i i List za mlade matematike, fizike, astronome in raˇ cunalnikarje

i i

“2-1-Petek-naslov” — 2009/3/26 — 13:48 — page 1 — #1

i i

i i

i i List za mlade matematike, fizike, astronome in raˇ cunalnikarje

ISSN 0351-6652 Letnik 2 (1974/1975) Številka 1

Strani 26–28

Peter Petek:

O PRAVOKOTNIH TRIKOTNIKIH IN O PRIBLIŽ- KIH ZA KOREN IZ DVA

Kljuˇ cne besede: matematika.

Elektronska verzija: http://www.presek.si/2/2-1-Petek.pdf

c

1973 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c

2009 DMFA – založništvo

Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali

posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-

ljeno.

OPRAVOKOTNIH TRIKOTNIKIH IN O PRIBLlŽKIH ZA KOREN IZ DVA

A B

Kako "popraviti" trikotnik, da bo postal pravokoten? Zamislimo si, da so v ogliščih trikotnika zabiti žebljički, stranice pa so vrvica, ki je napeta na te žebljičke. Izberimo najkrajšo strani- co. žebljiček-ogliščenasproti njej izrujemo in ga toliko časa

premikamo, da dobimo pravokoten trikotnik.

Primer: AB 4 cm BC 5 cm AC 6 cm Po premikanju je seveda BC'+AC'

=

BC+AC

=

11 cm.

Ce označimo z x dolžino katete BC', ostane za hipotenuzo AC'

(ll-x) cm. V pravokotnem trikot- niku velja Pitagorov izrek, zato

( 11-x )2 = x2 +4 2 121-22x+x2

=

x2+16 22x

=

105

x

=

105

--n

, 1 0 5 , 137 . 4 88

Torej je: BC

= --n'

^AC

=

ll-x

= --n

^{1n AB}

= 22'

Razmerje stranic tega trikotnika je torej 88:105:137. Mimogrede smo ugotovili, da je trikotnik s stranicami 88, 105, 137 pravo- koten. Vidimo, da lahko s "popravljanjem" trikotnika dobimo pra- vokoten trikotnik s celoštevilskimi stranicami. T~i cela števila a, b, c, ki so lahko dolž~ne stranic pravokotnega trikotnika (a2+b 2=c 2), imenujemo "pitagorejsko trojico". Tedaj je 88,105, 137 pitagorejska trojica:

Vsi vemo, da je v enakokrakem pravokotnem trikotniku skateto a hipotenuza a/2. Ce bi imeli enakokrak pravokoten trikotnik s celoštevilskimi stranicami a=b in c, bi brez težav lahko zapisali 12 z ulomkom: 12

=

~. To žal ni _mogoče. Toda recimo, da imamo pra- vokoten trikotnik, ki je skoraj enakokrak; to se pravi, da se ka- teti le malo razlikujeta. Dobili bomo _pač približek za 12. Oglej- mo si na primeru, kako dobimo vedno boljše približke. Ne pozabimo pri tem, da je na štiri ~e c i mal ke točno /2=1'4142 !

26

Za začetek vz e mi mo pol j u ben enakokrak trikotnik. Da bo stvar enostavnejša in števila manjša, začnimo kar z enakostraničnim trikotnikom s stranicami 1, 1, 1. Najprej izberimo najmanjšo stra- nico. No, ker so vse tri enak e, je vseeno, za katero se odločimo, njena dolžina je en a k a 1, vs o t a os t a l i h dveh je seveda 2. Premak - nemo nasprotni vr h in po Pitagori nastavimo enačbo

(2-x)2

=

x2+12 , ki jo hitro rešimo 4x

=

3

x

= 4

3

To je kateta, hipotenuza je 2-x

= 4

5

Izrazimo še prvotno kateto s

četrt inami 1 =~

in vidimo, da 4

so stranice novega trikotnika 1=41

v razmerju 3:4 :5. Odločimo se za podoben trikotnik (dva trikotni- ka sta podobna, če se ujemata v razmerju enakoležnih stranic), ki ima stranice štirikrat večje, torej natanko 3, 4, 5! Pravokotnemu trikotniku podoben trikotnik je sp e t pravokoten, pa še zelo znan je! Poznali so ga že stari Egipčani; ki so z njegovo pomočjo in z vrvjo v roki merili prave kote po plodnih tleh okrog Nila. Ampak mi bi radi dobili približek za

12.

No, števili 3 in 4 se ne raz- likujeta preveč in že imamo dva približka ~=1'6667 ⁱⁿ ~=1·2500.

Prvi približek je prevelik, drugi premajhen. Morda bi bilo bolje,

če

bi namesto 3 ali 4 vzeli sredino med obema ; . Naredimo to na trikotniku in že imamo spet enakokrak trikotnik ; , ; , 5 (slika);

ali pa raje pomnožimo stranice z 2, da dobimo cela števila 7,7,10.

x2 10

27

Toda,

g j o j

,

t r i k o t d k

n i

veF pravakotsn. BrS ga popxlavimo 1

2 2 (17-s)2 1 pr

+7

2 ~ 9 - 3 & l ~ + r ~

=

aP+49 54s

=

250

16 9

17-a

= ,

7

= T

119

I n p p r a v l j e n i

(in s

17 pumnofenil t r W t n i k je 119, 120, 169.

1 6 9

Sedaj

sta

p r i b l l 2 L a te -go

boljia.

m I * Q 2 0 2

kn

3 = 1 * 4 0 8 3 . m a dedmalka j l a Ee dobbra, druga pa ni hudo m b e .

Mdi douolj l

Ee

h a brelec veselje

in

potrpljenje z ~ E u n a n j e m bo 1-

sam nadaljeval

po f e t i pti

in iarabmal

&e baljHe p ~ i -

bliLke.Lahko

pa z&ne ² d m g h eilakakmki,m t r t r i k o t n i k o m

in

dobi

drmgaE;no aaporedje priblfZkov.

Peter Petek