List za mlade matematike, fizike, astronome in raˇ cunalnikarje

i i

“2-1-Vadnal-naslov” — 2009/3/26 — 13:35 — page 1 — #1

i i

i i

i i

List za mlade matematike, fizike, astronome in raˇ cunalnikarje

ISSN 0351-6652 Letnik 2 (1974/1975) Številka 1

Strani 16–19

Alojzij Vadnal:

ZAˇ CETNI POJMI NOMOGRAFIJE

Kljuˇ cne besede: matematika.

Elektronska verzija:

c

1974 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c

2009 DMFA – založništvo

Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali

posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-

ljeno.

ZAeETNI POJMI NOMOGRAFIJE

1. Uvod

Pri numeričnem računanjupo predpisanem obrazcu si marsikdaj radi pomagamo s kakimi grafičnimimetodami. Med posebno zanimive in praktično uporabne grafične metode računanja spadajo nomograf- ske metode, ki so v zadnjih sto letih prerasle v posebno panogo geometrije, ki se imenuje nomografija.

Beseda nomografija je grškega izvora in jo sestavljata besedi nomos

=

=

Od prvih začetkov nomografije je minilo že skoraj 200 let. Pr- vi nomogram je izdelal leta 1795 francoski matematik Pouchet (pu- še) in sicer mrežni nomogram za množenje dveh števil. Francoski inženir Lalanne (lalan) je skonstruiral leta 1843 Logaritemsko skaLo, ki je osnova logaritemskemu računalu, in Logaritemsko mre- žo, ki jo dandanes lahko kupimo pod imenom Logaritemski papir.

Za razvoj nomografije so med drugim še pomembni Cauchy (koš!), Mobius, Massau (maso) in zlasti d'Ocagne (dokanj), ki te objavil v letih 1884-1931 nad 80 publikacij s področja nomografije, in ki ga mnogi štejejo za znanstvenega utemeljitelja nomografije. Ime nomografija je bilo za to panogo geometrije sprejeto leta 1890 na mednarodnem matematičnemkongresu v Parizu. Dandanes je nomograf- ska metoda računanja splošno razširjena in se uporablja zlasti v tehniki. Bistvo nomografije bomo v naslednjem prikazali z nomogra- mom za procent ni račun.

2. Lestvasti nomogram za procent ni račun

Pri procentnem računu nastopajo tri količine in sicer:

a osnovna vrednost, p procentna mera (%) in o procentni delež.

Pri procentnem računu velja obrazec o

=

.

ličini znani, lahko izračunamo po tem obrazcu tretjo. Za grafično računanje po tem obrazcu uporabljamo nomogram na sliki 1. Tu nas

16

PROCENTNI RAČUN Obrazec: a·p

0 = 100

100 100 a: osnovna vrednost ¹⁰⁰

90 90

80 p: procentna mera 80

70 50

procentni delež ⁷⁰ o:

60 40

60 30

20

10

1 1

5

1

20 4 20

3

<\1

Q 2 ~

....<IJ

Q 'N <\1

:: Ql 1-

'ti_Ql Qj ^Ql

s

1- 'ti

:>

.~ <\1

<II ::

:: .... _0,5

::

i:

:> _Ql

0,4 ^Ql

Q U U

:: Q Q

<IJ _1- 0,3 1-

O Q, Q,

0,2

Shema uporabe 0,1

Primer Dano: a=20 a

0,05 0=16

2 0,04 Rezultat: p=80 ²

0,03 0,02

0,01 1

s1.1 Lestvasti nomo gra~ za pro c e n t n i _račun

ne zanima, kako je ta nomogram konstruiran, ampak nas zanima samo, kako ga lahko uporabimo. Nomoeram sestavljajo t ri vzporedne dalj i- ce, ki so nosilke ustreznih lo g a ri t e ms k i h skal . Razdelišča na le- vi skali po naz a r ja j o vred nos t i osnov ne količ ine a, razdel išča na srednji skali ponaz a r ja jo vrednost i procentnega dele ža o in razde -

lišča na desni skal i ponazarja jo vrednost i procentnega deleža p.

Bi s t v e n a lastnost tega no mog r ama je, da ležijo po tri razdeli-

šč a, ki ponazarjajo vrednosti ko l i čin a, o in p, na isti premici,

če le ustrez a jo te vrednosti obrazcu za procentni _račun. Zar adi te lastnosti la h k o določimo s pomočjo nomogr ama preprosto s pola- ganjem pro zorneg a ravn i la vred nost tret j e kol iči ne , če poznamo vrednost prvih dveh količin.

Reš i mo s tem nomogramom nekaj nalog.

l. naloga: Računanje procen"nega deleža o. Koliko je 5% od 60? Tu je a=6 0, p=5 in iz rač unat i ~oramo o. Ravnilo položimo tako, da gre njegov rob skozi ra zdelišče 60 leve ska - le in skozi razdelišče 5 desne sk a l e ; rob ravn ila se k a srednjo skalo v razdelišču 3. 5% od 60 je torej 3.

2. naloga: Ra č u n a n je procent ne mere p. Od 20 učencev je izdel alo razre d 16 učencev. Koliko procentov učencev je izde la - lo? Tu je a=2 0, 0=16 in izračunati je treba p. Ra v n ilo polož imo tako , da gre njego v rob sk o zi ra zd e l i š č e 20 na le v i skali in skozi razdel išče 16 na sre dn j i skali; rob ravnila seka desno skalo v razd elišču 80. Izde la lo je torej 80% _učencev.

J. naloga: Računanje osnovne vre dnosti a. Delavec , ki je izdelal 19 koso v, je do s e g el 95% pre d pisane norme. Ko l ikš n a je nje gova norma ? Tu je 0=19 , p=95 in izračunati je treba a. Ravnilo položimo tako, da gre nj e g o v rob skozi raz-

delišče 19 srednje skale in skozi razdelišče 95 desne skale; pri tem seka rob ravnila levo skalo v razdel i -

šču 20. De l a v č e v a norma znaša torej 20 ko s o v .

Presodi, zak a j ne dobi š z nomogr a f sko met odo natančni h ampak samo zao krož e n e re zu ltate .

Vzem i to le nalogo: Kol iko je 6, 5% od 82,45 din? Reši nalogo najpr ej aritme t ič no; pr i tem dobiš nat anč en rez ultat. Reši nalo- go še z no mogramom na sl.l. Al i imaš pri reševanju kake težave pri polaganju roba ra vni l a skozi rezdelišča skal? Ka k š en rezultat

18

dob$&? R.,fieeaaj %%ntarjeni maultat z %e

img.Qmank.

M i

m g r - n a

ki

mate@atiE:nem

na-

rbsaaim - - m P