Matematično konceptualno znanje

A. Žakelj (2003) konceptualno znanje opredeljuje kot razumevanje dejstev in pojmov, ki zajema oblikovanje in strukturiranje pojmov ter poznavanje relevantnih dejstev. Konceptualno znanje zajema: prepoznavanje (npr. kvadrata v ravnini) in razumevanje pojmov, predstave (npr.

40

plašč kvadra sestavljajo štirje pravokotniki), prepoznavanje terminov in simbolov (a, b, stranice), izreke in definicije (Pitagorov izrek…) ter razumevanje povezav (npr. množenje in deljenje) (Cotič in Žakelj, 2004).

Pri konstruiranju konceptualnega znanja učencu lahko pomaga učitelj, ki pravilno presodi, kdaj naj uvede nove pojme in koncepte v učni proces, pozna učenčev način konstruiranja lastnega znanja in se zaveda, da na vrstni red učenja in poučevanja pomembno vpliva struktura že obstoječega znanja (Cotič in Žakelj, 2004). Tudi M. Kavkler (2007) poudarja, da je uspešnost učenja pri matematiki močno odvisna od predznanja, zato morajo biti učiteljeve razlage in navodila razumljiva vsem otrokom, pri tem pa mora učitelj upoštevati tudi razvitost predpogojev za učenje nove snovi (za učenje aritmetičnih dejstev seštevanja mora najprej obvladati pojem seštevanja, povezati znak + s seštevanjem itd.). Podobno navajata Ohlsson in Rees (1991, v Geary, 2004), ki pravita, da ob slabem razumevanju pojmov, ki jih zajema nek obravnavan postopek, prihaja do razvojnih zaostankov pri usvajanju zahtevnejših postopkov, obenem pa je zmanjšana sposobnost odkrivanja napak.

M. Cotič in A. Žakelj (2004) navajata vzroke, ki lahko povzročajo težave pri usvajanju konceptnih predstav:

- verbalizem (učenje pojmov enačimo z učenjem besed ali z obnovo definicij),

- prezahtevnost posameznih pojmov glede na razvojno stopnjo (otrok na razvojni stopnji konkretnih operacij ne more v popolnosti obvladovati pojmov, ki so vezani na simbolno raven), - premajhna povezanost pojmov med seboj in zanemarjanje obravnave mrežnih povezav, odnosov med njimi (pri poučevanju moramo upoštevati dejstvo, da so pojmi v kognitivni strukturi razvrščeni v pojmovne mreže).

Razvoj matematičnega deklarativnega in konceptualnega znanja pri oblikovanju pojma števila

Različni avtorji (Starkey in Cooper, 1980; Strauss in Curtis, 1981; Berger, Tzur in Posner, 2006) navajajo, da dojenčki v prvih mesecih življenja zaznajo konstantnost objektov in zaznavajo razlike v njihovih količinah. Zmožnost hitrega uvida v število elementov pri otroku v predšolskem obdobju imenujemo subitizacija (angl. subitizing). Subitizacija predstavlja prepoznavanje števila elementov manjhnih, prostorsko urejenih skupin. Je del prirojenih številskih predstav in predstavlja osnovno sposobnost za učenje štetja (Sousa, 2008a, Bobis,

41

2008) ter temeljno spretnost v razvoju razumevanja števil in usvajanja osnovnih ariemtičnih dejstev (Baroody, 1987, v Clements, 1999). Sousa (2008a) navaja, da lahko pri otrocih s slabo razvito sposobnostjo uvida predvidevamo učne težave pri matematiki, zato je pomembno, da pri učencih pri pouku okrepimo sposobnosti uvida količin.

J. Bobis (2008) predstavlja razdeljevanje celote ali določenega števila elementov na manjše dele ter prepoznavanje dobljenih majših količin brez štetja dobro osnovo za razvijanje številskih predstav ter učenje številskih kombinacij vseh štirih osnovnih operacij z razumevanjem in ne le z mehanskih ponavljanjem.

Clements (1999) opisuje dva tipa subitizacije: perceptualnega in konceptualnega. Perceptualni predstavlja prepoznavanje števila brez uporabe drugih matematičnih procesov in je prisoten tudi pri majhnih otrocih. Med drugim otroku pomaga pri ločevanju zbirke objektov v posamezne enote in povezovanju vsake enote s samo enim poimenovanjem števila, s čimer se začne proces štetja. Konceptualen uvid pa posamezniku omogoča prepoznati količino s prepoznavo podobnega vzorca, kot je npr. razporeditev pik na kocki ali na domini. Drugi vzorci so lahko kinestetični, kot je npr. uporaba vzorca prstov pri reševanju nalog iz seštevanja ali ritmični, kjer za vsak preštevan element opravimo en gib. Clements (1999) ter Steffe in Cobb (1988, v Sousa, 2008a) poudarjajo, da ustvarjanje in uporaba konceptualnega uvida vzorcev pomaga otroku razviti razumevanje abstraktnih števil in aritmetičnih strategij, ki jih bo potreboval za uspešno štetje.

Otroci so zelo zgodaj izpostavljeni pomenu števil v vsakdanjem življenjskih dejavnostih, zato je pomembno, da formalno poučevanje matematike nadaljuje z razvojem kvantitete, povezav med in znotraj vseh štirih osnovnih operacij, kot tudi s prepoznavanjem in ustvarjanjem različnih reprezentacij števil, saj je to temelj nadaljnjega razvoja občutka za števila pri otroku.

Hkrati je to temeljna spretnost v otrokovem razvoju razumevanja števil in usvajanju osnovnih aritmetičnih dejstev (Baroody, 1987, v Clements, 1999).

Poleg hitrega uvida količin moramo pri otroku razvijati tudi predštevne dejavnosti in poznavanje imen za števila. Geary (1994) navaja, da se tri- do štiriletni otroci poznajo imena števil od 1 do 10 v pravilnem zaporedju, štiri- do petletni otroci pa si zapomnijo in pravilno uporabljajo pri štetju števila do 20 in celo do 30. Poleg tega ob rokovanju s predmeti rešujejo tudi preproste aritmetične naloge (Aubrey, 1995). M. Kavkler, S. Tancig, L. Magajna (2004) in V. Manfreda Kolar (2006) poudarjajo, da moramo otroku v prvih letih šolanja omogočiti razvoj

42

različnih vrst štetja in razumevanje principov štetja (povratno enolično prirejanje, urejenost naravnih števil, kardinalnost, abstrakcije in nepomembnost vrstnega reda štetja), da bo lahko uspešno usvajal znanja iz aritmetike.

Učenci z učnimi težavami pri aritmetiki imajo težave pri priklicu temeljnih aritmetičnih dejstev, ki je pomembna spretnost deklarativnega znanja in ga moramo razvijati s sistematičnim postopnim urjenjem preko učenja štetja, razdruževanja in ponavljanja številskih kombinacij (Fuchs, Powell, Seethaler, Fuchs, Hamlett idr., 2010). M. Kavkler (2007) poudarja, da veliko učencev z učnimi težavami pri matematiki med šolanjem ne usvoji abstraktnih matematičnih pojmov, zato pri računanju potrebujejo zunanjo oporo.

Pojem števila je za otroka prva izkušnja z aritmetiko, ki je zanj na zelo abstraktnem nivoju.

Mlajši otroci naštevajo imena števil brez prisotnosti dejanskih predmetov, pri tem pa ne razumejo njihovega pomena. Števila lahko naštevajo v pravilnem vrstnem redu, težave pa imajo pri pravilnem pripisovanju imen seriji predmetov. Ne dojemajo potrebe po vključevanju že naštetih predmetov v serijo. Pri verbalnem štetju mlajši otroci ne prepoznajo logične potrebe po ureditvi predmetov, zato preskakujejo ali podvajajo preštete predmete.

Markovac (1990) predlaga naslednje korake pri formalnem oblikovanju pojma naravnega števila:

1. spoznavanje množic ob praktičnih dejavnostih in grafičnih prikazih;

2. spoznavanje podmnožic ob rokovanju s predmeti ob opisovanju dejavnosti;

3. prirejanje predmetov in grafično prirejanje ob opisovanju dejavnosti;

4. oblikovanje pojmov naravnih števil do 10 (spoznavanje povezav med naravnimi števili in množicami, niza naravnih števil, odnosov med števili, operacij z naravnimi števili in nekaterimi značilnostmi računskih operacij s postopnim prehajanjem od konkretnih, preko grafičnih do simbolnih reptezentacij);

5. oblikovanje pojmov naravnih števil do 20 in do 100 (formiranje pojmov poteka po pirbližno enakih korakih kot v obsegu do 10, uporabimo pa nekoliko drugačna ponazorila).

43

Otrok mora usvojiti načela štetja, ki so (Ferbar, 1990):

• štetje predstavlja povratno enolični prirejanje (s štetjem elementom množice povratno enolično priredimo znamenja za naravna števila, pri tem ne smemo izpustiti nobenega elementa in nobenega elementa ne dmemo šteti več kot enkrat),

• naravna števila so urejena (imena števil naštevami vedno v enakem zaporedju),

• s štetjem enako močnim množicam priredimo isto število (število, ki ga imenujemo s štetjem kot zadnje, opredeljuje lastnost množice) in

• število ni odvisno od vrstnega reda preštevane množice.

Clemson in Clemson (1994) pojem število delita na dve funkciji. Prva funkcija so kardinalna ali glavna števila (števila 1, 2, 3…), ki nam povedo moč množice, druga funkcija pa so ordinalna ali vrstna števila (prvi, drugi, tretji…, ki govorijo o vrstnem redu dogodkov). Takšna delitev števil je že starejša, a še vedno zelo uporabna. Pomaga, da ločimo število »5« in »peti«, za kar obakrat uporabimo simbol »5«, enkrat nam ta pove moč množice, drugič pa nam poda opis vrste.

Mnogo otrok ima tudi pri šestih in sedmih letih še težave pri usklajevanju številčnih in perceptivnih informacij (Aubrey, 1994, v Kavkler, 1997). M. Kavkler (1991) poudarja, da moramo otrokom za lažje dojemanje števil omogočiti dovolj časa, da spoznajo predmete, jih med sabo razvrščajo, primerjajo in predvsem, da z različnimi dejavnostmi ter vajami sami dojamejo pojem števila.