Raziskave o pogojih za uspešno reševanj enačb

Raziskavo o občutku za števila in količine je izvedel Akkaya (2016), ki je s preizkusom znanja ugotavljal, kako dober občutek za števila imajo učenci, stari med 10 in 14 let, v Turčiji. V raziskavo je vključil 576 učencev iz 5., 6., 7. in 8. razreda. Na preizkusu znanja je bilo 50 vprašanj oziroma kratkih nalog, vsaka je bila ovrednotena z 1 točko. Vsak udeleženec raziskave je torej na testu lahko dosegel največ 50 točk in najmanj 0 točk. Učenci so na preizkusu znanja v povprečju dosegli 11,92 točk, kar predstavlja 23,9 % vseh možnih točk. Na podlagi rezultatov lahko opazimo, da imajo učenci težave z dojemanjem števil in operacij med njimi, a se njihovo znanje z leti izboljšuje, saj so učenci višjih razredov v povprečju dosegli več točk kot učenci nižjih razredov. Učenci so najslabše reševali naloge, ki so zajemale različne zapise in predstavitve števil.

Primer take naloge iz preizkusa znanja je: »Uredi števila 0,595 , , 61 %, 0,3, 50 % po velikosti od največjega do najmanjšega.« Najbolje so učenci reševali naloge, ki so zahtevale zapis enakovrednega izraza že napisanemu izrazu. V splošnem so bili pri reševanju tovrstnih nalog najbolj uspešni, a so vseeno imeli težave pri zapisu ekvivalentnega izraza k izrazu 0,5 ∙ 840. Akkaya (2016) je z raziskavo ugotovil, da imajo učenci slabo razvit občutek za števila. Podobne rezultate so predstavili tudi številni drugi raziskovalci (Harç, 2010; Işık in Kar, 2011; İymen, 2012; Kayhan-Altay, 2010; McIntosh idr., 1992; Reys idr., 1999; Singh, 2009; Verschaffel idr., 2007, v Akkaya, 2016). Za boljše razvijanje občutka za števila pri učencih bi morali učitelji dati večji poudarek učenju matematike z reševanjem problemov, povezanih z vsakdanjim življenjem, manj pa se posluževati načinov poučevanja, kjer se učenci na pamet naučijo določene koncepte in postopke (De Corte, 2004, v Akkaya, 2016).

Kot že omenjeno, so učenci na preizkusu dosegli najslabše rezultate pri nalogah, kjer je bilo potrebno razumevanje različnih zapisov števil ter odnosov med njimi. Učenci torej slabo razumejo odnose med ulomki, decimalnimi števili in odstotki (Akkaya, 2016). Velikokrat so prepričani, da sta ulomek in decimalno število 0,25 povsem različni števili, dejstvo, da gre le za drugačen zapis istega števila, pa spregledajo (O'Connor, 2001, v Akkaya, 2016). Veliko učencev ima težave z upodabljanjem decimalnih števil, ulomkov in odstotkov na številski premici, saj se pri pouku matematike ti pojmi pogosto obravnavajo ločeno, s premalo poudarka o povezavah med njimi.

Tudi Maryam idr. (2011) so z raziskavo ugotovili, da je poudarek na razumevanju števil pri učencih pomemben tako za učence z diskalkulijo kot tudi za njihove vrstnike.

Raziskavo so izvedli z učenci, starimi med 8 in 12 let. Vključili so 32 učencev z diskalkulijo in 32 vrstnikov. Polovica vsake skupine je sodelovala pri 12 učnih urah, kjer so z različnimi reprezentacijami in nalogami razvijali občutek za števila, druga polovica pa je predstavljala kontrolno skupino, ki učnih ur ni bila deležna. Med učenci eksperimentalne in kontrolne skupine so se pojavile statistično pomembne razlike v znanju na preizkusu znanja pred učnimi urami in preizkusu znanja po učnih urah o številih. Ugotovili so tudi, da so učenci z diskalkulijo dosegli slabše rezultate na obeh preizkusih znanja kot vrstniki.

Raziskavo o napačnih predstavah, povezanih z osnovnimi računskimi operacijami, učencev 7. razreda, starih med 11 in 13 let, sta izvedla tudi indonezijska raziskovalca Jabal in Rosjanuardi (2019). Pomembno je, da znamo odkriti, kdaj gre pri izvajanju osnovnih računskih operacij za napake in kdaj za napačne predstave učencev, saj so posledica obeh učenčevi napačni izračuni. Napake pri računanju učenci pogosto naredijo zaradi neprevidnosti, hitrega računanja, težav z branjem, napačnega razumevanja navodil in podobno. Napačne predstave pa so največkrat rezultat slabega razumevanja določenih matematičnih pojmov ali napačnega izvajanja postopkov (Mohyuddin in Khalil, 2016, v Jabal in Rosjanuardi, 2019). Napake pri računanju razdelimo na sistematične in nesistematične. Prve so posledica napačnih

predstav in zmot v mišljenju, druge pa so nenamerne in neponavljajoče se napake, ki jih učenci lahko sami zaznajo in popravijo (Riccomini, 2005, v Jabal in Rosjanuardi, 2019). V raziskavo je bilo vključenih 31 učencev, ki so rešili preizkus s 6 računi iz sklopa celih števil in ulomkov. Najpogosteje so učenci naredili napake pri računanju z negativnimi celimi števili. Veliko učencev je pri računu 1 − (−10) zapisalo rezultat −9.

Pogosto učenci naredijo napake tudi pri množenju negativnih števil, kjer znak minus preprosto izpustijo. Negativna števila učencem povzročajo težave, saj težje iščejo opore v primerih iz vsakdanjega življenja. Druga najpogostejša napaka so bili napačni izračuni zaradi nepoznavanja vrstnega reda računskih operacij. Nekateri učenci so izračunali, da je 1 − 5 ∙ (−2) = (−4) ∙ (−2) = −8. V tem primeru gre za napačen vrstni red operacij, saj je učenec najprej izvedel operacijo odštevanja, nato pa operacijo množenja, namesto obratno. Hkrati je na koncu napačno izvedel tudi operacijo množenja negativnih števil. Tretja pogosta napaka pri učencih je bila napačno pretvarjanje ulomkov v decimalna števila in obratno (Jabal in Rosjanuardi, 2019).

Hattikudur in Alibali (2010) sta v raziskavi, v katero je bilo vključeno 112 otrok, primerjala tri načine poučevanje pomena enačaja. Pri prvem načinu so učencem pomen enačaja predstavili s primerjavo enačaja s simboli za neenakost, pri drugem načinu so izvedli učno uro, osredotočeno le na enačaj, s tretjim načinom pa so zagotovili kontrolno skupino, saj se pri uri o pomenu enačaja z učenci niso pogovorili.

Glavna hipoteza, ki sta jo raziskovalca postavila, je bila, da način poučevanja pomena enačaja, kjer se enačaj primerja s simboli za neenakost, privede do uspešnejšega konceptualnega razumevanja pri učencih, posledično pa tudi do boljšega konceptualnega znanja, saj lahko učenci boljše rešujejo probleme, kot je na primer 3 + 4 + 6 = 3 + ___ .

Raziskava je potekala tako, da so vse tri skupine učencev najprej reševale enak predtest, nato je imela vsaka skupina svoj način učne ure, po učni uri pa so ponovno rešili test z enakimi nalogami kot na predtestu. S pomočjo predtesta so ugotovili, da ima veliko otrok težave z reševanjem izrazov, kot je na primer 3 + 4 + 6 = 3 + ___, saj je kar nekaj otrok izraz preoblikovalo v 3 + 4 + 6 + 3 = ___ . S tem so dobili izraz, kjer enačaj pomeni izvedbo neke operacije, da dobimo rezultat. Pri uri, kjer so enačaj obravnavali skupaj s simboli za neenakost, so učencem najprej pojasnili, da te simbole v matematiki uporabljamo za prikaz odnosov med dvema količinama. Nato so s primeri vadili uporabo vseh simbolov. V drugi skupini so uro izvedli na podoben način, le da so obravnavali le enačaj, ne pa tudi ostalih simbolov. V kontrolni skupini pa so že na začetku ure začeli reševanje primerov, ki so bili oblike: »Na levi strani imamo 11 – 3, na desni pa 9. Na kateri strani je največje izmed treh števil?«.

Iz testov, ki so jih učenci reševali po koncu učne ure, so ugotovili, da sta prvi dve skupini, ki sta obravnavali pomen enačaja, dosegli višje rezultate pri konceptualnih nalogah kot kontrolna skupina. S primerjavo rezultatov prvih dveh skupin pa so ugotovili, da je prva skupina, v kateri so enačaj obravnavali skupaj s simboli za neenakost, dosegla bistveno višje rezultate pri konceptualnih nalogah kot druga skupina. S tem načinom poučevanja je prva skupina učencev bolje usvojila pomen

enačaja, ki je pogoj za uspešno reševanje enačb, hkrati pa je izboljšala znanje tudi o neenačajih, ki je potrebno za reševanje neenačb.