelj nekaj zatrjuje, ampak je treba matematično izjavo tudi utemeljiti.

Učno zmožnejši učenci so izbrali, da po klasifikaciji po Tallu resničnost izjave najbolj pojasni manipulativni dokaz, po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa generični dokaz, ki jo zares pojasni. Da ti dve utemeljitvi pojasnita, zakaj je izjava resnična, meni večina učno zmožnejših učencev. To kaže na to, da so učenci v osnovni šoli že zmožni deduktivnega sklepanja in dokazovanja. Tudi Stylianides (2007b) je zapisal, da je iz psiholoških ugotovitev in obstoječih raziskav znano, da so učenci lahko uspešni v deduktivnem sklepanju in dokazovanju že v osnovni šoli. Po mnenju učno zmožnejših učencev po klasifikaciji po Tallu resničnost izjave najmanj pojasni enaktivni dokaz, po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa jo najmanj pojasni utemeljitev z avtoriteto.

Malo manj kot polovica učno zmožnejših učencev je pravilno prepoznalo, da enaktivni dokaz ne pojasni matematične izjave, ter manjšina učno zmožnejših učencev je pravilno prepoznala, da utemeljitev z avtoriteto ne pojasni matematične izjave.

80

Učno šibkejši učenci so mnenja, da po klasifikaciji po Tallu resničnost izjave najbolj pojasni enaktivni dokaz, ki pa zares ne pojasni, zakaj je izjava resnična. Zanimivo je, da sta to vrsto dokaza pri tej trditvi izbrala najmanjši delež učno zmožnejših učencev in večina učno šibkejših učencev. Iz tega podatka je razvidno, da so učno šibkejši učenci bolj kot učno zmožnejši učenci mnenja, da neko fizično dejanje pojasni, zakaj je matematična izjava resnična. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa so učenci izbrali, da resničnost izjave najbolj pojasni utemeljitev s primeri. Utemeljitev s primeri je kot utemeljitev, ki pojasni, zakaj je izjava resnična, izbralo malo več kot polovica učno zmožnejših učencev in kar večina učno šibkejših učencev. To ni presenečenje, saj je ta vrsta utemeljitve edina vrsta utemeljitve, ki je razumljiva začetnikom (Hanna in de Villiers, 2008). Po klasifikaciji po Tallu so učenci odgovorili, da resničnost izjave najmanj pojasni manipulativni dokaz. Zanimivo je, da sta to vrsto dokaza pri tej trditvi izbrala najmanjši delež učno šibkejših učencev in zelo velik delež učno zmožnejših učencev. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa resničnost izjave najmanj pojasni formalni dokaz, ki v resnici pojasni, zakaj je izjava resnična. Rezultat je pričakovan, saj učno šibkejši učenci formalnega dokaza najbrž ne razumejo, saj vsebuje abstraktno mišljenje in vključuje matematične simbole.

Iz podatka v zadnjem stolpcu v tabeli 14 lahko razberemo, da se odgovor, ali utemeljitev pojasni, zakaj je izjava resnična, med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci močno razlikuje. Pri večini vrst utemeljitev so se pokazale razlike med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci glede tega, ali utemeljitev pojasni, zakaj je izjava resnična. Le pri generičnem dokazu ni bilo opaziti razlik med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci. Sklepamo lahko, da imajo učno zmožnejši in učno šibkejši učenci drugačne predstave o tem, kdaj dokaz pojasni, zakaj je izjava resnična. Morda zaradi tega, ker se za utemeljevanje bolj zanimajo učno zmožnejši kot učno šibkejši učenci, ali pa se morda utemeljevanje predstavi le učno zmožnejšim učencem in se morda zato oblikujejo različna mnenja in predstave.

Trditvi b in c: Odgovor utemelji, da je izjava zagotovo vedno resnična, ter odgovor utemelji, da je izjava resnična le v nekaj primerih.

V tabeli 15 so zbrani odgovori vseh učencev ter učno zmožnejših in učno šibkejših učencev glede strinjanja s trditvijo, da utemeljitev utemelji, da je izjava zagotovo vedno resnična, ter s trditvijo, da utemeljitev utemelji, da je izjava resnična le v nekaj primerih.

V tabeli je predstavljen prikaz odgovorov pri različnih vrstah utemeljitev po dveh izbranih klasifikacijah. Podatke v tabeli, ki prikazujejo stopnjo strinjanja s trditvijo, smo različno osenčili s tremi različnimi odtenki sive. Podatke smo glede deleža strinjanja razdelili v tri kategorije: 0–50 %, 51–75 % in 76–100 %.

V zadnjih dveh stolpcih tabele je podatek, ali se pojavljajo statistično pomembne razlike med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci glede strinjanja s trditvijo, da utemeljitev pojasni, da je izjava zagotovo vedno resnična ali pa je resnična le v nekaj primerih. Podatek je naveden glede na izračun hi-kvadrat preizkusa hipoteze neodvisnosti. Odgovore smo razvrstili v tri kategorije: da (pri vseh utemeljitvah te vrste so se pokazale statistično pomembe razlike), ne (pri vseh utemeljitvah te vrste se niso pokazale statistično pomembe razlike) in včasih (pri nekaterih utemeljitvah te vrste so se pokazale statistično pomembe razlike, pri nekaterih pa ne).

81

Tabela 15: Prikaz strinjanja učencev s tem, da posamezna vrsta utemeljitve pojasni, da je izjava vedno resnična ali pa je resnična le v nekaj primerih, in razlike med učenci glede učne uspešnosti

Vrsta

Zagotovovedno resnična. Resnična lev nekaj primerih. Zagotovovedno resnična. Resnična lev nekaj primerih. Zagotovovedno resnična. Resnična lev nekaj primerih. Zagotovovedno resnična. Resnična lev nekaj primerih.

Enaktiven resnična, največji delež učencev izbral manipulativni dokaz, po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa generični dokaz. Generični dokaz zares utemelji, da je izjava zagotovo vedno resnična. Večina manipulativnih dokazov na preizkusu znanja prav tako zares utemelji, da je izjava zagotovo vedno resnična. Učenci so z deležem 76–100 % po klasifikaciji po Tallu izbrali vse vrste utemeljitev kot utemeljitve, ki utemeljijo, da je izjava zagotovo vedno resnična. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa so se učenci z deležem 76–100 % odločili le za generični dokaz. Iz rezultatov je moč razbrati, da je približno tri četrtine učencev pravilno izbralo manipulativni dokaz in generični dokaz kot utemeljitvi, ki utemeljita, da je izjava zagotovo vedno resnična.

Po klasifikaciji po Tallu je kot utemeljitev, ki utemelji, da je izjava zagotovo vedno resnična, največji delež učno zmožnejših učencev izbral manipulativni dokaz, po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa formalni dokaz. Formalni dokaz zares utemelji,

82

da je izjava zagotovo vedno resnična, manipulativni dokaz pa ne utemelji pri vseh primerih te utemeljitve, da je izjava zagotovo vedno resnična. Večina učno zmožnejših učencev je pravilno izbrala manipulativni in formalni dokaz kot utemeljitvi, ki utemeljita, da je izjava zagotovo vedno resnična. Po klasifikaciji po Tallu je kot utemeljitev, ki utemelji, da je izjava zagotovo vedno resnična, največji delež učno šibkejših učencev izbral vizualni dokaz, po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa utemeljitev s primeri.

Ti dve utemeljitvi sta kot utemeljitev, ki utemelji, da je izjava zagotovo vedno resnična, izbrali dve tretjini učno šibkejših učencev. Vizualni dokaz ne utemelji, da je izjava zagotovo vedno resnična. Večina utemeljitev s primeri prav tako ne utemelji, da je izjava zagotovo vedno resnična, z izjemo Blaževega odgovora.

Po klasifikaciji po Tallu je kot utemeljitev, ki utemelji, da je izjava resnična le v nekaj primerih, največji delež učencev izbral enaktivni dokaz, po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa utemeljitev s sliko. Ti dve utemeljitvi zares utemeljita, da je izjava resnična le v nekaj primerih. Pri teh dveh utemeljitvah je približno polovica učencev pravilno sklepala.

Po klasifikaciji po Tallu je kot utemeljitev, ki utemelji, da je izjava resnična le v nekaj primerih, največji delež učno zmožnejših učencev izbral enaktivni dokaz, po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa utemeljitev s sliko. Utemeljitvi je izbralo približno tri četrtine učno zmožnejših učencev. Učno zmožnejši učenci so pravilno izbrali enaktivni dokaz in utemeljitev s sliko kot utemeljitvi, ki utemeljita, da je izjava resnična le v nekaj primerih. Po klasifikaciji po Tallu je kot utemeljitev, ki utemelji, da je izjava resnična le v nekaj primerih, največji delež učno šibkejših učencev izbral vizualni dokaz, po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa utemeljitev s sliko in generični dokaz. Pri utemeljitvi s sliko in vizualnem dokazu so učno šibkejši učenci sklepali pravilno, pri generičnem dokazu pa ne. Utemeljitve je delno pravilno izbralo manj kot tretjina učno šibkejših učencev.

Iz rezultatov je moč opaziti, da so si nekateri učenci trditvi interpretirali tudi na drugačen način. Razmišljali naj bi tako, da če je utemeljitev zagotovo vedno resnična, to pomeni, da je resnična tudi v nekaj primerih, in so zato pri obeh trditvah obkrožili odgovor da.

Tako učno zmožnejši kot učno šibkejši učenci so z deležem strinjanja, večjim od 50 %, veliko utemeljitev prepoznali kot utemeljitve, ki utemeljijo, da je izjava zagotovo vedno resnična. Med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci so opazne razlike, saj so učno zmožnejši učenci bolj pravilno prepoznali veljavne utemeljitve kot učno šibkejši učenci.

Iz podatka v zadnjem stolpcu lahko opazimo, da se strinjanje učencev s trditvami med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci močno razlikuje. Pri večini vrst utemeljitev so se pokazale razlike med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci. Sklepamo lahko, da imajo učno zmožnejši in učno šibkejši učenci drugačne predstave o tem, kdaj utemeljitev utemelji, da je izjava zagotovo vedno resnična in kdaj le v nekaj primerih. Le pri generičnem dokazu ni bilo opaziti razlik med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci. Velik delež učno zmožnejših in učno šibkejših učencev je prepoznalo generični dokaz kot utemeljitev, ki utemelji, da je izjava zagotovo vedno resnična.

Trditev d: Odgovor povsem razumem.

V tabeli 16 so zbrani odgovori vseh učencev ter učno zmožnejših in učno šibkejših učencev glede strinjanja s trditvijo, da učenec utemeljitev povsem razume. V tabeli je predstavljen prikaz odgovorov pri različnih vrstah utemeljitve po dveh izbranih klasifikacijah. Podatke v tabeli, ki prikazujejo stopnjo strinjanja s trditvijo, smo različno osenčili s tremi različnimi odtenki sive. Podatke smo glede deleža strinjanja razdelili v tri kategorije: 0–50 %, 51–75 % in 76–100 %.

83

V zadnjem stolpcu tabele je podatek, ali se pojavljajo statistično pomembne razlike med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci glede strinjanja s trditvijo, da učenec odgovor povsem razume. Podatek je naveden glede na izračun hi-kvadrat preizkusa hipoteze neodvisnosti. Odgovore smo razvrstili v tri kategorije: da (pri vseh utemeljitvah te vrste so se pokazale statistično pomembe razlike), ne (pri vseh utemeljitvah te vrste se niso pokazale statistično pomembe razlike) in včasih (pri nekaterih utemeljitvah te vrste so se pokazale statistično pomembe razlike, pri nekaterih pa ne).

Tabela 16: Prikaz strinjanja učencev s tem, da razumejo posamezno vrsto utemeljitve, in razlike med učenci glede učne uspešnosti

Vrsta

utemeljitve Vsi učenci Učno zmožnejši

Zbrani podatki so pokazali, da je večina učencev mnenja, da iz zbranih utemeljitev po klasifikaciji po Tallu najbolj razumejo enaktivni dokaz, po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa utemeljitev z avtoriteto ter utemeljitev s sliko. Utemeljitve je izbrala večina učencev. Dobljene rezultate utemeljujemo s tem, da se pri pouku pogosto utemeljuje s skicami ali pa navajanjem napisanih trditev ter izrekov v učbeniku in zvezku. Kot navaja Magajna (2012), enaktivni dokaz velja za bolj prepričljivo utemeljitev. Zbrani podatki kažejo, da učenci po klasifikaciji po Tallu najmanj razumejo manipulativni dokaz, ki ga razume malo več kot polovica učencev. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa učenci najmanj razumejo formalni dokaz, ki ga razume manj kot polovica učencev.

Dobljene rezultate utemeljujemo s tem, da je formalni dokaz najbolj abstrakten in vsebuje matematične simbole, manipulativni dokaz pa vključuje algebraično reprezentacijo in manipulacijo. Kot navaja Magajna (2012), formalni dokaz velja kot manj prepričljiva utemeljitev.

84

Učno zmožnejši učenci so odgovorili, da po klasifikaciji po Tallu najbolj razumejo enaktivni dokaz, ki ga razume večina učno zmožnejših učencev. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa učno zmožnejši učenci najbolj razumejo utemeljitev s sliko, ki jo prav tako razume večina učno zmožnejših učencev. Iz zbranih podatkov je razvidno, da so jim vse vrste utemeljitev v precejšnji meri razumljive. Podobno navaja tudi Stylianides (2007b), da so učenci v osnovni šoli že zmožni deduktivnega sklepanja in dokazovanja.

Učno zmožnejši učenci so odgovorili, da po klasifikaciji po Tallu najmanj razumejo manipulativni dokaz, ki ga razume velik delež učno zmožnejših učencev. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa najmanj učno zmožnejših učencev razume formalni dokaz, ki ga razume približno tri četrtine učno zmožnejših učencev, kar predstavlja velik delež učno zmožnejših učencev. Dobljene rezultate utemeljujemo s tem, da je formalni dokaz vrsta dokaza, ki vključuje matematične simbolne ponazoritve in, kot navaja Magajna (2012), so te v večini primerov težje razumljive.

Učno šibkejši učenci so odgovorili, da po klasifikaciji po Tallu najbolj razumejo enaktivni dokaz, ki ga razume malo več kot tri četrtine učno šibkejših učencev. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa učno šibkejši učenci najbolj razumejo utemeljitev z avtoriteto, ki jo razume velika večina učno šibkejših učencev. Rezultat ni presenetljiv, saj je, kot navaja Bleiler (2009), zelo pogost odgovor učencev sklicevanje na avtoriteto in iz tega razloga jim je ta utemeljitev morda najbolj razumljiva. V primerjavi z ostalimi vrstami utemeljitev po Tallu so se učenci v zelo velikem deležu odločili, da najbolj razumejo enaktivni dokaz. Učno šibkejši učenci so odgovorili, da po klasifikaciji po Tallu najmanj razumejo manipulativni dokaz, ki ga razume manj kot tretjina učno šibkejših učencev. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa jim je najmanj razumljiv formalni dokaz, ki ga razume zelo majhen delež učno šibkejših učencev. Tudi ta rezultat ni presenetljiv, saj ti dve vrsti dokaza vsebujeta algebraične manipulacije, abstraktno mišljenje in simbolne ponazoritve, ki naj bi bile učencem manj razumljive. Tako učno zmožnejši kot učno šibkejši učenci so kot najbolj razumljivo utemeljitev po klasifikaciji po Tallu izbrali enaktivni dokaz. Učenci torej bolj razumejo utemeljitve, ki utemeljijo s pomočjo fizičnega dejanja.

Iz podatka v zadnjem stolpcu tabele 16 lahko opazimo, da se odgovor o razumljivosti posamezne vrste utemeljitve med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci močno razlikuje pri večini vrst utemeljitev po obeh izbranih klasifikacijah. Le pri utemeljitvi z avtoriteto in utemeljitvi s sliko se ne pojavljajo razlike med učno zmožnejšimi in učno šibkejšimi učenci. Velik delež učno zmožnejših in učno šibkejših učencev je izbralo utemeljitev z avtoriteto in utemeljitev s sliko kot utemeljitev, ki jo povsem razumejo. Na razumevanje večine vrst utemeljitev pa vpliva učna uspešnost učencev.

Odgovor na drugo in tretje raziskovalno vprašanje

Na podlagi analize pridobljenih podatkov smo pridobili rezultate, s pomočjo katerih lahko odgovorimo na drugo in tretje raziskovalno vprašanje.

2. raziskovalno vprašanje:

Kako dobro osnovnošolci sprejmejo in prepoznajo veljavnost argumentacije pri dokazovanju in razumejo dano argumentacijo?

Statistična analiza podatkov je pokazala, da imajo učenci težave pri prepoznavanju veljavnosti. Kot veljavne utemeljitve je več kot polovica učencev prepoznala veliko vrst utemeljitev na preizkusu znanja po obeh izbranih klasifikacijah. Večina vrst utemeljitve je več kot polovico učencev prepričala kot veljavna utemeljitev in pravi dokaz, s katerim

85

bi učenci pri nalogi lahko dokazali matematično izjavo. Iz rezultatov je moč razbrati, da je približno tri četrtine učencev delno pravilno izbralo manipulativni dokaz in generični dokaz kot utemeljitvi, ki sta zagotovo vedno resnični. Formalni dokaz in večina manipulativnih dokazov zares utemeljijo, da je izjava zagotovo vedno resnična. Pri enaktivnem dokazu in utemeljitvi s sliko je približno polovica učencev pravilno sklepala, da zares utemeljita, da je izjava zagotovo vedno resnična. Po klasifikaciji po Tallu so učenci mnenja, da resničnost izjave najbolj pojasni manipulativni dokaz in najmanj pojasni enaktivni dokaz. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve resničnost izjave po mnenju učencev najbolj pojasni generični dokaz in najmanj pojasni utemeljitev z avtoriteto. Po klasifikaciji po Tallu je učencem najbolj razumljiv enaktivni dokaz, po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa utemeljitev z avtoriteto in utemeljitev s sliko.

Ta rezultat ni presenetljiv, saj je, kot navaja Bleiler (2009), pogost odgovor učencev pri preverjanju pravilnosti sklicevanje na avtoriteto in, kot navaja Magajna (2012), zna biti utemeljitev s sliko zelo prepričljiva. Po klasifikaciji po Tallu je učencem najmanj razumljiv manipulativni dokaz, po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa formalni dokaz. Dobljeni rezultati niso presenetljivi, saj manipulativni dokaz vsebuje algebraično manipulacijo in veliko simboličnih ponazoritev, ki so, kot navaja Magajna (2012), v večini primerov težje razumljive. Prav tako je tudi formalni dokaz težje razumljiv, saj

Ta rezultat ni presenetljiv, saj je, kot navaja Bleiler (2009), pogost odgovor učencev pri preverjanju pravilnosti sklicevanje na avtoriteto in, kot navaja Magajna (2012), zna biti utemeljitev s sliko zelo prepričljiva. Po klasifikaciji po Tallu je učencem najmanj razumljiv manipulativni dokaz, po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa formalni dokaz. Dobljeni rezultati niso presenetljivi, saj manipulativni dokaz vsebuje algebraično manipulacijo in veliko simboličnih ponazoritev, ki so, kot navaja Magajna (2012), v večini primerov težje razumljive. Prav tako je tudi formalni dokaz težje razumljiv, saj