II. TEORETIČNI DEL
2. GEOMETRIJSKE VSEBINE V 1. TRILETJU
Geometrija je ena izmed pomembnejših ali celo najpomembnejša tema pri pouku matematike.
Poleg matematike je pomembna tudi za fiziko, kemijo, biologijo, geografijo, likovno umetnost, arhitekturo (Clements in Sarama, 2010).
Geometrija vsebuje veliko abstraktnih pojmov, ki si jih nekateri učenci težko predstavljajo. Pri obravnavi geometrijskih vsebin učitelji posegajo po različnem didaktičnem materialu in drugih pripomočkih. Matematična slikanica na temo geometrije oz. geometrijskih likov predstavlja nov, nekoliko drugačen način obravnave nove učne teme ali utrjevanje le-te.
2. 1. Učni cilji geometrijskih vsebin v učnem načrtu
Učna vsebina geometrijski liki spadajo po učnem načrtu za matematiko, v tematski sklop geometrija in merjenje, za katerega je v prvem vzgojno-izobraževalnem obdobju predvidenih 58 ur. Tema zajema štiri sklope: orientacija, geometrijske oblike in uporaba geometrijskega orodja, transformacije ter merjenje. Geometrijski liki spadajo v sklop geometrijske oblike in uporaba geometrijskega orodja.
Vsebine, ki jih učenci v prvem razredu usvojijo so telesa, liki in črte. Od učencev v 1. razredu se pričakuje, da:
− prepoznajo, poimenujejo in opišejo osnovne geometrijske oblike v življenjskih situacijah (predmeti) in matematičnih okoliščinah (modeli);
− izdelajo model teles in likov ter jih opišejo;
− rišejo prostoročno črte in like;
− uporabljajo geometrijsko orodje (šablono) pri risanju ravnih črt in likov (Žakelj idr., 2011, str. 10).
V 2. razredu so k vsebinam dodane točke. Cilji se nadgradijo. Učenci:
− prepoznajo, opišejo in poimenujejo geometrijska telesa in geometrijske like;
− prepoznajo in rišejo različne črte (ravne, krive, sklenjene, nesklenjene, lomljene);
− narišejo in označijo točko z veliko tiskano črko;
− označijo presečišče črt;
− uporabljajo geometrijsko orodje (šablono) pri risanju črt in likov (Žakelj idr., 2011, str.
10).
V 3. razredu spoznajo še pojem skladnost likov in razdalja med dvema točkama. Cilji so bolj obsežni:
− pri opisu lastnosti geometrijskih teles uporabljajo matematične izraze (ploskev, rob, oglišče);
− pri opisu lastnosti likov uporabljajo matematične izraze (stranica, oglišče);
− narišejo večkotnik in ga pravilno poimenujejo glede na število stranic;
13
− seznanjajo se s pojmom skladnost ob življenjskih primerih in v matematičnih okoliščinah;
− prepoznajo in narišejo skladen lik;
− narišejo črte med dvema točkama in spoznajo pojem najkrajša razdalja med dvema točkama (Žakelj idr., 2011, str. 10).
Če povzamemo, učenci v prvem vzgojno-izobraževalnem obdobju pri geometriji dosežejo naslednje učne cilje:
Učenec:
− opredeli položaj predmeta najprej v prostoru in po tem na ravnini. Sledi navodilom in se premika po prostoru oz. ravnini,
− razvija orientacijo v mrežah, labirintih, poteh,
− spozna telesa, like, črte, točke (geometrijske elemente),
− iz plastelina/gline izdela modele geometrijskih teles, iz kartona/papirja izdela modele geometrijskih likov,
− prepozna, poimenuje in opiše osnovna geometrijska telesa in like,
− nariše različne črte (krive, ravne, sklenjene, nesklenjene, lomljene),
− riše geometrijske like s prosto roko in s šablono,
− nariše večkotnik, mu označi oglišča, stranice ter pravilno poimenuje narisan geometrijski lik,
− prepozna in nariše skladen lik,
− prepozna simetrijo pri vsakdanjih predmetih v okolici in nariše simetrična lika s pomočjo mreže (Žakelj idr., 2011).
Geometrijske vsebine postajajo iz razreda v razred vse bolj abstraktne, zato smo se v tem poglavju osredotočili le na učne cilje v 1. triletju, v katerem je tudi najbolj uporabna matematična slikanica kot didaktični pripomoček pri pouku matematike.
2. 2. Didaktična priporočila
Didaktična priporočila za prvo triletje v učnem načrtu so, da naj se pouk geometrije začne z opazovanjem konkretnih predmetov. Učenci naj razvijajo sposobnost orientacije v prostoru.
Didaktične igre, za razvoj predstav, so glavna metoda dela pri obravnavi geometrijskih vsebin.
Pojmov ni treba najprej poimenovati, ker jih lahko vpeljemo že prej. Dejavnosti morajo biti pri obravnavi geometrijskih pojmov čim bolj različne. Učenci naj ugotavljajo podobnosti in razlike teles in likov s predmeti iz okolice, jih opisujejo, med njimi iščejo podobnosti in razlike, premikajo telesa iz različnih perspektiv, jih prepoznavajo v različnih položajih v ravnini oz.
prostoru, opisujejo različne odnose (Žakelj idr., 2011, str. 12).
Začetni pouk matematike izhaja predvsem iz izkušenj učencev, rokovanja s konkretnimi predmeti, potem pa postopno prehaja v vse bolj formalno in abstraktno učenje in poučevanje.
Učence dodatno motivirajo konkretna ponazorila, različni izzivi, didaktični pripomočki, problemske naloge, tehnologija ipd. (Žakelj idr., 2011).
14
V učnem načrtu je zapisano, da morajo učenci spoznavati matematiko preko treh različnih reprezentacij. Najprej prek izkustvenega materiala ter govora, ki osmisli izkušnjo s konkretnim materialom, v naslednjem koraku prek slik, prikazov, grafov in na koncu na abstraktni ravni (Žakelj idr., 2011).
2. 3. Formiranje geometrijskih pojmov
Markovac (1990) pravi, da je glavni cilj začetnega pouka geometrije pri učencih izgraditi znanje o oblikah in odnosih v prostoru ter formirati osnovne geometrijske pojme. Formiranje temelji na realnosti in na aktivnostih učenca samega. Izhodišče pri spoznavanju geometrijskih pojmov so dejavnosti, ki so povezane s predmeti iz vsakdanjega življenja. Te dejavnosti so opazovanje, modeliranje, risanje, premikanje, dotikanje, upogibanje ipd. Aktivnosti so osnova za abstrahiranje in generalizacijo, poleg tega pa imajo izobraževalno vrednost. Vsakdanji predmeti in stvari pa so podpora mišljenju pri spoznavanju pojmov. Ena izmed pomembnejših nalog začetnega pouka geometrije je razviti sposobnost opazovanja, s katerim učenci pridobijo zaznavno raven, ter vnaprej pripravljen material za miselno izdelavo geometrijskega koncepta.
Miselni tok se spodbuja z opazovanjem in hkratnim odkrivanjem, primerjanjem oblik, iskanjem podobnosti in razlik ipd. Predznanje, s katerim učenci vstopijo v šolo, je nepopolno in netočno (Markovac, 1990), zato je pomembno, da pred samim učenjem to predznanje ugotovimo, in ga po potrebi preoblikujemo (Cotič, Hodnik, Manfreda in Mutič, 1996).
Ko pri učenju uporabljamo različne predmete iz učilnice, jih moramo poimenovati in določiti njihovo funkcijo. Pri učenju moramo uporabiti predmete različnih oblik iz vsakdanjega življenja, ki jih prinesemo v razred: pločevinka, škatle, zaboji, cevi, posode, žoga ipd. Učenci spoznajo, da isti predmet lahko predstavlja različne stvari: npr. kvader lahko predstavlja stolp, hišo ali pa tovornjak, valj lahko uporabimo za kolo ali pa dimnik (Liebeck, 1995). Poleg vizualne izkušnje je pomembno, da se učenci predmetov dotikajo, jih otipajo in jih tako še bolje spoznajo določeno obliko in se je zavedajo določene oblike (Markovac, 1990; Liebeck, 1995).
S spoznavanjem in dotikanjem predmetov lahko uvedemo različne izraze, ki jih uporabljamo pri geometriji: okroglo, ravno, robovi, ukrivljeno, vrh ipd. (Liebeck, 1995). Demonstriramo, da se predmeti okrogle oblike zlahka valjajo po podlagi, medtem ko se predmeti oglate oblike ne.
Učenci bodo po taki demonstraciji to počeli tudi sami, v svojem prostem času in se tako nevede učili (Markovac, 1990). Težava se pojavi pri pomnjenju imena določene oblike.
Avtorice v priročniku Prvo srečanje z geometrijo (1996) podrobno predstavijo pristop obravnave geometrijskih vsebin ˝Od telesa k točki˝ oz. iz tridimenzionalnega k dvodimenzionalnemu. Učenci si morajo oblike vizualizirati, zato je pomembno, da učenje izhaja iz konkretnih predmetov (Mešinović idr., 2019). Princip ˝od telesa k točki˝ temelji na treh korakih. Najprej se obravnava prostorska geometrija. Pod to točko uvrščamo geometrijska telesa, nekaj konkretnega, kar lahko učenci primejo v roke. Naslednjo obravnavamo ravninsko geometrijo (geometrijski liki, omejen del ravnine). Nazadnje pa obravnavamo neskončne črte in točke, ker si učenci to najtežje predstavljajo. Prehodi med temi stopnjami so naravni. Primer prehoda iz prostorske na ravninsko geometrijo je odtiskovanje ploskev teles, polaganje modelov teles v pesek, odtis robov ipd. Geometrijske vsebine se ne usvajajo preko
15
matematičnih definicij, ampak preko izkustva. Uporablja se konkreten material, predmete, ki so učencem blizu (Cotič, Hodnik, Manfreda in Mutič, 1996).
Učenje s primeri poteka vse do nekje 11./12. leta, ko so učenci že zmožni formalno-logično razmišljati. Pri učenju geometrije je pomemben induktivni in deduktivni pristop k učenju, in ta dva načina moramo znati ustrezno dopolnjevati (Cotič idr. 1996).
Pred samim poučevanjem pojmov moramo po mnenju konstruktivistov ugotoviti, kakšno je predznanje učencev in ideje o določenem pojmu. Induktivni pristop je poučevanje pojmov s primeri. Primeri morajo biti dovolj nazorni, poleg tega pa morajo biti učenci deležni celovitega doživljanja s čim več čutili. Stvari, ki jih ne moremo prikazati v naravi, v učilnici ponazorimo z modeli, slikami, skicami ali s pomočjo računalniške simulacije. Deduktivni pristop pa je poučevanje pojmov prek definicij. Ta pristop lahko uporabljamo nekje po 12. letu, ko so učenci zmožni formalno logičnega mišljenja. Problem pri tej vrsti poučevanja je, da se učenci velikokrat naučijo samo definicije brez razumevanja. Pojmi se razvijejo postopoma in daljši čas, zato je učiteljeva naloga, da učencem pomaga povezovati pojme v sisteme in povezovanje določenega pojma z različnimi predmetnimi področji (Marentič Požarnik, 2000).
2. 4. Dejavnosti za učenje o geometrijskih likih
V prvem razredu učenci spoznajo štiri osnovne like: krog (lik, omejen s krivo črto, krožnico), kvadrat (štirikotnik, ki ima vse 4 stranice enako dolge, med dvema sosednjima stranicama je pravi kot), pravokotnik (štirikotnik, pri katerem sta enako dolgi nasprotni stranici; med dvema sosednjima stranicama je pravi kot) in trikotnik (3 stranice, spoznajo enakostraničnega).
Kvadrat, pravokotnik in trikotnik spadajo v družino večkotnikov (Čotič idr., 1996).
Pred obravnavo geometrijskih likov je treba spoznati geometrijska telesa in preko njih priti do likov. Pri obravnavi geometrijskih teles je pomembno, da za primere izberemo primerne predmete, ki so z vseh strani omejeni. Dobri primeri teles so žoga, škatla, omara, knjiga, konzerva ipd. Neprimerni predmeti pa so kovanci, stikalo za luč, pokrovček plastenke, ker so votli ali pa premajhni, da bi si učenci lahko predstavljali. Predmeti, ki jih uporabljamo za primer, morajo biti trdni, zato moramo izločiti tudi tiste, ki so narejeni iz pene ali gume. Učenci rokujejo z različnimi geometrijskimi telesi in pri tem ugotovijo, da se nekatera lepo kotalijo (žoga, frnikola, konzerva, kornet), druga pa ne, ker so omejena samo z ravnimi ploskvami (škatla, knjiga). Telesa, ki se kotalijo, imenujemo okrogla telesa. V to skupino uvrščamo kroglo, valj in stožec. Telesa, ki pa se ne kotalijo, imenujemo oglata telesa. V to skupino uvrščamo kocko, kvader in piramido. Učenci morajo telesa spoznati preko različnih aktivnosti, pri katerih rokujejo z njimi, ker jih le tako zares spoznajo in med njimi razlikujejo. Enostavneje si zapomnijo telesa, katerih imena se ujemajo s stvarmi iz vsakdanjega življenja (kocka in krogla), medtem ko si nekatere druge težje. Po zelo natančnem opazovanju teles preidemo iz tridimenzionalnega na dvodimenzionalno geometrijo in to so liki. Telesa uporabimo za odtiskovanje ploskev na papir ali v pesek. Ob tem učenci spoznajo, da je lik omejen del ravnine (Cotič idr., 1996).
16
Geometrijske like povežemo z geometrijskimi telesi. Geometrijski liki se lahko sestavijo v geometrijsko telo. Ravna ploskev geometrijskega telesa je geometrijski lik, kar lahko preverimo z odtiskovanjem. S pomočjo likov opisujemo geometrijska telesa, učenci pa ugotavljajo, za katero telo gre. Pri tem uporabljamo tudi izraza ukrivljena in ravna ploskev. Te dejavnosti je treba pri obravnavi geometrijskih teles in likov vaditi in kasneje ponavljati. Geometrijska telesa in like lahko utrjujemo tudi preko igre, ko učencu prevežemo oči, dobi geometrijsko telo, njegova naloga pa je, da telo, ki ga pretipa, opiše. Ostali učenci ugotavljajo, za katero telo gre (Liebeck, 1995).
Za učenje likov lahko uporabimo komplet likov različnih velikosti. Učenci se med seboj pogovarjajo, sestavljajo različne stvari in iščejo skladne like. Težave se lahko pojavijo pri prepoznavanju določene oblike v različnih legah; npr. kvadrat vidijo le, ko je ta v vodoravni legi, če ga obrnemo drugače, lika ne prepoznajo več (slika 3). Za učenje je pomembno, da učenci lik držijo v roki in ga obračajo (Liebeck, 1995).
Slika 3: Rokovanje z liki in sestavljanje različnih oblik (Liebeck, 1995, str. 52)
Zlaganje različnih slik ali tangramov s pomočjo likov pa pomaga učencem odkriti njihove značilnosti. Malo težja igra je, ko učenec izbere velik lik in mora s pomočjo manjših le-tega sestaviti. S pomočjo kompleta lahko iščejo med seboj skladne like, jih urejajo od največjega do najmanjšega ipd. Spoznajo, da sta pravokotnik in kvadrat štirikotnika (Liebeck, 1995).
2. 5. Geometrijsko mišljenje
Geometrijsko mišljenje je povezano s prostorskimi predstavami, ki so nujne za vizualiziranje, načrtovanje in sestavljanje oblik. Najbolj znane so 3 teorije razvoja geometrijskega mišljenja, predstav: Piaget in Inhelder (1967), van Hiele (1959) in kognitivni psihologi. Osnovna oz.
temeljna teorija izobraževanja o geometriji pa je van Hielova (Mešinović idr., 2019).
Zakonca Van Hiele sta razvila teorijo o razvoju geometrijskega mišljenja in konceptov. V svoji teoriji sta ugotovila tudi razlog za težave pri razumevanju geometrijskih vsebin in kako lahko le-to razrešimo (Mešinović idr., 2019). Geometrijsko mišljenje je v njunem modelu sestavljeno iz 5 stopenj.
17
Slika 4: Van Hielova teorija geometrijskega mišljenja (Mešinović idr., 2019, str. 68).
Oblike, množice oblik, lastnosti oblik, odnosi med lastnostmi, deduktivni sistemi lastnosti in analize deduktivnih sistemov so predmeti mišljenja na vsaki stopnji in glavna ideja, o kateri razmišljamo na določeni stopnji (slika 4). Razvoj poteka skozi stopnje, ki si sledijo hierarhično, v točno določenem zaporedju (Lipovec, 2013; Mešinović idr., 2019).
Stopnja 0 ali stopnja vizualizacije
Predmet mišljenja so oblike na podlagi izgleda. Ni prisotno še razumevanje oblik na podlagi lastnosti. Pri prepoznavanju oblik se uporablja primerjanje s predmeti, npr. to je pravokotnik, ker je podoben vratom. Na tej stopnji učenci ne prepoznajo obrnjenega kvadrata, katerega stranica ni vzporedna z robom lista. Spoznavati morajo različne oblike, jih opazovati, sestavljati, razstavljati, razvrščati glede na lastnosti ipd. Rezultat mišljenja so množice oblik (Mešinović idr. 2019).
Stopnja 1 ali stopnja analize
Predmet razmišljanja niso več oblike, ampak množici oblik. Učenci se usmerijo na lastnosti geometrijskih oblik in jih, glede na izbrano lastnost, razvrstijo v množice. Da pridejo do lastnosti, morajo oblike opazovati, risati, meriti ipd. Določeno lastnost določijo vsem oblikam v množici. Učenci na tej stopnji še ne vidijo določenih povezav med oblikami; npr. kvadrat in pravokotnik sta na tej stopnji še čisto različna lika, ne najdejo še povezave, da je kvadrat poseben primer pravokotnika. Rezultat mišljenja na tej stopnji so lastnosti oblik (Mešinović idr.
2019).
Stopnja 2 ali stopnja neformalne dedukcije
Lastnosti oblik so predmet mišljenja. Pojavi se zmožnost učencev razmišljanja o lastnostih oblik in prepoznati odnose med njimi npr. geometrijski lik, ki ima vse štiri kote prave, je pravokotnik, torej je kvadrat tudi pravokotnik). Rezultat mišljenja na tej stopnji, ki vodi v naslednjo, so odnosi med lastnostmi geometrijskih oblik (Mešinović idr. 2019). Logične
18
povezave se vzpostavijo s kombiniranjem praktičnega eksperimentiranja in sklepanja (Dickson, Brown in Gibson, 1991).
Stopnja 3 ali dedukcija
Odnosi med lastnostmi geometrijskih oblik so predmet mišljenja. Učenci poleg razmišljanja o lastnosti razmišljajo še o dokazih, povezanih z lastnostmi. Na tej stopnji pride tudi do razumevanja in interpretacije definicij in aksiomov. To je že stopnja visokošolske geometrije.
Rezultat mišljenja so deduktivni aksiomski sistemi geometrije (Mešinović idr. 2019).
Stopnja 4 ali stroga matematična stopnja
Predmet mišljenja so deduktivni aksiomski sistemi za geometrijo. To je najvišja stopnja geometrijskega mišljenja, v kateri učenci razumejo razlike in odnose med aksiomskimi sistemi.
Gre za univerzitetni nivo študija matematike, ki ga razume le nekaj študentov. Rezultat mišljenja so primerjave različnih aksiomskih sistemov (prav tam).
Te stopnje in njihov razvoj ni pogojen z načinom poučevanja, ampak gre za nek naraven proces.
Stopnje niso odvisne od starosti, ampak od števila geometrijskih izkušenj. V povprečju pa učenci na razredni stopnji prehajajo iz stopnje 0 na stopnjo 1 (Lipovec, 2013). Poučevanje na višji stopnji v primerjavi s stopnjo učencev ne omogoča njihovega napredovanja, ker tega niso zmožni.
Pouk, ki omogoča prehod na višjo raven geometrijskega mišljenja in popolno razumevanje, poteka v petih fazah, ki so lahko v poljubnem zaporedju (Fuys, Geddes in Tischler, 1988;
Usiskin, 1982, v Mešinović idr., 2019). Faze so:
− preverjanje in seznanjanje (seznanitev z novo temo in ugotavljanje predznanja),
− vodena organizacija (ustrezni didaktični material, s katerim učenec raziskuje novo temo),
− razlaga (učenci si izmenjajo izkušnje, mnenja, učitelj jih le usmerja in pomaga pri terminologiji),
− prosta orientacija (učenci rešujejo zahtevnejše geometrijske probleme),
− integracija (povzetek novega znanja in vpogled).
Pojavljajo se tudi kritike van Hielove teorije, ker se ob vsem tem postavlja vprašanje, ali je lahko znanje določenega učenca le na eni stopnji, ali je lahko učenec pri določenih geometrijskih vsebinah na eni, pri drugih vsebina pa na drugi stopnji (Mešinović idr., 2019).
Bistvene lastnosti van Hielove teorije, ki jih navajajo Mešinović idr. (2019, str. 73), so:
− stopnje si sledijo v točno določenem zaporedju;
− vsaka stopnja ima svoj jezik in svoje simbole;
− rezultat mišljenja na neki stopnji postane predmet mišljenja na naslednji;
− napredovanje na višjo raven je odvisna predvsem od metod poučevanja in ne toliko od starosti in zrelosti;
− učenec mora skozi različne faze učenja, da bo napredoval z neke stopnje na naslednjo.
19
Piaget in Inhelder (1967, v Mešinović idr., 2019) sta v svoji knjigi opisala razvoj geometrijskega zaznavanja otrok. Piaget je sestavil različne naloge in na podlagi tega, kako so otroci reševali te naloge, je predvidel razvoj geometrijskih predstav:
1. topološke relacije (sklenjenost);
2. projektivne relacije (povezave, odnosi med oblikami in predmeti);
3. evklidske relacije (relacije med oblikami).
Otroci najprej razvijejo in oblikujejo predstave o topoloških relacijah, nato projektivne in na koncu še evklidske relacije.
Dickson, Brown in Gibson (1991) opišejo topološke relacije, kot neodvisne od oblike in velikosti. Kako se te lastnosti kažejo v risanju otrok (Slika 5): bližina (npr. risanje oči skupaj);
ločenost (npr. glava in telo sta ločena, se ne prekrivata); urejenost (npr. nos je nad usti in med očmi); sklenjenost (npr. usta so znotraj glave, obraza) in neprekinjenost (npr. roke so narisane iz telesa).
Slika 5: Risba otroka na stopnji topoloških relacij, starost 4 leta in 4 mesece (Dickson, Brown in Gibson, 1991, str. 14)
Na stopnji projektivnih lastnosti je otrok sposoben predvideti, izgled istega predmeta iz različnih zornih kotov. Primer risbe, na kateri je moški narisan iz profila. Otrok nariše cel obraz, z dvema očesoma, ne samo z enim, kot ga vidimo iz profila (slika 6) (Dickson idr., 1991).
20
Slika 6: Risba otroka na stopnji projektivnih relacij, starost 7 let (Dickson, Brown in Gibson, 1991) Evklidske lastnosti so tiste, ki vključujejo razdaljo, velikost in usmerjenost. Vse to pa vodi do merjenja dolžin, kotov, površin, prostornin itd. Med različnimi oblikami, liki razlikuje po različni dolžini stranic, velikosti kotov (Dickson, Brown in Gibson, 1991).
Po Piagetevi teoriji otroci najprej razlikujejo oblike na podlagi topoloških lastnosti, potem na podlagi projektivnih in na koncu na podlagi evklidskih lastnosti (Dickson, Brown in Gibson, 1991).
Teorija Piageta in Inhelderjeve je bila tarča številnih kritik in omenili bomo nekatere med njimi.
Očitalo se jima je, da je teorija preveč pozornosti dajala na razlikovanje med zaznavanjem in predstavljanjem, ki jih Piaget zelo razlikuje, čeprav gre za zelo povezana procesa (Lesh in Mierkiewicz, 1978, v Mešinović idr., 2019), dvomljiva je tudi raba izrazov, ki niso matematično čisto pravilni: topološki, evklidski, bližina, razlikovanje (Clements in Battista, 1992, v Mešinović idr., 2019), Dickson, Brown in Gibson (1991) pa so poudarili še, da se v teoriji ne prakticira matematičnih definicij, ki veljajo za določene topološke, projektivne in evklidske lastnosti.