Učenci in učitelj matematike ter dokazi pri pouku

Dokaz v šolskem okolju pri pouku matematike zavzema pomembno mesto, a v očeh učencev ne predstavlja pomembnega dela matematike (Magajna, 2012). Tradicionalno je dokaz v šolski matematiki učencem znan kot formalna in pogosto nesmiselna vaja (Knuth, 2002b). Z učenčevega vidika je proces dokazovanja le vaja v potrjevanju pravilnosti trditev in učenju izrekov, ki pa ji manjka intelektualni namen (Zaslavsky idr., 2012). Eden od razlogov, zakaj učitelji od učencev pogosto ne zahtevajo, da konstruirajo svoj dokaz, je učenčevo omejeno razumevanje dokazov. Eden izmed razlogov je tudi, da je posameznikom težje konstruirati svoj dokaz kot le evalvirati in presoditi o veljavnosti danih argumentov (Stylianides in Stylianides, 2009).

Spodbujanje razvoja deduktivnega sklepanja pri učencih pri učenju matematike je odvisno od sloga poučevanja učitelja matematike, še posebej osnovnošolskega učitelja matematike (Jupri, 2017). Chazan trdi, da veliko učiteljev ne razume, zakaj matematiki dokazom pripisujejo takšno pomembnost (Chazan, 1993). Dokaz ima ključno vlogo pri matematiki in učitelji bi morali pri pouku matematike učencem predstaviti funkcije dokaza ter predstaviti in opozoriti na pomembnost in omejitve dokaza (Hanna, 2000).

Pri obravnavi dokazov pri pouku matematike ne obstajajo enostavne pojasnitve ali razlage tega, kaj je dokaz in kaj je proces dokazovanja, ki bi jih učitelj lahko predstavil svojim učencem (Cabassut idr., 2012). Harel navaja, da se učenci pri pouku matematike počutijo intelektualno brez cilja, ker jim učitelji običajno ne uspejo predstaviti

13

matematičnih dokazov z jasnim intelektualnim namenom. Učenci pogosto ne vidijo razlogov za konstruiranje dokaza ali pa imajo globoko zakoreninjene napačne predstave o tem, kaj pomeni dokazovanje matematičnih trditev (Harel, 1998). Spodbujanje uporabe matematičnih dokazov kot metode za potrditev pravilnosti neke matematične izjave ter hkrati pojasnitev, zakaj je izjava resnična, je za učitelje pravi izziv (Hanna in de Villiers, 2008). Ključna vloga dokaza pri pouku matematike naj bi bilo poudarjanje matematičnega razumevanja (Hanna, 2000).

Učiteljeva naloga oziroma izziv učitelja pri pouku matematike je, kako izkoristiti navdušenje in užitek raziskovanja z motiviranjem učencev, da evalvirajo ali konstruirajo dokaz oziroma utemeljitev neke matematične trditve. Pomembno je, da učitelji seznanijo učence, da je raziskovanje uporabno pri formuliranju in testiranju domnev, ne zamenja pa dokaza (Hanna, 2000). Vloga učiteljev pri pouku je izkoristiti interese in sposobnosti učencev s postavljanjem vprašanj ter podajanjem odgovorov na vprašanja učencev (Waring, 2001). Obstaja veliko pristopov, ki jih učitelji lahko uporabijo z namenom, da svojim učencem pomagajo postati boljši v matematičnem razmišljanju in sklepanju.

Učitelji bi pri tem morali pokazati svojo ustvarjalnost in iskati nove priložnosti za vključevanje dokazovanja pri pouku (Bleiler, 2009).

G. Hanna trdi, da je najpomembnejši izziv učiteljev matematike poudariti pomembnost vloge dokaza pri pouku, kar je možno doseči z ustvarjanjem zavedanja učiteljev, da je primerno predstavljen dokaz lahko učinkovito sredstvo za spodbujanje matematičnega razumevanja učencev (Hanna, 1995). Pri pouku matematike v osnovni šoli učitelji naj ne bi preveč poudarjali formalnih vidikov dokazovanja in učencev naj ne bi učili, da sami konstruirajo svoje dokaze (Waring, 2001).

Avtorji učbenikov in učitelji matematike pri pouku neke obravnavane trditve utemeljijo bolj ali manj strogo. Poznavanje utemeljitev ali samostojno konstruiranje utemeljitev obravnavanih trditev pa se ne pričakuje kot znanje, ki bi ga učenci morali usvojiti. Možen razlog je v tem, da pri pouku matematike ne pridejo do izraza vse didaktične funkcije dokaza. Za učence didaktična funkcija preverjanja ni dovolj dober razlog za konstrukcijo dokaza, saj je pravilnost obravnavane trditve splošno sprejeta in jo je pred tem preverilo veliko matematikov. Učenci prav tako ne čutijo potrebe po dokazovanju trditev, ki so nepomembne ali pa se vsi strinjajo o njihovi pravilnosti (Magajna, 2012).

Harel opredeljuje tri glavne strategije pristopa poučevanja, ki pri učencih lahko vodi do čutenja potrebe po konstrukciji dokaza: priklicati negotovost in kognitivni konflikt, lajšati učenje, ki temelji na vprašanjih (poizvedovanje), in prenašati kulturo oziroma naravo matematike kot znanosti (Harel, 1998). Pri pouku v osnovni in srednji šoli učitelji igrajo aktivno vlogo pri presojanju in poučevanju ter izbiri, kateri argumenti so veljavni in ali štejejo kot dokaz (Zaslavsky idr., 2012). Nerealna pričakovanja učiteljev so, da učenci čutijo potrebo po konstruiranju dokaza ali utemeljitve brez učiteljevih osredotočenih aktivnosti, s katerimi bi pri učencih izzvali potrebo po dokazovanju ali utemeljevanju z ustvarjanjem negotovosti in kognitivnega konflikta. Cilj osredotočenih aktivnosti učiteljev je, da se učence napelje k raziskovanju in se pri tem uporablja že poznano matematično znanje (Zaslavsky idr., 2012). Priporočljivo je, da učenci na vseh področjih matematike konstruirajo dokaze ali vsaj neformalne utemeljitve (Waring, 2001).

Ernest trdi, da obstajajo trije glavni elementi, ki vplivajo na poučevanju učiteljev matematike: sistem prepričanj in znanja, družbeni kontekst, v katerem poteka poučevanje, in razmislek ali refleksija o poučevanju ali učnem procesu (Ernest, 1989). Učitelji matematike morajo pri pouku razumeti učenčev pogled na potrebo po dokazu in pri pouku

14

vključiti naloge in znanje, ki pri učencih spodbuja potrebo po dokazu (Zaslavsky idr., 2012). Sposobnost učitelja pri predaji znanja o dokazih pri pouku je odvisna od kakovosti učiteljevega znanja. V primeru, da je učiteljevo razumevanje dokaza omejeno, je posledično bolj verjetno, da se bodo pri učencih razvile napačne predstave o dokazih. Ena od napačnih odkritih predstav, ki je razširjena med učitelji osnovne in srednje šole, je, da je empirični dokaz kar ′pravi′ dokaz. V primeru, da osnovnošolski učitelji ne razlikujejo med dokazom in empiričnim dokazom, je malo verjetno, da bo veliko število učencev premagalo napačne predstave o dokazih. Martin in Harel navajata, da v primeru, ko osnovnošolski učitelji vodijo svoje učence v prepričanje, da dobro izbran primer zamenjuje dokaz, lahko zlahka pričakujemo, da bo dokazovanje v nadaljnjem izobraževanju učencev za vse učence težko (Stylianides in Stylianides, 2009).

Mingus in Grassl sta v svoji študiji 30 osnovnošolskih učiteljev in 21 študentov matematike povprašala o tem, kaj predstavlja dokaz in kakšna je vloga dokaza v matematiki. Srednješolski učitelji so poudarili moč razlage. Osnovnošolski učitelji so bili pri podajanju opredelitve dokaza osredotočeni predvsem na verifikacijo ali potrditev.

Večina udeležencev v študiji je izpostavila pomembnost dokazov pri razumevanju različnih procesov pri matematiki (Mingus in Grassl, 1999). Harel in Sowder (2007) sta iz pregleda literature sklepala, da učitelji očitno ne razumejo druge pomembne vloge dokaza, najbolj opazno njegove pojasnjevalne vloge.

Ball in Bass sta v študiji, ki je vključevala učence tretjega razreda, ugotovila, da učenci niso imeli razvite matematične dispozicije, da bi se med reševanjem problemov z več rešitvami povprašali o popolnosti svojih rezultatov (Ball in Bass, 2000). Ugotovitve študije kažejo, da so celo nekateri študenti na ravni univerzitetnega izobraževanja mnenja, da je dokaz le formalna vaja učitelja in da ne obstaja globlja potreba po dokazu. Rezultati več raziskav so, da določeni učenci preverjanje nekaj primerov razumejo kot matematični dokaz trditve. Nekateri učenci v raziskavi so se sicer zavedali, da preverjanje nekaj primerov ni matematični dokaz, a so kljub temu verjeli, da je preverjanje naključno izbranih primerov kar matematični dokaz (Cabassut idr., 2012). Raziskava kaže, da velik odstotek učencev tudi po konstrukciji dokaza želi preveriti pravilnost matematične trditve ali izjave še na več primerih (Hadas idr., 2000).

Rezultati študije kažejo, da je učenčev trud usmerjen v preverjanje nekaj primerov v številnih načinih, vključno z uporabo vzorca, ekstremnih primerov in posebnih primerov.

V študiji avtorja Chazana se je izkazalo, da nekateri učenci verjamejo, da lahko utemeljijo oziroma dokažejo neko izjavo o trikotnikih s poskusom preverjanja izjave na primeru različnih vrst trikotnikov, kot so: ostri, topi, pravokoten, enakostranični ali enakokraki trikotnik. Učenec tretjega razreda, vključen v študiji avtorice Ball, je za sprejetje izjave, da je vsota dveh lihih števil sodo število, poskusil s preverjanjem izjave z 18 različnimi števili in med njimi tudi z nekaj posebnimi primeri. Intervjuji v študiji avtoric Healy in Hoyles so razkrili, da nekaj učencev z izdelanim empiričnim argumentom ni bilo zadovoljnih, a so menili, da ne morejo konstruirati boljšega argumenta. V študiji je del učencev podalo mnenje, da nekateri primeri vsebujejo neskončno števil in zato ni možno, da bi posameznik preveril ali naredil poskus z vsemi števili. Namesto razmišljanja o možnosti splošnega dokaza so bili ti učenci prepričani, da dokaz zato ni možen (Cabassut idr., 2012).

A. Bell je ugotovila, da so učenci kljub nezmožnosti podajanja ali konstruiranja celotnega dokaza pokazali različne stopnje deduktivnega sklepanja (Bell, 1976). Nekateri učenci so za neko izjavo prevzeli enak rezultat za celotno podmnožico elementov iz že splošno dokazane izjave v množici, ki vsebuje to podmnožico. Učenčeve konstrukcije dokaza so