Primeri učnih ur obravnave enačb

V študiji primera, ki sta jo leta 2012 opravila Andrews in Sayers, so posneli, analizirali in primerjali učne ure obravnave enačb učitelja iz Finske, učiteljice iz Madžarske ter učiteljice iz Nizozemske. Vsi trije učitelji so enačbe obravnavali v štirih fazah, ki sta jih raziskovalca poimenovala definicija, vklop, razlaga in utrjevanje. Za vsako posamezno fazo sta zapisala načine obravnave enačb posameznega učitelja in raziskala podobnosti in razlike. Načini izvedbe posamezne faze poučevanja enačb vsakega učitelja, vključenega v raziskavo, so opisani v nadaljevanju (Andrews in Sayers, 2012):

1. Definicija:

V fazi definicije so učitelji učence spoznali s pojmom enačba. Finski učitelj je najprej definiral, da enačbo sestavljata dva izraza, ki sta med seboj enaka. Učenci so morali najprej o definiciji razmisliti, nato pa je učitelj na tablo zapisal 6 ''izjav'', kot jih je poimenoval. Izjave so bile naslednje: 5, − 1, = 3, 5 + 3 = 7, 3 − 1 = 4, = 4.

Učencem je podal navodilo, naj zapišejo, katere izmed zapisanih izjav predstavljajo enačbo. Učenci so enačbe s pomočjo definicije uspešno prepoznali. V nadaljevanju so opazovali izjave, ki so jih prepoznali kot enačbe, ter se pogovorili o tem, da so enačbe lahko vedno pravilne, vedno napačne ali pogojno pravilne.

Na podoben način je pojem enačba vpeljala tudi madžarska učiteljica. Obravnavo je začela s primeri izjav, da bi učencem predstavila pojma osnovna množica ter veljavnost izjav. Zapisala je izjave:

• Konj ima 4 noge.

• Najdaljša reka na Madžarskem je Drava.

• 7 + 3 = 10

• 5 + > 6

• Število 15 je deljivo s 4.

Učenci so ugotovili, da so nekatere izjave resnične, nekatere neresnične, nekatere izjave pa so odprtega tipa, kot na primer izjava 5 + > 6, pri kateri je pravilnost oziroma nepravilnost odvisna od vrednosti . V naslednjem koraku so spoznali pojem osnovna množica, na koncu pa še definicijo enačbe. Zapisali so, da enačbo sestavljata dva enakovredna izraza, povezana z enačajem. Učiteljica se je z učenci pogovorila tudi o tem, da enačbe lahko vsebujejo neznanke ali pa so brez neznank ter da so enačbe lahko vedno resnične, včasih resnične ali pa vedno neresnične.

Nizozemska učiteljica je uvodno uro obravnave enačb oblikovala na podlagi sledečega življenjskega problema: »Otroci Bart, Lisa in Maggie iz družine Simpson so stari 7, 5 in 0 let. Njihova mama Marge je stara 34 let. Čez koliko let bo vsota starosti otrok enaka starosti mame?« Učenci so s pomočjo tabele problem poskušali rešiti sami, nato pa so skupaj preverili in pojasnili rešitev. Sledila je razprava o tem, kako

lahko problem rešimo hitreje, če z neznanko označimo število let, ki jih iščemo. Mama Marge bo takrat stara 34 + let, Bart 7 + let, Lisa 5 + let, Maggie pa 0 + let. Nato so podatek, da bo čez let starost mame enaka vsoti starosti otrok zapisali z enačbo.

2. Vklop:

V fazi vklopa je finski učitelj učencem predstavil metodo pokrivanja za reševanje preprostih enačb, ki jih težko rešimo na pamet. Metodo pokrivanja je pokazal na primeru + 1 = 4.

Madžarska učiteljica je fazo vklopa začela s problemom: »Kala je stara dvakrat toliko kot njena sestra. Vsota njunih starosti je 24. Koliko sta stari Kala in njena sestra?«

Učenci so samostojno rešili problem, nato pa jih je učiteljica razdelila v štiri skupine.

Vsaka skupina je dobila nov problem, podoben prvemu. Problem so morali zapisati z enačbo, nato pa so enačbo rešili skupaj z metodo uporabe nasprotnih operacij.

Nizozemska učiteljica je za učence pripravila učne liste z narisanimi modeli tehtnice, s pomočjo katerih so rešili enačbe + 7 = 9, − 2 = 10, 3 = 8 in = 7. Na koncu učnega lista je zapisala tudi naslednja pravila, ki so učencem v pomoč pri razumevanju reševanja enačb:

Vsi trije učitelji so v fazi razlage učencem predstavili enačbe, ki jih s premislekom ali z ugibanjem težko rešimo, zato moramo za reševanje enačb poznati tudi druge metode.

Finski učitelj je na tablo zapisal enačbo 5 + 3 = 2 − 8 in učencem dal navodilo, naj jo rešijo. Učenci so za reševanje enačb poznali le metodo poskušanja oziroma metodo reševanja s premislekom, zato jim te enačbe ni uspelo rešiti. Učitelj je nadaljeval z opisom, da je enačba kot tehtnica. Ohranjamo jo v ravnovesju, če z obeh strani tehtnice odvzamemo ali dodamo enake količine. Nato so skupaj razmislili, kaj lahko na obeh straneh enačbe 5 + 3 = 2 − 8 odvzamemo. Učenci so predlagali, da na obeh straneh enačbe odvzamemo 2 . Z odvzemanjem in dodajanjem enakih vrednosti so enačbo rešili po naslednjem postopku:

5 + 3 = 2 − 8 | − 2 3 + 3 = −8 | − 3 3 = −11

V zadnjem koraku je učitelj pojasnil, da morajo enačbo deliti s 3, saj je deljenje nasprotna operacija od množenja. Tako so prišli do rešitve enačbe = − .

Madžarska učiteljica je uro ponovno začela z življenjskim problemom, ki je bil nekoliko zahtevnejši kot problem, ki ga je predstavila v fazi vklopa. Problem je bil sledeč: »V šolsko kuhinjo so dva dneva zapored pripeljali enako količino krompirja.

Prvi dan so pripeljali 3 velike vreče in 2 vreči po 10 kilogramov, drugi dan pa 2 veliki vreči in 7 vreč po 10 kilogramov. Koliko tehta velika vreča krompirja?« S pogovorom so skupaj ugotovili, da lahko z neznanko označimo težo velike vreče krompirja in enačbo zapišemo kot 3 + 20 = 2 + 70. Učiteljica je za razlago reševanja enačbe na tablo narisala tehtnico s tremi velikimi vrečami krompirja in dvema majhnima vrečama na levi strani ter dvema velikima vrečama in sedmimi majhnimi vrečami na desni strani.

Po predlogih učencev je z vsake strani tehtnice odvzela dve majhni vreči krompirja, nato pa še dve veliki vreči krompirja. Ugotovili so, da je na levi strani ostala ena velika vreča krompirja, na desni pa 5 majhnih. Ena velika vreča na tehtnici torej uravnovesi 5 majhnih, torej velika vreča tehta 50 kilogramov. Poleg skice tehtnice je učiteljica zapisovala tudi enačbe.

Na skoraj enak način kot finski učitelj je reševanje enačb učencem predstavila nizozemska učiteljica. Na tablo je zapisala enačbo 6( − 5) − 8 = − 3 in učence spraševala, kako bi se lotili reševanja enačbe. Zanimalo jo je, kaj bi naredili v prvem koraku, kako bi prišli do enačbe, ki bi vsebovala neznanko le na levi strani, in podobno.

S pogovorom so prišli do pravila pri reševanju enačb, ki pravi, da moramo na levi in desni strani izvajati enake operacije, da ohranimo ravnovesje.

4. Utrjevanje

Zadnja faza, faza utrjevanja, je pri vseh učiteljih trajala 2 do 3 šolske ure. Finski učitelj je učencem predstavil reševanje enačb s prestavljanjem števil in neznank z ene strani enačaja na drugo stran in poudaril, da se pri prenašanju števil in neznank na drugo stran enačaja spremeni njihov predznak. Nato je učencem za reševanje podal še dve enačbi. S prvo enačbo 4 − ( − 3) = 3 − 3 je želel učencem pokazati, da ima enačba neskončno rešitev, z drugo enačbo 6(2 − 2) = 3(4 + 1) pa, da enačba nima nobene rešitve.

Madžarska učiteljica je tudi naslednje ure oblikovala na podlagi vsakdanjih problemov. Pri zastavljanju problemov je bila pozorna predvsem na to, da so učenci reševali različne enačbe (z oklepaji, negativnimi števili, ulomki …). Probleme so reševali individualno, rešitve pa skupaj pregledali in komentirali.

Nizozemska učiteljica je zadnje ure obravnave enačb oblikovala tako, da so učenci reševali nekoliko težje enačbe, na koncu pete učne ure o enačbah pa so rešili tudi

preverjanje znanja s tremi primeri enačb. Tako je učiteljica preverila usvojeno znanje učencev. Enačbe, ki jih je vključila v preverjanje znanja, so bile naslednje:

5(. + 2) = 6 − 3

(14 − 2x) − (x + 12) = x − 2

−3 4 = −2

3

Andrews in Sayers (2012) sta načine obravnave enačb vseh treh učiteljev komentirala glede na proučeno literaturo o poučevanju enačb:

1. Vsi trije učitelji so učencem dobro pojasnili dele enačbe in poudarili, da sta izraza na levi in desni strani enačaja enakovredna. Predstavitev enačbe s tehtnico sta finski učitelj in madžarska učiteljica uporabila šele, ko učenci enačb niso znali rešiti z drugimi metodami, nizozemska učiteljica pa je prikaz enačb s tehtnico uporabila že na začetku obravnave. Mnenja avtorjev o tem, kdaj pri poučevanju enačb uporabiti metodo tehtnice, so različna.

2. Za uspešno razumevanje in reševanje enačb morajo učenci razumeti enačaj v relacijskem smislu. Finski učitelj in madžarska učiteljica sta enačaj v relacijskem smislu definirala skupaj z definicijo enačbe, pristop nizozemske učiteljice pa je bil manj učinkovit. Njena uvodna naloga o družini Simpson je enačaj sicer prikazala v relacijskem smislu, vendar učencem ni eksplicitno poudarila pomena enačaja v enačbah.

3. Pomembno je, da učencem predstavimo tudi enačbe, ki vsebujejo negativna števila in neznanke, ulomke in oklepaje. To so upoštevali vsi trije učitelji. Avtorja raziskave sta iz opazovanja učnih ur ugotovila, da učencem tovrstne enačbe niso predstavljale večjih težav.

4. Po mnenju avtorjev Noguera de Lima in Tall's (2008, v Andrews in Sayers 2012) preveč učencev reševanje enačbe razume kot premikanje neznank in števil iz ene strani enačbe na drugo. Finski učitelj je učencem kot način reševanja enačb pokazal spreminjanje predznaka členov enačbe, če jih premaknemo z ene strani enačbe na drugo. Poučevanje reševanja enačb na tak način vodi v protislovje med konceptualnim in proceduralnim znanjem o enačbah, zato se moramo temu načinu izogibati.

5. Reševanje in uporabo enačb moramo učencem predstaviti tudi z življenjskimi primeri, saj jim s tem pokažemo uporabno vrednost enačb v vsakdanjem življenju. Nizozemska učiteljica je primer iz vsakdanjega življenja predstavila že v fazi vklopa in s tem primerom začela obravnavo enačb, madžarska učiteljica pa je vsakdanji problem predstavila v fazi definicije in fazi razlage. Pri učnih urah finskega učitelja je manjkal primer problema iz vsakdanjega življenja, ki ga lahko rešimo s pomočjo enačb.