Predštevilske vsebine
Cilji predštevilskega obdobja so razviti številske pojme, povezane s količino, razviti odnose med številskimi pojmi in ozavestiti situacije iz vsakdanjega življenja. Med temeljne dejavnosti predštevilskega obdobja uvrščamo opazovanje, razvrščanje in urejanje. Razvrščanje in urejanje spodbujata miselni razvoj ter sta osnovi za kasnejše logično-matematično razmišljanje (Lipovec in Antolin Drešar, 2019). Z razvojem razvrščanja in urejanja se povezuje razumevanje števil (Hohmann in Weikart, 2005), zato sodita med najpomembnejše dejavnosti predšolskega obdobja (Lipovec in Antolin Drešar, 2019)
Razvrščanje
Razvrščanje ali klasifikacija je po Piaget in Szeminska (1941, v Desoete idr., 2009) definirano kot logična sposobnost razvrščanja predmetov na podlagi podobnosti, ob kateri zanemarimo razlike. Medtem ko Lipovec in Antolin Drešar (2019) razvrščanje definirata kot »proces oblikovanja skupin glede na dano značilnost oziroma značilnosti« (str. 79), katerega osnovni cilj je vzpostavljanje reda med elementi, s čimer ti postanejo števni. Temeljno sposobnost razvrščanja otrok razvije v drugem mesecu starosti, zgodnje razvrščanje temelji na zaznavanju podobnosti, v enostavne pojmovne kategorije pa otrok razvršča predmete med devetim in dvanajstim mesecem starosti (Zupančič, 2009). Pri enem letu starosti se pri otroku pojavi aktivno razvrščanje predmetov, kar pomeni, da otrok razvršča z dotikom predmetov, ki sodijo skupaj (Mandler in McDonough, 1993, v Zupančič, 2009). Pri osemnajstih mesecih otrok razvršča predmete tako, da jih zlaga v skupine, sposoben je razvrščanja v dve ločeni kategoriji sočasno (Gopnik in Meltzoff, 1987, v Zupančič, 2009). Pri dveh letih otrok združuje barve in identične oblike v skupine (Ivić, 2002). Pri treh letih otrok razvrsti oblike in barve ter velike in male predmete (Ivić, 2002). Otrok sprva predmete razvršča glede na eno značilnost, v obdobju med 7. in 9. letom se pojavi multipla klasifikacija, kar pomeni, da je otrok sposoben predmete razvrstiti glede na več značilnosti (Marjanovič Umek in Svetina, 2009).
Urejanje
Urejanje ali seriacija je po Piaget (1969, v Marjanovič Umek, 2009) sposobnost otroka, da predmete uredi v vrstnem redu glede na določeno značilnost. Lipovec in Antolin Drešar urejanje definirata kot »proces ureditve množice predmetov glede na intenzivnost vrednosti določene spremenljivke: od najmanjšega do največjega, od najdebelejšega do najtanjšega …«(str. 79).
Otrok miselno operacijo seriacije razvije v obdobju od 6. do 11. leta (Marjanovič Umek in Svetina, 2009). Okrog 8. leta pa otrok poleg urejanja predmetov po različnih lastnostih primerja velikosti ter jih uredi po vrstnem redu, ob tem pa razume, da je določen predmet v zaporedju večji kot predhodni ter manjši kot naslednji (Inhelder in Piaget, 1969, v Marjanovič Umek in Svetina, 2009).
21
Dejavnosti za razvoj predštevilskih vsebin v vrtcu
Razvrščanje in urejanje sta dejavnosti, ki spodbujata razvoj pojma števila, zato ju je pomembno vključevati v vsakdan vrtca. Strokovni delavci vrtca otroka spodbujajo k razvrščanju in urejanju v igri, za katero naj priskrbijo različne predmete, kot so krožniki, škatle, gumbi, perlice, lesene kocke, kamni, oreščki, avtomobilčki, frnikole in drugi (Hohmann in Weikart, 2005), ter ob tem opazujejo težavnostno raven urejanja in razvrščanja, v skladu s katero oblikujejo načrtovane dejavnosti (Kurikulum za vrtce, 2018).
Otrok, star od 3 do 6 let v vrtcu glede na Kurikulum za vrtce (2018) razvija sposobnosti, znanja in veščine s področja predštevilskih vsebin z dejavnostmi s področja matematike, pri katerih:
• razdeljuje predmete v dve ali več skupin,
• razvršča splošno ali po pravilu eden z enim,
• odkriva pomembnost urejenosti eden z enim,
• razvršča stvari v vrste eno za drugo, v parih ali trojicah,
• deli skupine predmetov ali snovi,
• shranjuje igrače v zaboje, škatle, košare (škatla za lesene kocke, škatla za plišaste igrače),
• razporeja predmete v malo in veliko skupin glede na različne lastnosti (po barvi, obliki, materialu …),
• predmete ureja po padajoči ali naraščajoči lastnosti.
Pojem števila
Razvoj pojma števila
Pojem števila se pri otroku razvija skozi leta, gradi ga na pojmu stalnosti predmeta, ki se razvija že v obdobju, ko je še dojenček (Hohmann in Weikart, 2005). Prav tako tudi spretnosti besednega štetja, katerih razvoj se začne med 2. in 3. letom starosti (Gelman in Gallistel, 1978).
Hohmann in Weikart (2005) kot tri ključne izkušnje števil, preko katerih otroci v predšolskem obdobju razvijajo razumevanje in uporabo števil, navajata »primerjanje števila stvari iz dveh nizov, da bi določili »več«, »manj« in »enako število«, razvrščanje dveh nizov predmetov v razmerju eden na enega in štetje predmetov« (str. 476).
Po raziskavah Piageta o številski pripravljenosti otrok k razumevanju pojma števila prispeva razvoj naslednjih logičnih misli:
• Enakost na podlagi ujemanja ena proti ena
Ujemanje ena proti ena je temelj za nadaljnje razumevanje množenja. Najpreprostejši in najbolj neposreden način primerjanja enakosti je vzporejanje, ki od otroka ne zahteva štetja. Za otroka, mlajšega od 6 let, je vzporejanje zahtevno. Abstraktnejši primer ujemanja ena proti ena pa predstavlja vzporejanje števil s predmeti.
22
• Konzervacija števil
Razvoj razumevanja konzervacije je postopen. Otrok, mlajši od 7 let, konzervacije ne razume, zanj število predstavlja dolžina vrste.
• Seriacija
Seriacija temelji na primerjanju. Otrok pri 6 letih in pol uspešno naredi dvojni niz po sistemu poskusov in napak, medtem ko otrok od 7. leta in pol dalje sistematično gradi nize, in sicer tako da najprej postavi najmanjši in največji predmet. Otrok začenja razumeti urejanje števil, ki so abstraktna, takrat ko začenja razumevati urejanje fizičnih predmetov. Razume, da je vsako število/člen pri štetju več od prejšnjega in manj od naslednjega.
• Razredna inkluzija
Otrok pred 7. letom ni sposoben mentalne inkluzije, po 7. letu se poveča miselna prožnost, zato otrok razume odnos med »vsi« in »nekateri«. Ko otrok šteje predmete, ki niso enaki, med njimi ne opazi razlik, temveč so vsi predmeti člani splošnega razreda s pripisano enoto. To pomeni, da štetje postane poimenovanje zaporednih nizov, otrok pa pri štetju predmete postavlja v niz, v odnos razredne inkluzije (Labinowicz, 2010).
Štetje
Otroci se že v zgodnjem otroštvu vključujejo v dejavnosti, ki so povezane s števili (Saxe idr., 1987, v Geary, 1994), kot so štetje igračk in socialne igre, v katere starši pogosto vključujejo števila in štetje (Geary, 1994), prve izkušnje o številih otrok pridobiva z besednim štetjem (Labinowicz, 2010). Zaradi naravne vpetosti aktivnosti s števili in pomembnosti razvoja osnovnih številskih spretnosti je ena izmed primarnih nalog predšolskega in zgodnjega šolskega obdobja razvoj razumevanja koncepta števila in obvladovanje štetja (Resnick, 1983, v Geary, 1994), k čemer vodijo tudi dejavnosti s področja predštevilskih vsebin (Hodnik Čadež, 2004).
Znanje štetja je sestavljeno iz proceduralnega in konceptualnega znanja (Dowker, 2005;
LeFevre idr., 2006). Proceduralno znanje štetja je definirano kot otrokova zmožnost, da izvede matematično nalogo, kot na primer: uspešno ugotovi, da je v vrsti določeno število predmetov (LeFevre idr., 2006), medtem ko konceptualno znanje zajema otrokovo razumevanje o delovanju postopka štetja (Hiebert in LeFevre, 1986, v LeFevre idr., 2006). Konceptualno znanje štetja zajema razumevanje petih principov štetja (Gelman in Gallistel, 1978; LeFevre idr., 2006). Otrokovo štetje se razlikuje od štetja odraslega človeka, saj ta šteje tudi, ko ne upošteva vseh principov štetja. Otrok sprva razume le določene principe štetja ter jih med seboj ni zmožen koordinirati, vendar to ne pomeni, da otrok ne razume procesa štetja, saj je štetje mogoče tudi brez uporabe standardnih števnikov. O štetju govorimo, kadar otrok vedno uporablja enotne oznake v določenem nespremenljivem vrstnem redu, ki pa se ne nanašajo na konkretne predmete. Za obvladovanje štetja pa mora otrok uspešno koordinirati vseh pet principov štetja (Gelman in Gallistel, 1978):
23
• Princip prirejanja
Poznavanje vrstnega reda števil ni dovolj za pravilno štetje (Gelman in Gallistel, 1978), čeprav otrok našteva števila v pravilnem vrstnem redu, njegovo štetje ni pravilno (Labinowicz, 2010).
Vsak model štetja zahteva uporabo prirejanja 1:1, kar pomeni, da je lahko vsakemu štetemu predmetu dodeljena ena številčna beseda. Načelo zahteva usklajevanje dveh procesov:
razdeljevanja (razdelitev med tistimi predmeti, ki so že bili prešteti, in tistimi, ki še niso bili prešteti) in označevanja (označevanje predmeta z določenim številom) (Gelman in Gallistel, 1978).
Po Gelman in Gallistel (1978) otrok, star od 2 do 4 let, upošteva princip prirejanja, če za vsak šteti predmetu uporabi različno besedo.
• Princip urejenosti
Pri štetju ne zadošča le uporaba besed, te morajo biti za pravilno štetje razvrščene v stalen, nespremenljiv vrstni red (Manfreda Kolar, 2006). Oznake, ki jih med štetjem otrok daje predmetom, morajo biti urejene v stalnem, nespremenljivem redu. Otrok začne pri 2 letih uporabljati imena števil med štetjem, vendar ta niso v pravilnem zaporedju (Gelman in Gallistel, 1978). Otrok pozna in uporablja števila v pravilnem zaporedju od 1 do 10 pri 3 do 4 letih (Fuson, 1988, Siegler in Robinson, 1982, v Geary, 1994). Med 7. in 8. letom starosti otrok pozna in uporablja števila v pravilnem zaporedju do 20 (Siegler, 1998, v Marjanovič Umek in Svetina, 2009).
Po Gelman in Gallistel (1978) otrok od 2 do 4 let upošteva princip urejenosti, če:
• uporablja konvencionalno zaporedje števnikov,
• uporablja drugo standardno zaporedje izrazov,
• nestandardno zaporedje uporablja konsistentno.
• Princip kardinalnosti
Kardinalno načelo pomeni, da ima končna oznaka (kardinalno število) v seriji poseben pomen, saj predstavlja lastnost niza kot celote. Princip kardinalnosti se razvije kasneje kot princip prirejanja in princip urejenosti. Otroci, stari med 3 in 5 let, večinoma dobro rešujejo naloge, ki od njih zahtevajo razumevanje kardinalnega števila, vendar otroci razvijejo razumevanje koncepta kardinalnosti šele pri 7. do 8. letu (Piaget, 1959).
Po Gelman in Gallistel (1978) otrok, star od 2 do 4 let, upošteva princip kardinalnosti, če izpolnjuje vsaj enega izmed naslednjih kriterijev:
• prešteje predmete in zadnji števnik ponovi,
• pri izgovorjavi poudari zadnji števnik,
• otrok prešteje množico in brez ponovnega štetja pove, koliko je predmetov v množici,
• otrok pove, koliko je predmetov v množici, ne da bi pred tem glasno štel.
24
• Princip abstrakcije
Za razliko od zgornjih treh principov, ki povedo, kako štejemo, in jih avtorja imenujeta »kako šteti« (how to count) principi, pa princip abstrakcije navaja, da se lahko vsa predhodna načela uporabijo za katerokoli poljubno množico. Ob tem se avtorjema pojavlja vprašanje, ali se predšolski otroci zavedajo, da lahko štetje uporabljajo ne le za predmete, temveč tudi stvari, ki jih ne vidijo (Gelman in Gallistel, 1978). Hodnik Čadež (2004) navaja, da otrok šteje:
• stvari, ki jih lahko premika,
• stvari, ki se jih lahko dotakne, vendar jih ne more premakniti,
• stvari, ki jih vidi, vendar se jih ne more dotakniti,
• stvari, ki jih ne vidi.
• Princip nepomembnosti vrstnega reda štetja
Princip pove, da ni pomembno, kako šteješ, oziroma da vrstni red, v katerem so predmeti označeni, ni pomemben, torej ni pomembno, kateri predmet prejme določeno oznako. Otrok, ki ima usvojen princip nepomembnosti vrstnega reda štetja, po Gelman in Gallistel (1978) ve:
• da števnik ne opredeljuje točno določenega predmeta,
• da so besedne oznake (števniki) dodeljene predmetu začasno ter niso ena izmed njegovih lastnosti,
• ne glede na vrstni red štetja, je kardinalno število enako.
6.1.2 Dejavnosti za razvoj pojma števila v vrtcu
Usvojitev pojma števila je zelo pomemben mejnik v predšolskem obdobju, zato je pomembno, da se otrok seznanja s števili v raznolikih okoliščinah. Otrokom v vrtcu štetje pogosto predstavlja težavo (Lipovec in Antolin Drešar, 2019). Pomembno je, da otrok v vrtcu sliši pravilno štetje, strokovni delavci vrtca so tisti, ki pravilno štetje modelirajo, za kar izkoristijo dejavnosti vsakodnevne rutine, kot so: pospravljanje igrač, nega, pogovor z otrokom, sprehod, oblačenje, priprava na hranjenje (Kurikulum za vrtce, 2018).
Otrok, star od 3 do 6 let, v vrtcu glede na Kurikulum za vrtce (2018) razvija sposobnosti, znanja in veščine s področja pojma števila z dejavnostmi s področja matematike, pri katerih:
• imenuje in prelaga en po en predmet,
• imenuje predmete v neurejeni skupini s poljubnimi, različnimi imeni, nanje kaže in jih poimenuje (primer: kocka, kača, pujs, kocka, pujs),
• šteje predmete na sprehodu, ki jih ne more prijeti,
• razvija miselne operacije, ki so osnova za seštevanje in odštevanje,
• šteje urejene in neurejene stvari,
• posnema štetje s prsti,
• šteje stvari, ki jih je malo, in stvari, ki jih je veliko,
• šteje nazaj, v korakih po dve, tri,
• se igra s kalkulatorjem in drugimi predmeti, ki prikazujejo števila, kot so telefoni, koledarji, tehtnice, ter jih poimenuje,
• izbira prvi, drugi, tretji … predmet,
• izbira en, dva, tri predmete,
25
• predmete razdeljuje v skupine in opazuje, koliko predmetov je ostalo,
• šteje predmete in ljudi po odvzemanju ali dodajanju,
• sešteva in odšteva,
• se igra družabne in druge igre, pri katerih je potrebno štetje.
Matematični jezik
Matematika je bila že v delih prejšnjega stoletja večkrat omenjena kot jezik (Burton, 1994, Cockcroft, 1982, Ginsburg, 1977, v Worthington in Carruthers, 2003). Matematični jezik je zelo kompleksen, enake besede in besedne zveze uporabljamo pri opisovanju vsakodnevnih dogodkov, kakor tudi pri matematičnih vsebinah, poleg tega pa matematični jezik vsebuje specifične besede/matematične pojme, ki so v vsakodnevni uporabi redke (Worthington in Carruthers, 2003), kar od otroka zahteva uporabo pojmov, ki jih velikokrat ne razume (Jelenc in Novljan, 2001). Otrok se mora zato naučiti prevajati med vsakodnevnim in matematičnim jezikom – mnogi raziskovalci (Halliday, 1975, Hughes, 1986, Oers, 1997, v Worthington in Carruthers, 2003) učenje matematičnega jezika primerjajo z učenjem tujega jezika, zato je uspeh na področju matematike v veliki meri odvisen tudi od otrokovega razumevanja in uporabe jezika (Jelenc in Novljan, 2001).
Purpura idr. (2017) matematični jezik definirajo kot »razumevanje ključnih besed, ki se uporabljajo pri matematiki« (str. 117). Ključne besede oziroma matematične pojme Lipovec in Antolin Drešar (2019) definirata kot »objekte, okoliščine in lastnosti, ki se odlikujejo s skupno matematično značilnostjo in so v dani kulturi označeni z dogovorjenim znakom ali simbolom«
(str. 7).
Kot pomembna za zgodnje učenja matematičnega jezika ločimo dva vidika matematičnega jezika: kvantitativni matematični jezik in prostorski matematični jezik (Landau in Jackendoff, 1993; Pruden idr., 2011; Purpura idr., 2017). Prostorski matematični jezik obsega podmnožico besed, ki se nanašajo na lastnosti predmetov in prostorske značilnosti, kot so: dimenzije predmeta (velik, majhen, visok, debel), oblike predmeta (krog, trikotnik, štirikotnik), prostorske lastnosti predmeta (upognjen, raven, ukrivljen) (Pruden idr., 2011) in položaj predmeta (pod, na, v, med, levo, desno) (Landau in Jackendoff, 1993). Otroci, ki večkrat slišijo besede prostorskega matematičnega jezika, so bolj uspešni pri reševanju nalog, katerih navodila vsebujejo besede prostorskega matematičnega jezika, kot otroci, ki niso deležni uporabe besed prostorskega matematičnega jezika, saj je razumevanje le tega povezano z otrokovim prostorskim razmišljanjem (Pruden idr., 2011). Kvantitativni matematični jezik obsega besede, kot so več, manj, enako, več kot, manj kot, razumevanje le teh pa omogoča kvantitativno primerjavo med skupinami predmetov ali števili (Purpura idr., 2017).
26
Dejavnosti za razvoj matematičnega jezika v vrtcu
Učenje besed matematičnega jezika ni samostojna dejavnost, temveč je vpeljana v vsakodnevne dejavnosti in prosto rokovanje otrok s predmeti, pri čemer strokovni delavci upoštevajo interes in sposobnosti otroka (Kurikulum za vrtce, 2018
Otrok, star od 3 do 6 let, v vrtcu glede na Kurikulum za vrtce (2018) razvija matematični jezik z dejavnostmi s področja matematike, pri katerih:
• se pogovarja z vrstniki o svojih predmetih, koliko jih imajo, koliko več ali manj jih ima kot vrstnik,
• s simboli označuje, kateri prijatelji so v vrtcu, koliko jih ima dolge ali kratke hlače itd.,
• opazuje rabo simbolov in sodeluje v pogovorih o pomenu simbolov,
• v vsakdanjih situacijah pridobiva izkušnje o uporabi matematičnih besed,
• uporablja izraze za pojme najprej, potem, za, pred, zatem,
• uporablja izraze za opis geometrijskih in fizikalnih lastnosti, položaja, površine, velikosti, kot so okroglo, ravno, spodaj, levo, veliko, majhno itd.,
• se igra z geometrijskimi telesi in liki ter jih poimenuje,
• rabi izraze za geometrijske pojme,
• rabi izraze za primerjanje predmetov, kot so veliko, malo, več, manj, težji itd.
Reševanje enostavnih matematičnih besedilnih problemov
Po Lipovec in Antolin Drešar (2019) je problem naloga, ki od otroka zahteva samostojno načrtovanje poti do rešitve, za analizo problema mora otrok povezati vsebino naloge s podatki in ugotoviti, kakšni so odnosi med njimi, pri tem pa uporablja že pridobljeno znanje z različnih matematičnih vsebinskih področij (Charlesworth in Leali, 2012). Reševanje problemov se povezuje z miselnimi in govornimi sposobnostmi, zaznavanjem, spominom, razumevanjem pojmov, konteksta ter socialnimi, čustvenimi in motivacijskimi dejavniki (Deloache idr., 1998, v Umek in Svetina, 2009) ter vključuje uporabo štirih drugih procesov: obrazložitev, komunikacija, povezovanje in zastopanje (Charlesworth in Leali, 2012). Otrok pridobiva prve izkušnje reševanja problemov v predšolskem obdobju, ki so vodilo za oblikovanje splošnih pravil za reševanje nadaljnjih podobnih problemov (Umek in Svetina, 2009).
Primer matematičnega problema v predšolskem obdobju (prirejeno po Outhred in Sardelich, 1997): »Gregor je šel v živalski vrt. S seboj je vzel deset kosov kruha za hranjenje slonov. Ko je končal s hranjenjem, sta mu ostala še dva kosa. Koliko kosov kruha so pojedli sloni?«
Outhred in Sardelich (1997) navajata tri pomembne dejavnike, ki vplivajo na otrokovo uspešno reševanje matematičnih problemov: zavezanost strokovnega delavca k rešitvi problema, sistematična navodila in otroku smiselna predstavitev problema. Pri mlajših otrocih je najbolj smiselna uporaba konkretnega materiala, s katerim mu predstavimo problem. Preproste problemske situacije otrok rešuje pri 4. letu starosti (Ivić, 2002). Outhred in Sardelich (1997) predlagata, da otrok po rešitvi problema nariše risbo, preko katere predstavi način rešitve problema, kar odrasli osebi omogoča vpogled v razumevanje in otrokovo reševanje problema (Hohmann in Weikart, 2005), otrok pa ob tem dodatno razmisli o poteku reševanja (Outhred in Sardelich, 1997).
27
Dejavnosti za razvoj strategij reševanja matematičnih problemov v vrtcu
Okolje v vrtcu mora otrokom omogočiti napačne rešitve pri reševanju problemov, ki so priložnosti za napredek, če strokovni delavec ob napaki ustvari ustrezno situacijo, ki otroka popelje do pravilne rešitve, ter razmislek za načrtovanje poti do pravilne rešitve. Poleg rešitve je pomembno otroka spoznati tudi s postopkom preverjanja rešitve ter kriteriji, ki odločajo, ali je ta smiselna (Kurikulum za vrtce, 2018).
Otrok, star od 3 do 6 let, v vrtcu glede na Kurikulum za vrtce (2018) razvija spretnosti, znanja in veščine za reševanje življenjskih matematičnih problemov z dejavnostmi s področja matematike, pri katerih:
• odgovarja na enostavna vprašanja vsakdanjih opravkov, pri čemer sešteva in odšteva,
• se pogovarja in pojasnjuje, kaj se je zgodilo najprej kot vzrok in kaj je nastalo kot posledica,
• se z odraslimi igra igre odgovarjanja na vprašanja, ki se začnejo z 'Zakaj',
• v vsakdanjih situacijah pridobiva izkušnje o uporabi besed nikoli, skoraj, mogoče, verjetno in drugih,
• napoveduje rezultat,
• opazuje in izkusi zaporedje dogodkov, se pogovarja o njihovi medsebojni povezanosti in uporablja izraze za pojme najprej, potem, pred, preden, za, zatem, nazadnje,
• pridobiva izkušnje o tem, kaj v določeni situaciji vedno/nikoli/včasih drži,
• opazuje, da je včasih možnih več poti do rešitve,
• samostojno načrtuje celotno aktivnost,
• razlaga svoj načrt, potek dela in rezultat,
• pri izpeljavi aktivnosti beleži vmesne rešitve,
• razmišlja o smiselnosti rezultata,
• vnaprej razmišlja o pričakovanem rezultatu,
• se igra igre, pri katerih mora razmišljati in načrtovati, kako bo prišel do cilja.
28