UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
POUČEVANJE, POUČEVANJE NA RAZREDNI STOPNJI
TJAŠA IVANČIČ
MATEMATIČNA SLIKANICA O
GEOMETRIJSKIH LIKIH KOT DIDAKTIČNI PRIPOMOČEK V 1. RAZREDU
Magistrsko delo
Ljubljana, 2020
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
POUČEVANJE, POUČEVANJE NA RAZREDNI STOPNJI
TJAŠA IVANČIČ
MATEMATIČNA SLIKANICA O
GEOMETRIJSKIH LIKIH KOT DIDAKTIČNI PRIPOMOČEK V 1. RAZREDU
Magistrsko delo
Mentorica: izr. prof. dr. Vida Manfreda Kolar Somentorica: viš. pred. dr. Uršula Podobnik
Ljubljana, 2020
Naša pot ne vodi po mehki travi. To je gorska steza s številnimi skalami. Vendar pa vodi navzgor, naprej, proti soncu. (Ruth Westheimer)
ZAHVALA
Zahvaljujem se …
Mentorici izr. prof. dr. Vidi Manfreda Kolar in somentorici viš. pred. dr. Uršuli Podobnik za mentorstvo, strokovno pomoč, nasvete in hitro odzivnost.
Učiteljicam, ki so bile pripravljene sodelovati v raziskavi.
Prijateljicam za vso podporo, pomoč in lepe spomine na študentska leta.
Fantu za ljubezen, podporo in razumevanje.
Staršem in sestri, ki so me podpirali v času študija, mi stali ob strani in verjeli vame.
Iskrena hvala vsem, ki verjamete vame!
POVZETEK
Slikanice so zelo pomembne pri vzgoji in izobraževanju otrok. Ob njih se lahko preselijo v svet iluzij in domišljije, ob tem pa se tudi učijo. Poučne slikanice lahko uporabljamo pri skoraj vseh učnih predmetih, ne samo pri slovenskem jeziku. Pri slikanicah sta pomembni tako besedilo kot tudi ilustracija, predvsem pa njuno povezovanje in dopolnjevanje. Pri učencih v 1. razredu je glavna ilustracija, besedilo pa jo le dopolnjuje. Pri pouku matematike lahko uporabimo veliko didaktičnih pripomočkov in eden izmed njih je tudi matematična slikanica. Ob njeni uporabi se pri pouku matematike odpre veliko možnosti za medpredmetno povezovanje, popestritev pouka in motiviranje učence za delo. Poleg tega pa učenci razvijajo tudi pozitiven odnos do predmeta.
V magistrskem delu smo zajeli načela pouka matematike, reprezentacije, motivacijo in medpredmetno povezovanje pri pouku matematike. Osredinili smo se na sklop geometrija in merjenje, za katerega smo se odločili zaradi abstraktnih in posledično težje razumljivih učnih vsebin, pojmov. Poznamo več vrst didaktičnih pripomočkov, ki jih uporabljamo pri pouku matematike, med katere uvrščamo tudi matematično slikanico. V teoretičnem delu smo opisali slikanice na splošno, njihovo definicijo, delitev, fizične lastnosti, ilustracijo ter interakcijo med besedilom in ilustracijo, ki je njihova značilnost. Posebno pozornost pa smo namenili tudi matematičnim slikanicam, predstavili nekatere izmed njih o geometrijskih likih ter povzeli projekt MASLIK ter druge raziskave. Geometrijske like smo pregledali tudi iz perspektive likovne umetnosti.
Empirični del je sestavljen iz treh delov. Najprej smo v 1. razredu izvedli 4 ure matematike na temo geometrijskih likov. Sledili sta uri likovne umetnosti, v katerih so učenci ilustrirali zgodbo Pošastko Ludvik v Likariji. Ob združitvi besedila in ilustracij učencev je nastala matematična slikanica, ki so jo izbrani učitelji uporabili kot didaktični pripomoček pri pouku matematike.
Učne ure smo opazovali in si opažanja beležili. Zanimalo nas je, v katerem delu učne ure so uporabili matematično slikanico, na kakšen način so le-to vključili v pouk, katere dejavnosti so izvedli v uri ter kako so se na slikanico odzivali učenci. Ob koncu ure smo od učiteljev izvedeli še, kako so se lotili načrtovanja ter kakšno stališče imajo do matematične slikanice kot didaktičnega pripomočka.
Učitelji so matematično slikanico večinoma uporabili pri pouku matematike ali pri povezovanju matematike z likovno umetnostjo ali slovenskim jezikom. Slikanica je na učence vplivala pozitivno, motivacijsko. Zanimivo je, da niti eden od učiteljev, ki so sodelovali v raziskavi, še ni uporabil slikanice za pomoč pri poučevanju matematičnih pojmov, vendar bi jo v prihodnosti uporabil še kdaj. Raziskava na področju matematične slikanice je pomembna za razvijanje novih pristopov pri poučevanju matematike, ter za spodbudo učno nemotiviranih učencev, na njim prijazen, igriv način.
Rezultati raziskave nudijo ideje o različnih načinih uporabe matematične slikanice pri pouku, poleg tega pa spodbudijo učitelje, da večkrat uporabijo matematične slikanice kot didaktični pripomoček pri razvijanju matematičnih pojmov, za popestritev ur ter krepitev pozitivnega odnosa učencev do predmeta matematike.
Ključne besede: matematična slikanica, ilustracija, 1. razred, geometrijski liki, motivacija, medpredmetno povezovanje
ABSTRACT
Picture books are very important in the upbringing and education of children. With their help, they can move into a world of illusions and imagination, and learn at the same time. Educational picture books can be used in almost all subjects, not only in Slovene lessons. With picture books, both the text and the illustrations are important, and above all their connection and complementarity. For 1st graders, the most important part of picture books are illustrations, the text only complements them. Many didactic aids can be used in math lessons, and one of them is a mathematical picture book. Its use in math lessons opens up many opportunities for interdisciplinary connections, diversification of lessons and motivating students to work. In addition, students also develop a positive attitude towards the subject.
In this master's thesis, we covered the principles of math lessons, representation, motivation and interdisciplinary connections in math lessons. We focused on the set of geometry and measurement, which we opted for due to abstract and consequently more difficult to understand learning content and concepts. We know several types of didactic aids that we use in math lessons, and a mathematical picture book is one of them. In the theoretical part, we described picture books in general, their definition, division, physical properties, illustration, and the interaction between text and illustration, which is one of their characteristics. We also paid special attention to mathematical picture books, presented some picture books about geometric shapes and summarized the MASLIK project and other research. We also examined geometric shapes from the perspective of arts.
The empirical part consists of three parts. First, we performed 4 lessons of math on the topic of geometric shapes in one of the 1st grades. This was followed by two lessons of art classes, in which students illustrated the story of the Ludvik the Monster in Likarija. By combining the text and illustrations of the students, a mathematical picture book was created, which was used by some of the teachers as a didactic aid in math lessons. We observed the lessons and recorded our observations. We observed in which part of the lesson they used a mathematical picture book, in what way they included it in the lessons, what activities they performed and how the students reacted to the picture book. At the end of the lesson, we also learned from the teachers how they approached planning and what their attitude is toward mathematical picture books as a didactic aid.
Teachers mostly used a mathematical picture book in math lessons or in connecting mathematics with arts or the Slovene language. The picture book had a positive, motivating effect on the students. Interestingly, none of the teachers who participated in the research had yet used a picture book to teach mathematical concepts, but they would use it again in the future.
Research in the field of mathematical picture books is important for developing new approaches in teaching math, as well as for encouraging unmotivated students in a friendly, playful way.
The results of the research provide ideas on different ways of using mathematical picture books in class, and also encourage teachers to use mathematical picture books as a didactic tool in developing mathematical concepts, to diversify lessons and strengthen students' positive attitude towards math.
Key words: mathematical picture book, illustration, 1st grade, geometric shapes, motivation, interdisciplinary connections.
Kazalo vsebine
I. UVOD ... 1
II. TEORETIČNI DEL... 3
1. POUK MATEMATIKE ... 3
1. 1 Načela pouka matematike ... 3
1. 2 Reprezentacije pri matematiki ... 6
1. 3 Motivacija ... 8
1. 4 Medpredmetno povezovanje ... 10
2. GEOMETRIJSKE VSEBINE V 1. TRILETJU ... 12
2. 1. Učni cilji geometrijskih vsebin v učnem načrtu ... 12
2. 2. Didaktična priporočila ... 13
2. 3. Formiranje geometrijskih pojmov ... 14
2. 4. Dejavnosti za učenje o geometrijskih likih ... 15
2. 5. Geometrijsko mišljenje... 16
3. DIDAKTIČNI PRIPOMOČKI ... 20
3. 1. Delitev/vrste didaktičnih pripomočkov ... 21
3. 2. Didaktični pripomočki kot motivacijsko sredstvo ... 22
3. 3. Novi didaktični pripomočki... 23
4. SLIKANICE ... 25
4. 1. O slikanicah ... 25
4. 2. Vsebina slikanic ... 26
4. 3. Fizične lastnosti slikanice ... 27
4. 4. Delitev slikanic ... 28
4. 5. Ilustracija ... 30
4. 6. Interakcija med besedilom in ilustracijo ... 36
5. MATEMATIČNA SLIKANICA ... 40
5. 1. Matematične slikanice o geometrijskih oblikah ... 41
5. 2. Projekt MASLIK Pedagoške fakultete v Zagrebu ... 45
5. 3. Raziskave o uporabi matematične slikanice/literature ... 47
6. GEOMETRIJSKI LIKI V UMETNOSTI ... 47
6. 1. Oblika, lik in forma ... 48
6. 2. Barve in geometrijski liki ... 49
6. 3. Geometrična abstrakcija ... 50
III. EMPIRIČNI DEL ... 53
1. OPREDELITEV RAZISKOVALNEGA PROBLEMA ... 53
CILJ RAZISKAVE IN RAZISKOVALNA VPRAŠANJA ... 54
2. 1. Metode dela ... 54
2. 2. Vzorec ... 54
REZULTATI RAZISKAVE ... 55
3. 1. Nastanek matematične slikanice ... 55
3. 2. Uporaba matematične slikanice Pošastko Ludvik v Likariji ... 64
3. 3. Rezultati glede na raziskovalna vprašanja ... 84
IV. ZAKLJUČEK ... 86
V. VIRI IN LITERATURA ... 88
VI. PRILOGE ... 93
Priloga 1: Soglasje ... 93
Priloga 2: Opazovalni list ... 94
Priloga 3: Vprašanja za intervju ... 95
Priloga 4: Učna priprava za matematiko: kvadrat in pravokotnik ... 95
Priloga 5: Učna priprava za matematiko: trikotnik in krog ... 102
Priloga 6: Učna priprava za likovno umetnost ... 109
KAZALO SLIK
Slika 1: Odnosi med reprezentacijami. ...7
Slika 2: Konkretni primeri reprezentacij v 1. razredu, odštevanje do 10 ...8
Slika 3: Rokovanje z liki in sestavljanje različnih oblik ...16
Slika 4: Van Hielova teorija geometrijskega mišljenja ...17
Slika 5:Risba otroka na stopnji topoloških relacij, starost 4 leta in 4 mesece ...19
Slika 6: Risba otroka na stopnji projektivnih relacij, starost 7 let ...20
Slika 7: Didaktični pripomoček je lahko motivacijsko sredstvo ...23
Slika 8: Delež besedila in ilustracije v različnih tipih knjig ...25
Slika 9: Tabela kriterijev za določanje kakovostne ilustracije ...33
Slika 10: Tabela o besedilnem in likovnem delu slikanice in njunem prepletanju ...36
Slika 11: Naslovnica slikanice Krug i kružnica ...41
Slika 12: Stran v slikanici Krug i kružnica. Učenec mora zapolniti kroge tako, da nastane češnja, ura, žaba in roža ...41
Slika 13: Naslovnica slikanice Round is a mooncake ...42
Slika 14: Notranjost slikanice Round is a mooncake ...42
Slika 15: Naslovnica slikanice Mouse shapes ...43
Slika 16: Notranjost slikanice Mouse shapes ...43
Slika 17: Naslovnica slikanice Ship shapes ...44
Slika 18: Notranjost slikanice Ship shapes ...44
Slika 19: Naslovna stran slikanice The secret birthday message ...45
Slika 20: Notranjost slikanice ...45
Slika 21: Oblike v naravi, katerih osnova je valj, krogla in stožec ...49
Slika 22: Trikotnik je lik, ki ima trdno in ostro obliko ...49
Slika 23: Piramide so preprosta oblika, ki je lahko forma. ...49
Slika 24: Wassily Kandinsky: Kompozicija VII ...51
Slika 25: Victor Vasarely: Kezdi-Ga, 1970...51
Slika 26: Piet Mondrian:Kompozicija C, 1935 ...52
Slika 27: Kazimir Malevič: Aeroplane Flying, 1915 ...52
Slika 28: Avgust Černigoj: Srečko Kosovel, 1926 ...52
Slika 29: Postopek ilustriranja besedila ...58
Slika 30: Naslovnica in 1. stran matematične slikanice Pošastko Ludvik v Likariji ...59
Slika 31: 2. in 3. stran matematične slikanice Pošastko Ludvik v Likariji ...59
Slika 32: 4. in 5. stran matematične slikanice Pošastko Ludvik v Likariji ...60
Slika 33: 6. in 7. stran matematične slikanice Pošastko Ludvik v Likariji ...60
Slika 34: 8. in 9. stran matematične slikanice Pošastko Ludvik v Likariji ...61
Slika 35: 10. in 11. stran matematične slikanice Pošastko Ludvik v Likariji ...61
Slika 36: 12. in 13. stran matematične slikanice Pošastko Ludvik v Likariji ...62
Slika 37: 14. in 15. stran matematične slikanice Pošastko Ludvik v Likariji ...62
Slika 38: 16. in 17. stran matematične slikanice Pošastko Ludvik v Likariji ...63
Slika 39: 18. in 19. stran matematične slikanice Pošastko Ludvik v Likariji ...63
Slika 40: Izdelki učencev pri delu v skupinah ...66
Slika 41: Različne oblike, ki so jih opazili na sprehodu ...72
Slika 42: Oblikovanje likov s telesi ...75
Slika 43: Izdelki učencev ...75
Slika 44: Ustvarjanje risb ...79
Slika 45: Oblikovanje geometrijskih teles iz plastelina ...79
Slika 46: Odtiskovanje ploskev geometrijskih teles ...79
Slika 47: Risbe narisane s kredami ...82
Slika 48: Risbe velikega formata, ki so nastale ...83
KAZALO TABEL
Tabela 1: Delitev didaktičnih pripomočkov glede na dimenzijo in glede na didaktično funkcijo. ... 22
1
I. UVOD
Predmet matematika je eden izmed temeljnih učnih predmetov v osnovnošolskem izobraževanju. Eden izmed splošnih ciljev matematike je spoznavanje njene uporabnosti v vsakdanjem življenju. Matematično kompetenco uporabljamo za matematični način razmišljanja ter za reševanje matematičnih in vsakdanjih problemov (Žakelj idr., 2011).
Pomembno področje je tudi geometrija, ki je v vsakdanjem življenju nepogrešljiva.
Po didaktičnih priporočilih iz učnega načrta naj se pouk geometrije v prvem triletju začne z opazovanjem konkretnih predmetov, kasneje pa je postopno vse bolj formalen in abstrakten.
Poučevanje matematike poteka s pomočjo treh različnih vrst reprezentacij (konkretne, grafične in simbolne). Učence pri učenju dodatno motivirajo konkretna ponazorila, različni izzivi, problemske naloge, uporaba IKT in raznorazni didaktični pripomočki (Žakelj idr., 2011).
Treba je razvijati nove pristope poučevanja in iskati načine, didaktične pripomočke, s katerimi bomo učencem matematiko približali in jim pomagali pri lažjem razumevanju še tako abstraktnega pojma. V matematičnih slikanicah so prek interakcije med besedilom in ilustracijo predstavljeni različni matematični pojmi in koncepti na bralcu razumljiv, jasen in zanimiv način. Mladega bralca slikanica spodbudi k branju in učenju.
Pri nastanku matematične slikanice Pošastko Ludvik v Likariji smo izhajali iz obstoječih matematičnih slikanic, predvsem pa iz projekta MASLIK – Matematična slikanica – umetniška in literarna ustvarjalnost kot spodbuda pri zgodnjem učenju, ki so ga izvedli na Pedagoški fakulteti v Zagrebu. V projekt so vključeni učni predmeti: matematika, likovna umetnost in književnost. Sodelovali so strokovnjaki in raziskovalci iz različnih področij ter študentje razrednega pouka, ki so pomagali pri nastanku matematične slikanice. V slikanice so vključili začetne, primarne matematične teme (števila, operacije, merjenje, geometrija, obdelava podatkov …). Prišli so do ugotovitev, da so bili učenci ob uporabi matematičnih slikanic bolj motivirani za učenje, poleg tega pa so si lažje zapomnili učno vsebino.
Tema slikanice Pošastko Ludvik v Likariji so geometrijski liki. Liki, v matematiki, so dvodimenzionalni prostor oz. kakršen koli, iz vseh strani s črto, omejen del ravnine. V 1.
razredu učenci spoznajo štiri osnovne geometrijske like: kvadrat, pravokotnik, krog in trikotnik (Cotič idr., 1996).
Geometrijske like najdemo tudi v likovni umetnosti. Po njih se vprašamo z vprašalnico
»Kako?«. Uvrščamo jih med oblike, ki jih Butina (2000) opredeli kot ploskovne in prostorske likovne prvine. Gris (1967, v Butina, 2000) navede tri vrednosti oblike: likovna vsebina (barva, tekstura, velikost); relativna vrednost (odnos oblike do prostora in drugih oblik) in absolutna vrednost (geometrijska telesa in liki).
Magistrsko delo je sestavljeno iz dveh delov: iz teoretičnega in empiričnega. V teoretičnem delu smo najprej opredelil predmet matematiko, se usmerili na sklop geometrije in vključenost v učnem načrtu, didaktična priporočila, o didaktičnih pripomočkih in geometrijskem mišljenju po van Hielu in Piagetu. Pisali smo o slikanicah na splošno in o matematičnih slikanicah.
Zanimalo nas je, na kakšen način bodo izbrani učitelji 1. razreda nastalo matematično slikanico
2
o geometrijskih liki z naslovom Pošastko Ludvik v Likariji uporabili pri poučevanju, kakšna bodo njihova stališča do uporabe matematičnih slikanic pri pouku ter kako bo matematična slikanica vplivala na učence. Rezultati so predstavljeni opisno, na koncu pa so odgovori na raziskovalna vprašanja, ki smo si jih postavili na začetku empiričnega dela.
3
II. TEORETIČNI DEL
1. POUK MATEMATIKE
Eden izmed splošnih ciljev matematike je spoznavanje njene uporabnosti v vsakdanjem življenju. Matematično kompetenco uporabljamo za matematični način razmišljanja za reševanje matematičnih in vsakdanjih problemov (Žakelj idr., 2011).
Že od davnih časov je matematika pomembna v človekovem vsakdanjem življenju, skozi leta in stoletja pa se je razvijala in se še razvija (Kubale, 2010).
Matematika ima tudi pomembno vlogo pri drugih znanostih in predmetih, tako naravoslovno- tehniških kot tudi družboslovno-humanističnih. Pouk matematike v osnovni šoli spodbuja različne oblike mišljenja, ustvarjalnosti, spretnosti in formalna znanja, poleg tega pa učenci spoznajo praktičnost, uporabnost in smiselnost matematike (Žakelj idr., 2011).
Da bo poučevanje čim kakovostnejše in da si bodo učenci čim več zapomnili, je pomembno, da učitelj upošteva načela pouka matematike, ki jih bomo predstavili v nadaljevanju. Poleg tega pa so pri poučevanju matematike pomembne tudi različne reprezentacije in prehajanje med njimi, kajti učenec, ki res razume določeno vsebino, lahko nemoteno prehaja med različnimi reprezentacijami. Matematika je učni predmet, do katerega nekateri že od samega začetka čutijo odpor in za učenje niso motivirani, zato je pomembno, da če nimajo notranje motivacije, učitelji poskrbijo za zunanjo motivacijo s pomočjo izbire učnih metod, načinov dela, didaktičnimi pripomočki … Pouk matematike pa lahko naredimo zanimiv in še bolj pritegnemo in motiviramo učence z medpredmetnim povezovanjem, za katerega je veliko možnosti in priložnosti.
1. 1 Načela pouka matematike
Pri pouku matematike je treba upoštevati učna načela, ki so temelji in smernice pri poučevanju matematike. So pomoč in izhodišče za celoten proces izobraževanja. Vsa so enako pomembna in niso hierarhično razporejena (Markovac, 1990).
Različni avtorji poudarjajo različno število načel. Markovac (1990) izpostavi 6 učnih načel, medtem ko jih Kubale (2010) opisuje 12 in so predstavljena v nadaljevanju.
1. Učno načelo primernosti razvojni stopnji učencev
To načelo je najpomembnejše, ker mora biti učna snov primerna sposobnostim učencev, razvojni stopnji in predznanju; če to ni upoštevano, potem so vsa druga načela brez pomena.
Temelj načela je poznavanje otrok in razvojnih stopenj. Učno delo in snov morata biti prilagojena postopnemu razvoju otroka ter otrokovim telesnim in duševnim močem. Vsebina in način dela ne bi smel biti za učence ne prelahek in ne pretežek, ubrati moramo zlato sredino, ampak pri tem ne smemo pozabiti na tiste, ki izstopajo iz povprečja, pa naj bo to pozitivno ali negativno (Markovac, 1990; Kubale, 2010). Matematika je učni predmet, pri katerem je
4
individualizacija pouka še kako pomembna, zato je treba poskrbeti za dopolnilno oz. dodatno delo. Učenci so si po sposobnostih in predznanju različni, in to je treba upoštevati (Kubale, 2010).
Primer: pouk v 1. razredu je za učence primeren, če jih postopno in s pomočjo predznanja vodimo do izgradnje abstraktnih pojmov. V pouk morajo biti vključene različne vrste aktivnosti (intelektualne, grafične, verbalne), vključevati mora tudi igro (Markovac, 1990).
2. Načelo postopnosti pouka
Učitelj pri načrtovanju in pripravi upošteva razvojne stopnje učencev, poleg tega pa načrtuje tako, da učence postopoma pripelje do novih znanj, vsebin. Učitelj mora pred samo obravnavo vsebin, razmisliti o zmožnostih in sposobnostih posameznih učencev. Pri načelu postopnosti moramo upoštevati, da poučujemo vedno od lažjega k težjemu, od enostavnega k zahtevnemu, od znanega k neznanemu, od bližnjega k daljnemu in od konkretnega k abstraktnemu (Kubale, 2010). To načelo je pomembno predvsem pri temah, za katere je pogoj predhodno usvojeno znanje. Gre za hierarhično znanje, kar pomeni, da je poznavanje določenih vsebin pogoj za usvajanje novih (Markovac, 1990).
3. Načelo nazornosti pouka
Načelo nazornosti pouka predvideva, da se učne vsebine predstavi čim bolj predstavljivo, pojme, dejstva in pravila pa se razloži čim bolj nazorno. Že Aristotel je zagovarjal, da so konkretni predmeti zelo pomembni. Treba jih je pokazati, ko se govori o njih. Učenci morajo povezati predstavo o nekem predmetu, s predmetom samim. To načelo je pomembno, ker ima zelo velik vpliv na zapomnitev in aktivnost samih učencev, ki so bolj motivirani za delo, zanimivo jim je in tako si lažje zapomnijo učno vsebino (Kubale, 2010). Nazornost je v začetnem pouku matematike odvisna od dveh dejavnikov: narave matematičnega pojma in razvojem intelektualnih sposobnosti učenca. Učna vsebina začetnega pouka matematike so večinoma abstraktni pojmi, ki niso dostopni v objektivne svetu in prav zaradi tega jih ne moremo senzorično spoznati, prav to pa krepi in olajša učenje in zapomnitev (Markovac, 1990).
4. Učno načelo zavestne aktivnosti učencev pri pouku
»Dobro znanje je samo tisto, ki so ga učenci zavestno usvojili. Zavestno naučeno znanje je trajno in ga učenci lahko uporabijo v praksi, torej v vsakdanjem življenju.« (Kubale, 2010, str.
59) Učenci morajo biti pri pouku zavestno aktivni, miselno morajo sodelovati in se truditi. Brez zavestne aktivnosti ni uspešnega učenja. Motivacija učencev je zelo pomembna in tukaj ima zelo pomembno vlogo učitelj. Učitelj mora učence spodbujati, da zavestno sodelujejo, samostojno razmišljajo in so aktivni. Za uspešno učenje sta pomembna tako motivacija kot tudi sposobnosti, nič od naštetega ni pomembnejše (Markovac 1990; Kubale, 2010).
5. Učno načelo individualizacije pouka
To načelo predvideva, da se pouk matematike in samo delo individualizira, prilagodi posamezniku. Vsak učenec je sam svoj, ima svoje znanje, sposobnosti in zmožnosti, zato mu je treba prilagoditi poučevanje do te mere, da doseže svojim zmožnostim najboljši rezultat (Markovac 1990; Kubale, 2010). Vse prevečkrat učitelji pouk prilagajajo povprečnemu učencu,
5
kar pa je povsem zgrešeno. Nekateri učenci bodo takoj dojeli, drugi bodo potrebovali več razlage, spretnejši bodo takoj obvladali spretnost, manj spretni bodo potrebovali več vaje. Paziti pa moramo, da ne enačimo individualnega dela in individualizacije pouka. Individualno delo je učna oblika, v katero moramo individualizacijo vpeljati. Individualizacijo lahko izvajamo tudi pri dodatnem oz. dopolnilnem pouku. Učitelj mora učence dobro spoznati, predvsem pa spoznati njihovo znanje in način dela, ker le tako lahko individualizira in prilagodi pouk za tiste, ki to potrebujejo (Kubale, 2010).
6. Učno načelo povezovanje teorije in prakse
Dandanes učenci teoretičnega znanja, ki ga pridobijo v šoli, ne znajo uporabiti v vsakdanjem življenju. Šola učence premalo pripravlja na življenje in delo in prav zato je to učno načelo pomembno (Markovac, 1990).
Učencem lahko učenje poenostavimo tako, da jim skupaj s teorijo pokažemo, kako pridobljeno znanje uporabiti v praksi, vsakdanjem življenju. To moramo upoštevati pri vseh predmetih, ker če bomo učencem podajali samo snov, se jim bo zdelo to čisto brez pomena in nerazumljivo (Komensky, 1958, v Kubale, 2010).
7. Učno načelo sistematičnosti
Učno načelo sistematičnosti pri pouku je tesno povezano z načelom primernosti. Pri pouku matematike moramo učno vsebino obravnavati sistematično, kar pomeni v nekem logičnem zaporedju. Učenec mora najprej spoznati celoto in nato postopno spoznava posamezne dele te celote (Kubale, 2010).
8. Učno načelo ekonomičnosti in racionalnosti pri pouku
To učno načelo predvideva, da se učne cilje realizira čim bolj uspešno, čim lažje in v času, ki je na razpolago. Pouk racionaliziramo tako, da uvedemo racionalne spremembe v učnih postopkih. Te spremembe privedejo do kakovostnejših rezultatov, večji učinek v predpisanem času in posledično večja ekonomičnost učnega dela. Racionalizacijo izvedemo v vseh delih učnega procesa: izbira ustreznejših učnih sredstev, organizacijska struktura učnega dela in uporaba učinkovitih učnih metod. To načelo je pri pouku matematike zelo pomembno, ker se snov iz razreda v razred nadgrajuje in povezuje, to pomeni, da moramo znati snov prvega razreda, da bomo uspešni v drugem. To načelo moramo upoštevati tudi pri dajanju domačih nalog. Le-te morajo biti različne tistim v šoli, biti morajo zanimive in primerne (Kubale, 2010).
9. Učno načelo sodobnosti pouka
Učne vsebine pri pouku naj učitelj izbira glede na aktualne učne vsebine. Veliko strokovnjakov s področja šolstva zagovarja, da je učenje pomembno za življenje in ne za šolo. Pri pouku matematike je za uresničevanje tega načela potrebna aktualizacija vsebin in uporaba modernih, najnovejših spoznanj na področjih vzgoje in izobraževanja. Poleg tega pa je tukaj še sodobna, predvsem tehnična oprema šole (učni pripomočki, učila).
Sodobnega pouka si ne moremo predstavljati brez uporabe informacijsko-komunikacijske tehnologije oz. IKT. Nove tehnologije naredijo izobraževanje bolj fleksibilno, poleg tega pa lahko IKT uporabljamo za izboljšanje poučevanja in učenja. Pomembno je, da je šola dobro
6
opremljena, kajti le takrat bodo učitelji to uporabljali za poučevanje. Pri učencih tako razvijamo kompetence in spretnosti, ki so pomembne za njihovo delovanje v sodobni, tehnološko razviti družbi (Brečko in Vehovar, 2008).
10. Učno načelo vedrosti pouka
Načelo vedrosti pouka različni pedagoški delavci imenujejo tudi ugodna klima na učnem mestu.
Različne raziskave in izkušnje kažejo, da ugodno učno ozračje, zelo vpliva na učenca. Učenci so v takem učnem okolju veliko uspešnejši. Vedrost pri pouku vpliva na učni uspeh, zato je pomembno, da učitelj v pouk vnaša veselje in sproščenost, vendar ne sme pozabiti na svojo avtoriteto ali jo pri tem ogrožati. Pri matematiki se lahko prijetno učno ozračje ustvarja z zanimivimi nalogami (Kubale, 2010).
11. Učno načelo vzgojnosti pouka
Nekateri to načelo odobravajo, druga pa zagovarjajo, da je pouk v šoli samo izobraževalen.
Vzgojna plat predmeta matematika so razvijanje natančnosti, smisla za red in vztrajnosti.
Učitelj je vzor. Njegova osebnost, način dela, izbira metod dela, učnih oblik in učnih pripomočkov, še kako vzgojno vpliva na učence (Kubale, 2010).
12. Učno načelo trajnosti znanja, spretnosti in navad
Učitelji to načelo upoštevajo pri letni pripravi, v kateri morajo načrtovati in zagotoviti dovolj časa za utrjevanje učnih snovi. Učitelj mora evalvirati svoje delo ter si postaviti vprašanja o tem ali se je dobro pripravil na uro, ali je dovolj motiviral učence, ali je izbral primerne naloge za utrjevanje (Kubale, 2010).
Trajnost pridobljenega znanja je odvisna od več dejavnikov, v prvi vrsti pa od naslednjih:
− od učenčeve motivacije, čustvene pripravljenosti in interesa za učenje;
− od učenčeve koncentracije in aktivnosti v procesu učenja;
− od tega, koliko nam je uspelo gradivo osmisliti in med seboj povezati, zlasti staro (že usvojeno) z novo pridobljenim znanjem;
− od tega, ali smo pridobljeno znanje že v procesu pouka in učenja povezovali, ter uporabljali (aplicirali) v praksi in kolikokrat se je to ponovilo oziroma kako solidno so utrdili (Kubale, 2010, str. 69).
Pri matematiki je zelo pomembno, kdaj in koliko se utrjuje. Največji del snovi pozabimo takoj oziroma zelo kmalu po učenju, zato je pomembno, da snov utrjujemo takoj oz. čim prej.
Upoštevati moramo, da je pri matematiki za učenje novih vsebin potrebno znanje predhodnih (Kubale, 2010).
1. 2 Reprezentacije pri matematiki
Palmer (1978, v Hodnik Čadež, 2003, str. 4) navaja, kaj je treba pri vsaki reprezentaciji opredeliti:
− reprezentirajoči svet,
7
− svet, ki ga reprezentirajoči svet reprezentira,
− kateri vidiki sveta, ki ga reprezentira, so reprezentirani,
− kateri vidiki reprezentirajočega sveta reprezentirajo,
− povezavo med svetom, ki ga reprezentira, in reprezentirajočim svetom.
Ločujemo notranjo reprezentacijo, pri kateri gre za miselne procese in predstave ter zunanjo, ki jo najdemo v okolju (Hodnik Čadež, 2003).
Palmer (1978, v Hodnik Čadež, 2003) notranje reprezentacije imenuje tudi kognitivne reprezentacije. Gre za miselne procese in predstave, ki se skladajo z notranjimi predstavami, ki si jih vsak posameznik oblikuje na podlagi svojih lastnih izkušenj.
Zunanje reprezentacije nam informacij ne posredujejo same po sebi, ampak je pri njihovi uporabi potrebna razlaga učitelja in aktivnost učencev. Reprezentacije pri matematiki so zelo raznovrstne in vsak učenec si jih lahko razlaga po svoje, zato je pomembno, da se o njih pogovorimo. Hodnik Čadež (2003) zunanje reprezentacije pri matematiki deli v tri skupine:
konkretne, grafične in simbolne. Pomemben dejavnik pri rokovanju z reprezentacijami je jezik, ker le tako lahko različne reprezentacije razložimo učencem.
Slika 1: Odnosi med reprezentacijami (Haylock in Cockburn, 1989, v Hodnik Čadež, 2003, str. 6).
Konkretne reprezentacije so strukturiran in nestrukturiran material. So stvari, ki se jih uporablja kot pripomoček za učenje, vse od Dienesovih ploščic, geo-plošče do prstov na rokah. Naloga učiteljev je pomagati učencem pri rokovanju z materialom. Učenec mora material osmisliti, se osredotočiti na učenje in ne samo na rokovanje z materialom. Konkretni material se v večini primerov uporablja pri uvodih v določeno učno snov. Učitelji morajo biti pozorni na to, kaj naj se učenci naučijo z uporabo določenih konkretnih materialov in ne, kako se ta material uporablja (Hodnik Čadež, 2003; 2014).
Grafične reprezentacije so povezava med konkretnimi reprezentacijami in matematičnimi simboli. Delimo jih na semikonkretne in semiabstraktne. Katere grafične reprezentacije bodo uporabljene pri obravnavi snovi, je odvisno od samega matematičnega pojma in od konkretnih materialov, ki so bili uporabljeni pri obravnavi pojma. Veliko grafičnih reprezentacij najdemo v delovnih zvezkih, učbeniki in drugih gradivih (Hodnik Čadež, 2003).
8
Matematični simboli, ki jih najdemo na razredni stopnji v osnovni šoli, so števke (0, 1, 2 …), znaki za računske operacije (+, -, : …) in znaki za relacije (<, >, =). Uporaba simbolov je tesno povezana s konkretnimi in grafičnimi reprezentacijami (Hodnik Čadež, 2003).
Slika 2: Konkretni primeri reprezentacij v 1. razredu, odštevanje do 10 (Hodnik Čadež, 2014, po Heedens, 1986).
Lipovec (2013) v svojem članku navede delitev matematičnih reprezentacij po Brunerju, ki reprezentacije deli v 3 skupine: enaktivne, ikonične in simbolne.
Enaktivne reprezentacije so reprezentacije preteklega dogodka z namišljenimi ali dejanskimi motoričnimi odzivi (Lipovec, 2013, str. 32). V šoli se te vrste reprezentacij uporabljajo pri delu s konkretnimi materiali.
Ikonične reprezentacije najdemo pri slikovnih ponazoritvah. Pri tej vrsti reprezentacij gre za premišljeno organizacijo in preoblikovanje dražljajev pri povzetku dogodkov (Lipovec, 2013).
Simbolična reprezentacija pa je razlaga pojmov v simbolnem, nenaravnem svetu (prav tam) Enaktivna reprezentacija je primerljiva s konkretno reprezentacijo, ikonična z grafično, slikovno, simbolična pa s simbolno reprezentacijo. Pri vseh ravneh reprezentacij morajo sodelovati učenci in biti aktivni; ni dovolj, če rokovanje z različnimi materiali le opazujejo, ampak ga morajo tudi preizkusiti. Ko učenec samostojno in brez težav prehaja med različnimi vrstami reprezentacij, je usvojil pojem in razume (prav tam).
1. 3 Motivacija
Motivacijo štejemo kot eno glavnih spremenljiv v učenju. Boakaerstsova (2001, v Juriševič, 2006) velja za eno vodilnih znanstvenic na področju pedagoške psihologije. Poleg kognitivnih dejavnikov so v učnem procesu enako pomembni tudi motivacijski. Med seboj so neločljivi in enako pomembni za učenje.
Človek postane aktiven na podlagi notranje ali zunanje vzpodbude. Motivacija je vse, kar neko aktivnost usmerja, ji daje intenziteto in trajanje. Motivi za učenje in zaželeno vedenje so različne potrebe, želje, čustvena stanja (Kubale, 2010).
9
Pintrich in Schrauben (1992, v Juriševič, 2006) med motivacijske sestavine štejeta učno samopodobo, mesto kontrole, učne cilje, interes učencev do učnih nalog in zaznano pomembnost učenja. Na motivacijske sestavine vplivata dve stvari: značilnosti učnih nalog in značilnosti poučevanja (metode, ocenjevanje, vedenje učitelja). Motiviranost pri učencih lahko doseže učitelj s primernim pedagoškim pristopom (Kubale, 2010).
Učna motivacija vpliva na učenje. Vpliv ima na dveh ravneh, in sicer na ravni učnih dosežkov in ravni učnih procesov.
Ločimo 2 vrsti motivacije. Prva je notranja motivacija, ki je učenčevo lastno zanimanje in nagnjene, brez dodatnih dražljajev in spodbud iz okolja. Harterjeva (1978, v Juriševič, 2006, str. 35) pravi: »[…] notranja motivacija je pravo gibalo človekove narave, saj žene v iskanju novega, v soočanju z izzivi, v preizkušanje meje lastnih zmogljivosti in v učenje, od rojstva naprej, tudi v odsotnosti zunanjih nagrad.«
Juriševič (2006, str. 36) povzema več avtorjev in opredeli notranjo motivacijo s tremi najpogosteje omenjenimi elementi:
1. kot posebna nagnjenost k zahtevnejšim nalogam, ki so za učenca izziv;
2. kot učenje, ki ga spodbuja radovednost oziroma interes;
3. kot doseganje učne kompetentnosti in obvladovanje učnih nalog, ki vsebuje tudi vrednoto pomembnosti učenja.
Nasprotje notranje motivacije je zunanja motivacija. Reeve (2001, v Juriševič, 2006) opredeli zunanjo motivacijo kot spodbudo za učenje, ki izhaja iz učenčevega okolja. V okolju se pojavijo razlogi, ki privedejo do začetka in vztrajanja pri določeni nalogi, dejavnosti.
Motivirati pomeni navesti vzrok kakega dejanja, ravnanja, utemeljiti in spodbuditi, navdušiti (SSKJ). Stipek (1996, v Juriševič, 2006) pravi, da učitelji ne morejo vseh učencev enako motivirati in da je to povsem normalno. Pričakovanje, da bi bili vsi enako motivirani, je povsem nerealno, se morajo pa učitelji potruditi, da motivirajo čim večje število učencev. Motivirajo jih lahko z različnimi pripomočki, pristopi, metodami dela ipd.
Kubale (2010) piše o motivaciji kot psihološkem dejavniku, ki vpliva na učni proces in uspeh.
Da ljudje postanemo aktivni, dejavni, je potrebna neka notranja ali zunanja spodbuda. Učitelj lahko motivacijo doseže z dobrim pedagoškim pristopom, s pohvalami, sodelovanjem, tekmovalnostjo. Juriševič (2012) pravi, da se sama motivacija vedno dogaja v učencu, ki je vir lastnega delovanja motivacije. Pri učencu lahko motivacijo spodbudimo z različnimi motivacijskimi spodbudami. Učenčevo motiviranost lahko spodbujamo, ohranjamo, krepimo ali pa jo celo zmanjšujemo. Učitelji lahko torej učence motivirajo ali pa demotivirajo za učenje.
Juriševič (2012) učiteljeve motivacijske spodbude deli v dve skupini:
1. didaktične motivacijske spodbude (učne metode in načini dela, organizacija učenja in učnega okolja, naloge, didaktični material …);
2. psihološke motivacijske spodbude (povratne informacije učencem o učenju in dosežkih, podpora in usmerjanje učencev pri učenju, kvalitetno sodelovanje med šolo in starši, domom … ).
10
Motivacija pri učencih se kaže na različne načine in na različnih ravneh. Rheinberg (2000, v Juriševič, 2012, str. 12) je opredelil 3 ravni, v katerih se kaže vpliv motivacije na učenje:
1. Čas, ki ga učenec nameni učenju in različnim učnim aktivnostim.
2. Oblike oz. narave učnih aktivnosti na eni strani uravnavanje napora, ki ga učenec vloži v učenje, na drugi strani pa uporaba učnih strategij, ki bodo učenca spodbujale za učenje, z njihovo pomočjo pa lahko doseže učne cilje.
3. Funkcionalno razpoloženje učenca oz. njegovo psihološko stanje med učenjem, ki se kaže skozi predanost, sodelovanje, pozitivna čustva.
»Perspektivo za nadaljnje izboljšave pouka matematike z vidika motivacije zatorej vidimo predvsem v spodbujanju problemskih pristopov dela in izkoriščanju potencialov v novih didaktičnih sredstvih, s katerimi bomo kakovostno obogatili pouk,« menita Hodnik Čadež in Manfreda Kolar (2009, str. 247).
Če sta učencem način dela in učna vsebina zanimiva, jih je lahko motivirati in se bodo lažje učili, ker jim je to, kar počnejo, zanimivo. Prvanović (1981, v Kadum, 2009) v članku povzame oz. našteje, kaj vse povečuje motiviranost učencev pri pouku matematike:
− zanimiva matematika;
− izbira učnih oblik in metod dela;
− vse večji in zanimivejši primeri matematike;
− močna želja za uspešno reševanje matematičnih problemskih nalog;
− zadovoljstvo, ki ga imajo ob uspešni rešitvi matematičnega problema;
− zavedanje in smiselnost matematičnega razmišljanja;
− lepota matematičnega razširjanja in zaključka;
− matematična tekmovanja.
Med vsemi zgoraj naštetimi dejavniki, ki pripomorejo k večji motivaciji pri pouku matematike, pa ni omenjene nagrade in kazni, ki pa sta po navadi glavna motiva za učenje. Tudi ocenjevanje motivira učence za učenje (Kadum, 2009).
1. 4 Medpredmetno povezovanje
V učnem načrtu je opredeljen namen medpredmetnega povezovanja, ki je učence usposobiti za uporabo in povezovanje znanja ter pri njih razvijati ustvarjalnost. Povezovanje različnih predmetnih področji, pozitivno vpliva na učence, zmožni so prenosa znanja, so odločnejši ter kulturno in etično bolj zavestni (Žakelj idr., 2011).
Štemberger (2008, str. 96) zapiše, da so: » […] medpredmetne povezave v svojem bistvu didaktični pristop, ki otroke pripravi na učenje, ki traja celo življenje. Pomenijo povezovanje vsebin različnih predmetov znotraj predmetnika (v vrtcu različnih področij dejavnosti) na horizontalni ravni in povezave določenega predmeta z različnimi medpredmetnimi področji […]. Za učinkovitost morajo biti v povezavah jasno prepoznavni cilji posameznih predmetov oziroma področij.«
11
Sicherel Kafol (2008, str. 113) medpredmetno povezovanje opredeli podobno: »[…] je celosten didaktični pristop – pomeni horizontalno in vertikalno povezovanje znanj, vsebin in učnih spretnosti. Medpredmetno povezovanje določajo skupni nameni različnih predmetnih področij.« (str. 113)
Hodnik Čadež (2008) opredeli medpredmetno povezovanje ne samo kot didaktični pristop, ampak tudi kot učno strategijo, s pomočjo katere dosegamo vzgojne in izobraževalne cilje.
Učitelj pri tem izhaja iz povezovanja učnih ciljev in/ali vsebin in učno vsebino, problem predstaviti in obravnavati čim bolj celostno, pri tem pa uporabiti čim bolj raznovrsten učne metode in oblike.
Učitelj mora določeno učno vsebino obravnavati čim bolj celostno in ob tem upoštevati različne vidike. Otrok − učenec si ob tem ustvari celostno sliko določene vsebine in pri tem je pomemben prenos informacij oz. transfer, ki je lahko pozitiven (prenos informacij in hitrejše pomnjenje pri drugih področjih) ali pa negativen (zaviranje napredka, zaradi določenega znanja). Pomembno je, da se medpredmetne povezave dobro načrtuje in se jih uporablja, izvaja, ko je to smiselno, obstajajo razlogi in imamo ustrezne možnosti. S takim načinom povezovanja spodbujamo ustvarjalnost otrok in jih tudi dodatno motiviramo (Štemberger, 2008; Hodnik Čadež, 2008).
Sicherel Kafol (2008) transfer opredeli kot rdečo nit povezovanja različnih predmetov, področji. Prenos informacij poteka pri učnih postopkih, podatkih, pojmih, miselnih spretnostih, čustvih, stališčih, zakonitostih ipd. Učenci preko medpredmetnega povezovanja pridobivajo globlje znanje in povezave med predmeti oz. področji, poleg tega so bolj motivirani, samostojnejši, pokažejo večje zanimanje za pouk in pridobijo trajnejše znanje.
Zelo pomembno pri medpredmetnem povezovanju je njegovo načrtovanje. Dosegati moramo cilje, ki so za to povezovanje pomembni, poleg tega pa mora učitelj, ki to načrtuje, dobro poznati značilnosti otrok, sodobne tehnike načrtovanja in poučevanja, učne načrte za različne predmete ter sodelovati tudi z drugimi učitelji. Z medpredmetnim povezovanjem naj bi učenci izgradili kakovostnejše in trajnejše znanja, ker učenec zazna povezave med različnimi, a hkrati podobnimi vsebinami, postopki, procesi ipd. (Štemberger, 2008)
Poleg načrtovanja Hodnik Čadež (2008) izpostavlja tudi dobro vsebinsko in organizacijsko izpeljavo, ki naj temelji na sodobnih in kognitivno-konstruktivističnih idejah, pri tem pa se mora upoštevati razvojno stopnjo in predznanje učencev. V šoli se medpredmetno povezovanje v rednem pouku najlažje izvaja v prvem triletju, medtem ko v višjih razredih to poteka predvsem v šoli v naravi in ob dnevih dejavnosti.
Matematične slikanice so nam lahko v pomoč pri izpeljavi medpredmetnega povezovanja. Pred načrtovanjem in izpeljavo učne ure moramo dobro poznati knjigo, predvsem pa učne načrte vseh učnih predmetov, ki bi jih povezovali. Z matematično slikanico kot didaktičnim pripomočkom lahko povezujemo matematiko, slovenski jezik in likovno umetnost.
12
2. GEOMETRIJSKE VSEBINE V 1. TRILETJU
Geometrija je ena izmed pomembnejših ali celo najpomembnejša tema pri pouku matematike.
Poleg matematike je pomembna tudi za fiziko, kemijo, biologijo, geografijo, likovno umetnost, arhitekturo (Clements in Sarama, 2010).
Geometrija vsebuje veliko abstraktnih pojmov, ki si jih nekateri učenci težko predstavljajo. Pri obravnavi geometrijskih vsebin učitelji posegajo po različnem didaktičnem materialu in drugih pripomočkih. Matematična slikanica na temo geometrije oz. geometrijskih likov predstavlja nov, nekoliko drugačen način obravnave nove učne teme ali utrjevanje le-te.
2. 1. Učni cilji geometrijskih vsebin v učnem načrtu
Učna vsebina geometrijski liki spadajo po učnem načrtu za matematiko, v tematski sklop geometrija in merjenje, za katerega je v prvem vzgojno-izobraževalnem obdobju predvidenih 58 ur. Tema zajema štiri sklope: orientacija, geometrijske oblike in uporaba geometrijskega orodja, transformacije ter merjenje. Geometrijski liki spadajo v sklop geometrijske oblike in uporaba geometrijskega orodja.
Vsebine, ki jih učenci v prvem razredu usvojijo so telesa, liki in črte. Od učencev v 1. razredu se pričakuje, da:
− prepoznajo, poimenujejo in opišejo osnovne geometrijske oblike v življenjskih situacijah (predmeti) in matematičnih okoliščinah (modeli);
− izdelajo model teles in likov ter jih opišejo;
− rišejo prostoročno črte in like;
− uporabljajo geometrijsko orodje (šablono) pri risanju ravnih črt in likov (Žakelj idr., 2011, str. 10).
V 2. razredu so k vsebinam dodane točke. Cilji se nadgradijo. Učenci:
− prepoznajo, opišejo in poimenujejo geometrijska telesa in geometrijske like;
− prepoznajo in rišejo različne črte (ravne, krive, sklenjene, nesklenjene, lomljene);
− narišejo in označijo točko z veliko tiskano črko;
− označijo presečišče črt;
− uporabljajo geometrijsko orodje (šablono) pri risanju črt in likov (Žakelj idr., 2011, str.
10).
V 3. razredu spoznajo še pojem skladnost likov in razdalja med dvema točkama. Cilji so bolj obsežni:
− pri opisu lastnosti geometrijskih teles uporabljajo matematične izraze (ploskev, rob, oglišče);
− pri opisu lastnosti likov uporabljajo matematične izraze (stranica, oglišče);
− narišejo večkotnik in ga pravilno poimenujejo glede na število stranic;
13
− seznanjajo se s pojmom skladnost ob življenjskih primerih in v matematičnih okoliščinah;
− prepoznajo in narišejo skladen lik;
− narišejo črte med dvema točkama in spoznajo pojem najkrajša razdalja med dvema točkama (Žakelj idr., 2011, str. 10).
Če povzamemo, učenci v prvem vzgojno-izobraževalnem obdobju pri geometriji dosežejo naslednje učne cilje:
Učenec:
− opredeli položaj predmeta najprej v prostoru in po tem na ravnini. Sledi navodilom in se premika po prostoru oz. ravnini,
− razvija orientacijo v mrežah, labirintih, poteh,
− spozna telesa, like, črte, točke (geometrijske elemente),
− iz plastelina/gline izdela modele geometrijskih teles, iz kartona/papirja izdela modele geometrijskih likov,
− prepozna, poimenuje in opiše osnovna geometrijska telesa in like,
− nariše različne črte (krive, ravne, sklenjene, nesklenjene, lomljene),
− riše geometrijske like s prosto roko in s šablono,
− nariše večkotnik, mu označi oglišča, stranice ter pravilno poimenuje narisan geometrijski lik,
− prepozna in nariše skladen lik,
− prepozna simetrijo pri vsakdanjih predmetih v okolici in nariše simetrična lika s pomočjo mreže (Žakelj idr., 2011).
Geometrijske vsebine postajajo iz razreda v razred vse bolj abstraktne, zato smo se v tem poglavju osredotočili le na učne cilje v 1. triletju, v katerem je tudi najbolj uporabna matematična slikanica kot didaktični pripomoček pri pouku matematike.
2. 2. Didaktična priporočila
Didaktična priporočila za prvo triletje v učnem načrtu so, da naj se pouk geometrije začne z opazovanjem konkretnih predmetov. Učenci naj razvijajo sposobnost orientacije v prostoru.
Didaktične igre, za razvoj predstav, so glavna metoda dela pri obravnavi geometrijskih vsebin.
Pojmov ni treba najprej poimenovati, ker jih lahko vpeljemo že prej. Dejavnosti morajo biti pri obravnavi geometrijskih pojmov čim bolj različne. Učenci naj ugotavljajo podobnosti in razlike teles in likov s predmeti iz okolice, jih opisujejo, med njimi iščejo podobnosti in razlike, premikajo telesa iz različnih perspektiv, jih prepoznavajo v različnih položajih v ravnini oz.
prostoru, opisujejo različne odnose (Žakelj idr., 2011, str. 12).
Začetni pouk matematike izhaja predvsem iz izkušenj učencev, rokovanja s konkretnimi predmeti, potem pa postopno prehaja v vse bolj formalno in abstraktno učenje in poučevanje.
Učence dodatno motivirajo konkretna ponazorila, različni izzivi, didaktični pripomočki, problemske naloge, tehnologija ipd. (Žakelj idr., 2011).
14
V učnem načrtu je zapisano, da morajo učenci spoznavati matematiko preko treh različnih reprezentacij. Najprej prek izkustvenega materiala ter govora, ki osmisli izkušnjo s konkretnim materialom, v naslednjem koraku prek slik, prikazov, grafov in na koncu na abstraktni ravni (Žakelj idr., 2011).
2. 3. Formiranje geometrijskih pojmov
Markovac (1990) pravi, da je glavni cilj začetnega pouka geometrije pri učencih izgraditi znanje o oblikah in odnosih v prostoru ter formirati osnovne geometrijske pojme. Formiranje temelji na realnosti in na aktivnostih učenca samega. Izhodišče pri spoznavanju geometrijskih pojmov so dejavnosti, ki so povezane s predmeti iz vsakdanjega življenja. Te dejavnosti so opazovanje, modeliranje, risanje, premikanje, dotikanje, upogibanje ipd. Aktivnosti so osnova za abstrahiranje in generalizacijo, poleg tega pa imajo izobraževalno vrednost. Vsakdanji predmeti in stvari pa so podpora mišljenju pri spoznavanju pojmov. Ena izmed pomembnejših nalog začetnega pouka geometrije je razviti sposobnost opazovanja, s katerim učenci pridobijo zaznavno raven, ter vnaprej pripravljen material za miselno izdelavo geometrijskega koncepta.
Miselni tok se spodbuja z opazovanjem in hkratnim odkrivanjem, primerjanjem oblik, iskanjem podobnosti in razlik ipd. Predznanje, s katerim učenci vstopijo v šolo, je nepopolno in netočno (Markovac, 1990), zato je pomembno, da pred samim učenjem to predznanje ugotovimo, in ga po potrebi preoblikujemo (Cotič, Hodnik, Manfreda in Mutič, 1996).
Ko pri učenju uporabljamo različne predmete iz učilnice, jih moramo poimenovati in določiti njihovo funkcijo. Pri učenju moramo uporabiti predmete različnih oblik iz vsakdanjega življenja, ki jih prinesemo v razred: pločevinka, škatle, zaboji, cevi, posode, žoga ipd. Učenci spoznajo, da isti predmet lahko predstavlja različne stvari: npr. kvader lahko predstavlja stolp, hišo ali pa tovornjak, valj lahko uporabimo za kolo ali pa dimnik (Liebeck, 1995). Poleg vizualne izkušnje je pomembno, da se učenci predmetov dotikajo, jih otipajo in jih tako še bolje spoznajo določeno obliko in se je zavedajo določene oblike (Markovac, 1990; Liebeck, 1995).
S spoznavanjem in dotikanjem predmetov lahko uvedemo različne izraze, ki jih uporabljamo pri geometriji: okroglo, ravno, robovi, ukrivljeno, vrh ipd. (Liebeck, 1995). Demonstriramo, da se predmeti okrogle oblike zlahka valjajo po podlagi, medtem ko se predmeti oglate oblike ne.
Učenci bodo po taki demonstraciji to počeli tudi sami, v svojem prostem času in se tako nevede učili (Markovac, 1990). Težava se pojavi pri pomnjenju imena določene oblike.
Avtorice v priročniku Prvo srečanje z geometrijo (1996) podrobno predstavijo pristop obravnave geometrijskih vsebin ˝Od telesa k točki˝ oz. iz tridimenzionalnega k dvodimenzionalnemu. Učenci si morajo oblike vizualizirati, zato je pomembno, da učenje izhaja iz konkretnih predmetov (Mešinović idr., 2019). Princip ˝od telesa k točki˝ temelji na treh korakih. Najprej se obravnava prostorska geometrija. Pod to točko uvrščamo geometrijska telesa, nekaj konkretnega, kar lahko učenci primejo v roke. Naslednjo obravnavamo ravninsko geometrijo (geometrijski liki, omejen del ravnine). Nazadnje pa obravnavamo neskončne črte in točke, ker si učenci to najtežje predstavljajo. Prehodi med temi stopnjami so naravni. Primer prehoda iz prostorske na ravninsko geometrijo je odtiskovanje ploskev teles, polaganje modelov teles v pesek, odtis robov ipd. Geometrijske vsebine se ne usvajajo preko
15
matematičnih definicij, ampak preko izkustva. Uporablja se konkreten material, predmete, ki so učencem blizu (Cotič, Hodnik, Manfreda in Mutič, 1996).
Učenje s primeri poteka vse do nekje 11./12. leta, ko so učenci že zmožni formalno-logično razmišljati. Pri učenju geometrije je pomemben induktivni in deduktivni pristop k učenju, in ta dva načina moramo znati ustrezno dopolnjevati (Cotič idr. 1996).
Pred samim poučevanjem pojmov moramo po mnenju konstruktivistov ugotoviti, kakšno je predznanje učencev in ideje o določenem pojmu. Induktivni pristop je poučevanje pojmov s primeri. Primeri morajo biti dovolj nazorni, poleg tega pa morajo biti učenci deležni celovitega doživljanja s čim več čutili. Stvari, ki jih ne moremo prikazati v naravi, v učilnici ponazorimo z modeli, slikami, skicami ali s pomočjo računalniške simulacije. Deduktivni pristop pa je poučevanje pojmov prek definicij. Ta pristop lahko uporabljamo nekje po 12. letu, ko so učenci zmožni formalno logičnega mišljenja. Problem pri tej vrsti poučevanja je, da se učenci velikokrat naučijo samo definicije brez razumevanja. Pojmi se razvijejo postopoma in daljši čas, zato je učiteljeva naloga, da učencem pomaga povezovati pojme v sisteme in povezovanje določenega pojma z različnimi predmetnimi področji (Marentič Požarnik, 2000).
2. 4. Dejavnosti za učenje o geometrijskih likih
V prvem razredu učenci spoznajo štiri osnovne like: krog (lik, omejen s krivo črto, krožnico), kvadrat (štirikotnik, ki ima vse 4 stranice enako dolge, med dvema sosednjima stranicama je pravi kot), pravokotnik (štirikotnik, pri katerem sta enako dolgi nasprotni stranici; med dvema sosednjima stranicama je pravi kot) in trikotnik (3 stranice, spoznajo enakostraničnega).
Kvadrat, pravokotnik in trikotnik spadajo v družino večkotnikov (Čotič idr., 1996).
Pred obravnavo geometrijskih likov je treba spoznati geometrijska telesa in preko njih priti do likov. Pri obravnavi geometrijskih teles je pomembno, da za primere izberemo primerne predmete, ki so z vseh strani omejeni. Dobri primeri teles so žoga, škatla, omara, knjiga, konzerva ipd. Neprimerni predmeti pa so kovanci, stikalo za luč, pokrovček plastenke, ker so votli ali pa premajhni, da bi si učenci lahko predstavljali. Predmeti, ki jih uporabljamo za primer, morajo biti trdni, zato moramo izločiti tudi tiste, ki so narejeni iz pene ali gume. Učenci rokujejo z različnimi geometrijskimi telesi in pri tem ugotovijo, da se nekatera lepo kotalijo (žoga, frnikola, konzerva, kornet), druga pa ne, ker so omejena samo z ravnimi ploskvami (škatla, knjiga). Telesa, ki se kotalijo, imenujemo okrogla telesa. V to skupino uvrščamo kroglo, valj in stožec. Telesa, ki pa se ne kotalijo, imenujemo oglata telesa. V to skupino uvrščamo kocko, kvader in piramido. Učenci morajo telesa spoznati preko različnih aktivnosti, pri katerih rokujejo z njimi, ker jih le tako zares spoznajo in med njimi razlikujejo. Enostavneje si zapomnijo telesa, katerih imena se ujemajo s stvarmi iz vsakdanjega življenja (kocka in krogla), medtem ko si nekatere druge težje. Po zelo natančnem opazovanju teles preidemo iz tridimenzionalnega na dvodimenzionalno geometrijo in to so liki. Telesa uporabimo za odtiskovanje ploskev na papir ali v pesek. Ob tem učenci spoznajo, da je lik omejen del ravnine (Cotič idr., 1996).
16
Geometrijske like povežemo z geometrijskimi telesi. Geometrijski liki se lahko sestavijo v geometrijsko telo. Ravna ploskev geometrijskega telesa je geometrijski lik, kar lahko preverimo z odtiskovanjem. S pomočjo likov opisujemo geometrijska telesa, učenci pa ugotavljajo, za katero telo gre. Pri tem uporabljamo tudi izraza ukrivljena in ravna ploskev. Te dejavnosti je treba pri obravnavi geometrijskih teles in likov vaditi in kasneje ponavljati. Geometrijska telesa in like lahko utrjujemo tudi preko igre, ko učencu prevežemo oči, dobi geometrijsko telo, njegova naloga pa je, da telo, ki ga pretipa, opiše. Ostali učenci ugotavljajo, za katero telo gre (Liebeck, 1995).
Za učenje likov lahko uporabimo komplet likov različnih velikosti. Učenci se med seboj pogovarjajo, sestavljajo različne stvari in iščejo skladne like. Težave se lahko pojavijo pri prepoznavanju določene oblike v različnih legah; npr. kvadrat vidijo le, ko je ta v vodoravni legi, če ga obrnemo drugače, lika ne prepoznajo več (slika 3). Za učenje je pomembno, da učenci lik držijo v roki in ga obračajo (Liebeck, 1995).
Slika 3: Rokovanje z liki in sestavljanje različnih oblik (Liebeck, 1995, str. 52)
Zlaganje različnih slik ali tangramov s pomočjo likov pa pomaga učencem odkriti njihove značilnosti. Malo težja igra je, ko učenec izbere velik lik in mora s pomočjo manjših le-tega sestaviti. S pomočjo kompleta lahko iščejo med seboj skladne like, jih urejajo od največjega do najmanjšega ipd. Spoznajo, da sta pravokotnik in kvadrat štirikotnika (Liebeck, 1995).
2. 5. Geometrijsko mišljenje
Geometrijsko mišljenje je povezano s prostorskimi predstavami, ki so nujne za vizualiziranje, načrtovanje in sestavljanje oblik. Najbolj znane so 3 teorije razvoja geometrijskega mišljenja, predstav: Piaget in Inhelder (1967), van Hiele (1959) in kognitivni psihologi. Osnovna oz.
temeljna teorija izobraževanja o geometriji pa je van Hielova (Mešinović idr., 2019).
Zakonca Van Hiele sta razvila teorijo o razvoju geometrijskega mišljenja in konceptov. V svoji teoriji sta ugotovila tudi razlog za težave pri razumevanju geometrijskih vsebin in kako lahko le-to razrešimo (Mešinović idr., 2019). Geometrijsko mišljenje je v njunem modelu sestavljeno iz 5 stopenj.
17
Slika 4: Van Hielova teorija geometrijskega mišljenja (Mešinović idr., 2019, str. 68).
Oblike, množice oblik, lastnosti oblik, odnosi med lastnostmi, deduktivni sistemi lastnosti in analize deduktivnih sistemov so predmeti mišljenja na vsaki stopnji in glavna ideja, o kateri razmišljamo na določeni stopnji (slika 4). Razvoj poteka skozi stopnje, ki si sledijo hierarhično, v točno določenem zaporedju (Lipovec, 2013; Mešinović idr., 2019).
Stopnja 0 ali stopnja vizualizacije
Predmet mišljenja so oblike na podlagi izgleda. Ni prisotno še razumevanje oblik na podlagi lastnosti. Pri prepoznavanju oblik se uporablja primerjanje s predmeti, npr. to je pravokotnik, ker je podoben vratom. Na tej stopnji učenci ne prepoznajo obrnjenega kvadrata, katerega stranica ni vzporedna z robom lista. Spoznavati morajo različne oblike, jih opazovati, sestavljati, razstavljati, razvrščati glede na lastnosti ipd. Rezultat mišljenja so množice oblik (Mešinović idr. 2019).
Stopnja 1 ali stopnja analize
Predmet razmišljanja niso več oblike, ampak množici oblik. Učenci se usmerijo na lastnosti geometrijskih oblik in jih, glede na izbrano lastnost, razvrstijo v množice. Da pridejo do lastnosti, morajo oblike opazovati, risati, meriti ipd. Določeno lastnost določijo vsem oblikam v množici. Učenci na tej stopnji še ne vidijo določenih povezav med oblikami; npr. kvadrat in pravokotnik sta na tej stopnji še čisto različna lika, ne najdejo še povezave, da je kvadrat poseben primer pravokotnika. Rezultat mišljenja na tej stopnji so lastnosti oblik (Mešinović idr.
2019).
Stopnja 2 ali stopnja neformalne dedukcije
Lastnosti oblik so predmet mišljenja. Pojavi se zmožnost učencev razmišljanja o lastnostih oblik in prepoznati odnose med njimi npr. geometrijski lik, ki ima vse štiri kote prave, je pravokotnik, torej je kvadrat tudi pravokotnik). Rezultat mišljenja na tej stopnji, ki vodi v naslednjo, so odnosi med lastnostmi geometrijskih oblik (Mešinović idr. 2019). Logične
18
povezave se vzpostavijo s kombiniranjem praktičnega eksperimentiranja in sklepanja (Dickson, Brown in Gibson, 1991).
Stopnja 3 ali dedukcija
Odnosi med lastnostmi geometrijskih oblik so predmet mišljenja. Učenci poleg razmišljanja o lastnosti razmišljajo še o dokazih, povezanih z lastnostmi. Na tej stopnji pride tudi do razumevanja in interpretacije definicij in aksiomov. To je že stopnja visokošolske geometrije.
Rezultat mišljenja so deduktivni aksiomski sistemi geometrije (Mešinović idr. 2019).
Stopnja 4 ali stroga matematična stopnja
Predmet mišljenja so deduktivni aksiomski sistemi za geometrijo. To je najvišja stopnja geometrijskega mišljenja, v kateri učenci razumejo razlike in odnose med aksiomskimi sistemi.
Gre za univerzitetni nivo študija matematike, ki ga razume le nekaj študentov. Rezultat mišljenja so primerjave različnih aksiomskih sistemov (prav tam).
Te stopnje in njihov razvoj ni pogojen z načinom poučevanja, ampak gre za nek naraven proces.
Stopnje niso odvisne od starosti, ampak od števila geometrijskih izkušenj. V povprečju pa učenci na razredni stopnji prehajajo iz stopnje 0 na stopnjo 1 (Lipovec, 2013). Poučevanje na višji stopnji v primerjavi s stopnjo učencev ne omogoča njihovega napredovanja, ker tega niso zmožni.
Pouk, ki omogoča prehod na višjo raven geometrijskega mišljenja in popolno razumevanje, poteka v petih fazah, ki so lahko v poljubnem zaporedju (Fuys, Geddes in Tischler, 1988;
Usiskin, 1982, v Mešinović idr., 2019). Faze so:
− preverjanje in seznanjanje (seznanitev z novo temo in ugotavljanje predznanja),
− vodena organizacija (ustrezni didaktični material, s katerim učenec raziskuje novo temo),
− razlaga (učenci si izmenjajo izkušnje, mnenja, učitelj jih le usmerja in pomaga pri terminologiji),
− prosta orientacija (učenci rešujejo zahtevnejše geometrijske probleme),
− integracija (povzetek novega znanja in vpogled).
Pojavljajo se tudi kritike van Hielove teorije, ker se ob vsem tem postavlja vprašanje, ali je lahko znanje določenega učenca le na eni stopnji, ali je lahko učenec pri določenih geometrijskih vsebinah na eni, pri drugih vsebina pa na drugi stopnji (Mešinović idr., 2019).
Bistvene lastnosti van Hielove teorije, ki jih navajajo Mešinović idr. (2019, str. 73), so:
− stopnje si sledijo v točno določenem zaporedju;
− vsaka stopnja ima svoj jezik in svoje simbole;
− rezultat mišljenja na neki stopnji postane predmet mišljenja na naslednji;
− napredovanje na višjo raven je odvisna predvsem od metod poučevanja in ne toliko od starosti in zrelosti;
− učenec mora skozi različne faze učenja, da bo napredoval z neke stopnje na naslednjo.
19
Piaget in Inhelder (1967, v Mešinović idr., 2019) sta v svoji knjigi opisala razvoj geometrijskega zaznavanja otrok. Piaget je sestavil različne naloge in na podlagi tega, kako so otroci reševali te naloge, je predvidel razvoj geometrijskih predstav:
1. topološke relacije (sklenjenost);
2. projektivne relacije (povezave, odnosi med oblikami in predmeti);
3. evklidske relacije (relacije med oblikami).
Otroci najprej razvijejo in oblikujejo predstave o topoloških relacijah, nato projektivne in na koncu še evklidske relacije.
Dickson, Brown in Gibson (1991) opišejo topološke relacije, kot neodvisne od oblike in velikosti. Kako se te lastnosti kažejo v risanju otrok (Slika 5): bližina (npr. risanje oči skupaj);
ločenost (npr. glava in telo sta ločena, se ne prekrivata); urejenost (npr. nos je nad usti in med očmi); sklenjenost (npr. usta so znotraj glave, obraza) in neprekinjenost (npr. roke so narisane iz telesa).
Slika 5: Risba otroka na stopnji topoloških relacij, starost 4 leta in 4 mesece (Dickson, Brown in Gibson, 1991, str. 14)
Na stopnji projektivnih lastnosti je otrok sposoben predvideti, izgled istega predmeta iz različnih zornih kotov. Primer risbe, na kateri je moški narisan iz profila. Otrok nariše cel obraz, z dvema očesoma, ne samo z enim, kot ga vidimo iz profila (slika 6) (Dickson idr., 1991).
20
Slika 6: Risba otroka na stopnji projektivnih relacij, starost 7 let (Dickson, Brown in Gibson, 1991) Evklidske lastnosti so tiste, ki vključujejo razdaljo, velikost in usmerjenost. Vse to pa vodi do merjenja dolžin, kotov, površin, prostornin itd. Med različnimi oblikami, liki razlikuje po različni dolžini stranic, velikosti kotov (Dickson, Brown in Gibson, 1991).
Po Piagetevi teoriji otroci najprej razlikujejo oblike na podlagi topoloških lastnosti, potem na podlagi projektivnih in na koncu na podlagi evklidskih lastnosti (Dickson, Brown in Gibson, 1991).
Teorija Piageta in Inhelderjeve je bila tarča številnih kritik in omenili bomo nekatere med njimi.
Očitalo se jima je, da je teorija preveč pozornosti dajala na razlikovanje med zaznavanjem in predstavljanjem, ki jih Piaget zelo razlikuje, čeprav gre za zelo povezana procesa (Lesh in Mierkiewicz, 1978, v Mešinović idr., 2019), dvomljiva je tudi raba izrazov, ki niso matematično čisto pravilni: topološki, evklidski, bližina, razlikovanje (Clements in Battista, 1992, v Mešinović idr., 2019), Dickson, Brown in Gibson (1991) pa so poudarili še, da se v teoriji ne prakticira matematičnih definicij, ki veljajo za določene topološke, projektivne in evklidske lastnosti.
3. DIDAKTIČNI PRIPOMOČKI
Didaktični pripomočki so pri pouku matematike zelo pomembni. Učenci si z njimi pomagajo pri učenju in razumevanju matematičnih pojmov.
Didaktični pripomočki so vsi pripomočki, ki jih učenci in učitelji uporabljajo pri učenju in poučevanju. Zanje poznamo različne izraze: didaktični pripomočki, didaktični material, učna sredstva, didaktični medij ipd. (Mešinović idr., 2019).
V učnem načrtu za matematiko so pod didaktičnimi priporočili navedena tudi priporočena didaktična sredstva. Za prvo in drugo vzgojno-izobraževalno obdobje so predlagana:
− konkretni material,
− geometrijski modeli teles in likov,
