Potrebna matematična znanja za reševanje enačb

Učencem z učnimi ter s specifičnimi učnimi težavami lažje pomagamo, če prepoznamo, na katerem področju matematike imajo težave. Gagne v svoji taksonomiji matematično znanje razdeli na štiri ravni: priklic, konceptualna znanja, proceduralna znanja in problemska znanja. Vsi tipi znanj se med seboj prepletajo, zato jih je težko ločevati. Konceptualno znanje je do neke mere pogoj za proceduralno znanje, problemsko znanje pa je deloma splošno, deloma pa se veže na konkretne vsebine in zahteva dobro konceptualno in proceduralno znanje (Žakelj, 2003, v Kozel idr., 2019).

Učenci z razvojno diskalkulijo imajo težave predvsem pri usvajanju priklica, konceptualnega in proceduralnega znanja (Magajna idr., 2008).

2.4.3.2.1 Priklic

Med temeljne elemente priklica sodijo poznavanje specifičnih dejstev, terminologije (npr. kilogram, štirikotnik, enačba, spremenljivka) in osnovnih pojmov, numeričnih dejstev (tabela množenja, seštevanja ipd.) ter formul, nekaterih definicij in izrekov (npr.

vsota kotov v trikotniku) ter poznavanje simbolov. Priklic matematičnih dejstev učencem omogoča reševanje problemov, naučijo pa se ga s ponavljanjem, memoriranjem smisla, mnemotehničnimi triki in podobno. Zmožnost priklica je pomemben dejavnik matematičnega znanja, vendar je ključno, da učenec razume smisel priklicanih dejstev ter povezave med njimi (Magajna, 2011).

2.4.3.2.2 Konceptualno znanje

Konceptualno znanje Gagne opredeli kot razumevanje pojmov in dejstev, kamor spadajo prepoznavanje in uporaba terminologije in simbolike v dani situaciji, poznavanje dejstev, definicij, načel in zakonitosti, primerjanje in razlikovanje med sorodnimi pojmi in podobno (Kozel idr., 2019; Magajna, 2011). Najpogostejše strategije za poučevanje konceptualnih znanj vključujejo uporabo primerov in protiprimerov (Rugelj, 2014). Glagoli, s katerimi v nalogah preverjamo konceptualno znanje, so: obkroži, podčrtaj, navedi nekaj primerov, navedi nekaj protiprimerov, opiši, pojasni, definiraj in podobno.

Učitelj lahko pri usvajanju konceptualnega znanja učencem pomaga tako, da (Cotič in Žakelj, 2004, v Kozel idr., 2019):

• ve, kdaj v učni proces vpeljati nove pojme,

• pozna način konstruiranja znanja učencev,

• ve, da je vrstni red učenja in poučevanja odvisen od strukture obstoječega znanja.

2.4.3.2.3 Proceduralno znanje

V proceduralno znanje sodi poznavanje in učinkovito obvladanje algoritmov in postopkov (Cotič in Žakelj, 2004, v Kozel idr., 2019). Z drugimi besedami lahko proceduralno znanje opredelimo kot zaporedje korakov, ki jih moramo narediti v pravem zaporedju, da pridemo do nekega cilja (Rugelj, 2014). Hkrati proceduralno znanje vključuje preverjanje in utemeljevanje pravilnosti postopka, branje in izdelovanje tabel in diagramov, izvajanje geometrijskih konstrukcij in podobno. Glagoli, s katerimi preverjamo proceduralno znanje, so: »izračunaj, reši, konstruiraj, izvedi postopek, nariši, dopolni, preveri, opiši postopek …« (Magajna, 2011).

Prior (1996, v Kavkler, 2007) navaja nekaj problemov s področja proceduralnega znanja, ki jih opazimo pri otrocih s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki:

• težave pri obvladovanju postopka štetja (npr. v zaporedju po 5, 10 …),

• težave pri zapisu števil pri izvajanju postopka pisnega množenja, deljenja ipd.,

• netočno izvajanje postopkov osnovnih aritmetičnih operacij (ustnega in pisnega računanja),

• počasnost pri izvajanju aritmetičnih postopkov itd.

2.4.3.2.4 Problemsko znanje

Problemsko znanje lahko opredelimo kot uporabo znanja v novih situacijah, uporabo kombinacij več pravil in pojmov pri soočanju z novo situacijo ter sposobnost uporabe konceptualnega in proceduralnega znanja (Cotič in Žakelj, 2004, v Kozel idr., 2019).

Med elemente problemskega znanja sodijo prepoznavanje in formuliranje problemov, obravnava zadostnosti in konsistentnosti podatkov, uporaba različnih strategij, modelov in ustreznih matematičnih orodij pri reševanju problema, izvajanje različnih miselnih veščin v novih okoliščinah ter presoja o smiselnosti in ustreznosti rešitve (Magajna, 2011).

2.4.3.3 Pogoji za uspešno reševanje enačb

Za uspešno reševanje linearnih enačb z eno neznanko morajo učenci:

• imeti usvojen pojem števila (Bračič, 2020),

• razumeti osnovne računske operacije (seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje) (prav tam),

• razumeti pomen enačaja v enačbi, ki pomeni »je enako kot«,

• razumeti pomen enačbe (Alibali, 1999, v Otten idr., 2019).

2.4.3.3.1 Pojem števila

Otroci se v vsakdanjem življenju že zelo zgodaj spoznajo z matematiko in štetjem.

Pregled imajo nad vsakdanjimi predmeti, ki jih primerjajo, preštevajo, razvrščajo, poimenujejo in se o njih pogovarjajo. Otroka ne moremo naučiti pojma števila, ampak ga mora doumeti in ob različnih dejavnostih opredmetiti (Dobovšek, 2017).

Otroci z diskalkulijo imajo pri dojemanju pojma število velike težave. Potrebujejo materialne opore (preglednice, prste), poudarek učenja pa mora biti na dejavnostih s predmeti. Na začetku uporabljamo predmete iz narave, na primer kamenčke, fižolčke,

prste, nato preidemo na uporabo preglednic, številčnih trakov in podobno, šele nazadnje pa uporabljamo abstraktne simbole – števila (Dobovšek, 2017).

Pojem občutek za števila in količine

Pojem občutek za števila in količine je težko definirati, zato se definicije pri različnih avtorjih razlikujejo. V splošnem lahko definiramo, da občutek za števila in količine zajema posameznikovo dojemanje števil ter operacij s števili (McIntosh, Reys in Reys, 1992; Yang, 2003, v Akkaya, 2016). V zadnjih letih je ta pojem postal vse pogostejša tema raziskovanja na področju didaktike matematike. Učenci, ki ne usvojijo pojma števila ter povezav med števili in računskimi operacijami, posledično slabše razumejo tudi ostale matematične pojme.

Vzrok za slabo dojemanje pojma števila in računskih operacij je pogosto način poučevanja matematike, pri katerem se učenci učijo zgolj pravil in postopkov, ne pa tudi pomena matematičnih pojmov in odnosov med njimi (Ekenstam, 1977, v Akkaya, 2016). Tudi v učnem načrtu matematike je poudarjeno, da je pri procesu oblikovanja pojma število nujna uporaba konkretnih materialov, nazornih ponazoril, primernih didaktičnih sredstev itd. Ne smemo se omejiti zgolj na slikovne materiale, saj je njihova uporaba na začetku za otroke preveč abstraktna. Dejavnosti, primerne za razvoj številskih predstav, so urejanje števil po velikosti, odnosi in štetje. Učenci naj štejejo naprej, nazaj in po korakih (npr. po 2 naprej) (Program osnovna šola matematika. Učni načrt, 2011).

Razvijanje občutka za števila in količine pri učencih je ključnega pomena za nadaljnje učenje zahtevnejših matematičnih pojmov, zato je treba temu dati pri pouku matematike večji poudarek. Pri obravnavi novih pojmov ne smemo pozabiti na uporabo konkretnih materialov, ki učencem z diskalkulijo pomembno olajšajo učenje. Z raziskavami so namreč potrdili, da učenci z uporabo konkretnih materialov lažje usvajajo matematične pojme, so bolj motivirani za učenje in bolje rešujejo matematične probleme, znanje pa kasneje bolj uspešno uporabijo tudi v vsakdanjem življenju (Mazzocco idr., 2008, v Maryam idr., 2011).

Razvijanju občutka za števila in količine je v slovenskih osnovnih šolah namenjeno nekaj pozornosti, a se učitelji in strokovni delavci premalo zavedajo, da sta obvladovanje občutka za število in specifične učne težave pri matematiki (še posebno diskalkulija) tesno povezana pojma (Kavkler, 2014).

2.4.3.3.2 Razumevanje osnovnih računskih operacij

V procesu oblikovanja pojma števila ter usvajanja konceptualnega in proceduralnega znanja seštevanja in odštevanja je pomembno, da učenci aktivnosti na konkretni ravni izvajajo toliko časa, da naredijo miselni preskok preko slikovne na abstraktno raven

(Program osnovna šola matematika. Učni načrt, 2011). Ta miselni preskok je prehod od konkretnega k formalnemu matematičnemu jeziku. Učenci, ki ta preskok usvojijo, razumejo povezavo med vprašanjem »Koliko je dva plus tri?« in »Imaš dva piškota in tri čokolade. Koliko je vseh skupaj?« (Dobovšek, 2017).

Učenci lahko pojem seštevanja in odštevanja usvojijo z različnimi aktivnostmi s konkretnimi primeri, kot na primer združevanje oziroma odvzemanje množic konkretnih predmetov, združevanje oziroma odvzemanje predmetov, ki niso več raznovrstni, primerjanje števil in podobno. Tako postopno preidejo s konkretnega na miselno področje in na koncu operaciji seštevanja in odštevanja zapišejo tudi s simboli (Markovac, 1990; Cockburn, 1989, v Slapar, 2012).

Ko se učenec prvič sreča z operacijo množenja oziroma s poštevanko, si pri računanju pomaga z metodami seštevanja in odštevanja, zato je tudi uspešnost pravilnega računanja odvisna od obvladanja štetja in seštevanja. Učenci si ob prvem srečanju z operacijo deljenja pri računanju pomagajo s predhodnim znanjem seštevanja ali množenja, zato je pogoj za hitro računanje primerov z deljenjem obvladanje poštevanke (Geary, 1994).

Učenci s specifičnimi učnimi težavami imajo težave pri priklicu postopkov iz dolgoročnega spomina, zato jim poštevanka povzroča veliko težav. Pri reševanju računov poštevanke so počasni ter uporabljajo napačne strategije in postopke. Kljub rednim treningom velikokrat iz dolgoročnega spomina prikličejo napačen rezultat (Kavkler, 2007).

2.4.3.3.3 Pomen enačaja

Enačaj v algebri pomeni enakost. To pomeni, da je nekaj, kar je napisano na eni strani, enako tistemu, kar je napisano na drugi strani enačaja. Učenci imajo z dojemanjem tega velikokrat težave, saj enačaj vidijo kot navodilo za izvedbo neke operacije. Ko vidijo enačaj, hkrati vidijo navodilo, da morajo izračunati rezultat (Haylock, 2010, v Matičko, 2018). S takšnim razumevanjem pomena enačaja so lahko učenci uspešni pri reševanju standardnih računov, kot je 5 + 3 = ___ , pri reševanju enačb in nasploh pri učenju algebre pa imajo lahko težave (Perry idr., 1988, v Hattikudur in Alibali, 2010).

Učenci morajo pri učenju algebre dojeti, da pomeni enačaj enakovrednost oziroma ekvivalenco. Takšnega razumevanja vsekakor ne dosežemo, če učenca učimo, da se postopke nauči na pamet, npr. premakniti izraze z ene strani enačaja na drugo in pri tem primerno spremeniti predznake (Roj-Lindberg idr., 2017, v Matičko, 2018).

2.4.3.3.4 Pomen enačbe

Reševanje enačbe pomeni iskanje neznanke na podlagi enakovrednih izrazov na vsaki strani enačaja. Učenci morajo razumeti, da ima v enačbi izraz na levi strani enako vrednost kot izraz na desni strani, to pa mora veljati ves čas reševanja enačbe (Alibali, 1999; Kieran idr., 2016, v Otten idr., 2019). Napake, ki jih učenci naredijo pri reševanju enačb, so najpogosteje posledica slabega razumevanja pomena enačaja, zato je pomembno, da imajo pred obravnavo enačb učenci ustrezno konceptualno znanje o pomenu enačaja (Knuth idr., 2006, v Otten idr., 2019). Učenci pogosto napačno računajo enačbe zaradi nerazumevanja znaka minus, saj ga povezujejo le z operacijo odštevanja, ne pa tudi z negativnimi števili. Tako lahko pojasnijo pomen števila 9 v izrazu x − 9, težave pa imajo, ko − 9 obravnavamo kot samostojno število (Linchevski in Williams, 1999; Vlassis, 2002, 2004, v Booth idr., 2017).

Napake učencev pri reševanju enačb so lahko posledica nerazumevanja pojma spremenljivke. Učenci pogosto razumejo, da črka v enačbi predstavlja nek objekt ali oznako, ne pa neznano število (Clement, 1982; Usiskin, 1988; MacGregor in Stacey, 1997; Stacey in McGregor, 1997; Asquith idr., 2007; McNeil idr., 2010, v Booth idr., 2017). Nekateri učenci spremenljivko v algebrskih izrazih ignorirajo in izračunajo, da ima izraz (n + 5) + 4 vrednost 9, drugi pa mislijo, da je spremenljivka povezana s položajem črke v abecedi in zapišejo, da je vrednost izraza # + 2 enaka $ (Kuchemann, 1978; Herscovics in Kieran, 1980; Watson, 1990, McGregor in Stacey, 1997; Asquith idr., 2007, v Booth idr., 2017). Nekateri učenci imajo težave z razumevanjem, da črka, ki se večkrat pojavi v nekem izrazu, vedno predstavlja enako število (Swan, 2000;

Stephens, 2005, v Booth idr., 2017), drugi pa napake delajo zaradi napačnega razumevanja, da je na primer 2 + enako kot 2 (Booth, 1986).