2. EMPIRIČNI DEL
2.5. Rezultati raziskave z razlago
2.5.1. Analiza matematičnih učbenikov
2.5.1.1. Učbenik za 7. razred
Analizirali smo razlage matematičnih vsebin v učbeniku »Skrivnosti števil in oblik 7«, kjer lahko najdemo različne neformalne in formalne utemeljitve. Utemeljitve smo po temah proučili po dveh izbranih klasifikacijah.
Tema: Aritmetika in algebra
Na sliki 23 je predstavljena utemeljitev matematičnega pravila o tem, kdaj je neko število deljivo s številom 4. Ta utemeljitev je po klasifikaciji po Tallu primer manipulativnega dokaza, saj pravilnost pravila utemelji z algebraično manipulacijo (zapis desetiške enote kot produkt dveh števil itd.). Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer generičnega dokaza, saj z nazorno razlago utemelji splošno pravilnost pravila z računskimi operacijami na konkretnem primeru, ki je nek značilen predstavnik svojega razreda.
Slika 23: Utemeljitev pravila za deljivost števil s številom 4 (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 10)
Na sliki 24 je predstavljena utemeljitev matematičnega pravila o tem, kdaj je neko število deljivo s številom 8. Ta utemeljitev je po klasifikaciji po Tallu primer manipulativnega dokaza, saj pravilnost pravila utemelji z algebraično manipulacijo (zapis desetiške enote kot produkt dveh števil itd.). Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer generičnega dokaza, saj z nazorno razlago utemelji splošno pravilnost pravila z računskimi operacijami na konkretnem primeru, ki je nek značilen predstavnik svojega razreda.
35
Slika 24: Utemeljitev pravila za deljivost števil s številom 8 (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 10)
Na sliki 25 je predstavljena utemeljitev pravila za deljenje ulomka z naravnim številom na dva različna načina. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev vizualni dokaz, saj s slikovno ali vizualno predstavitvijo prikazuje pravilnost obrazca. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer generičnega dokaza, saj vključuje izpeljavo obeh načinov na konkretnem primeru, ki potem poudari veljavnost pravila na splošno.
Slika 25: Utemeljitev pravila za deljenje ulomka z naravnim številom (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 64)
36
Na sliki 26 je predstavljena utemeljitev pravila za deljenje ulomka z ulomkom. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer vizualnega dokaza, saj s slikovno ali vizualno predstavitvijo prikazuje pravilnost obrazca. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer generičnega dokaza, saj pravilnost obrazca utemelji na konkretnem primeru in potem poudari veljavnost pravila na splošno.
Slika 26: Utemeljitev pravila za deljenje ulomka z ulomkom (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 66 in 67).
37 Tema: Geometrija in merjenje
Na sliki 27 je predstavljena utemeljitev matematične trditve, da je vsota notranjih kotov v vsakem trikotniku enaka 180°. Ta utemeljitev je po klasifikaciji po Tallu primer enaktivnega dokaza, saj od učenca zahteva, da odreže kote in jih zlepi skupaj, tako da imata po dva in dva skupen rob (eno stranico) ter vrh v skupni točki. S fizičnim dejanjem torej utemelji pravilnost matematične izjave. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer utemeljitve z vpogledom, saj vključuje prepričljivo predstavitev, s katero je možno razbrati resničnost obravnavane trditve.
Slika 27: Utemeljitev trditve, da je vsota notranjih kotov v vsakem trikotniku enaka 180° (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 120).
Na sliki 28 so predstavljene utemeljitve trditev o vsoti notranjih kotov v trikotniku, vsoti notranjega in pripadajočega zunanjega kota ter vsoti zunanjih kotov v trikotniku. Te utemeljitve so po klasifikaciji po Tallu primer vizualnega dokaza, saj utemeljitve skupaj s pripadajočo verbalno podporo vključujejo vizualno ali slikovno predstavitev. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa so utemeljitve primer utemeljitve s sliko, saj slika vsebuje argumentacijo, s katero utemeljimo resničnost trditev in nam pomaga razumeti, zakaj so matematične trditve resnične.
Slika 28: Utemeljitve o velikosti notranjih kotov v trikotniku, vsoti notranjega in pripadajočega zunanjega kota ter vsoti zunanjih kotov (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 120)
38
Na sliki 29 je predstavljena utemeljitev matematične izjave o težišču trikotnika. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer enaktivnega dokaza, saj s pomočjo vrvice in uteži utemelji, da je težišče trikotnika točka, v kateri je trikotnik v ravnovesju, če je tam podprt. S fizičnim dejanjem torej utemelji matematično izjavo. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer utemeljitve s primeri (natančneje z enim primerom), saj utemeljuje pravilnost izjave na enem primeru trikotnika.
Slika 29: Utemeljitev izjave o težišču trikotnika (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 134)
Na sliki 30 je predstavljena utemeljitev trditve o vsoti notranjih kotov v štirikotniku. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer manipulativnega dokaza, saj prikazuje pravilnost izjave z uporabo ustrezne algebraične reprezentacije in algebraične manipulacije (seštevanje). Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer formalnega dokaza, saj vključuje abstraktno razmišljanje in vsebuje zapis z matematičnimi simboli.
Slika 30: Utemeljitev trditve o vsoti notranjih kotov v štirikotniku (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str.
138)
39
Na sliki 31 je predstavljena utemeljitev trditve o vsoti zunanjih kotov v štirikotniku. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer vizualnega dokaza, saj prikazuje pravilnost trditve z vizualno predstavitvijo in spremljajočo verbalno podporo. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer formalnega dokaza, saj vključuje matematične simbole in utemelji matematično izjavo na splošno, torej za poljubne kote.
Slika 31: Utemeljitev trditve o vsoti zunanjih kotov v štirikotniku (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str.
138)
Na sliki 32 je predstavljena utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine trikotnika.
Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer vizualnega dokaza, saj prikazuje pravilnost obrazca za izračun trikotnika s pomočjo vizualne predstavitve, ki prikazuje povezavo med obrazcem za izračun ploščine paralelograma, ter obrazcem za izračun ploščine trikotnika.
Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer formalnega dokaza z matematičnimi simboli in vizualno predstavitvijo, ki prikazuje splošno pravilnost obrazca.
Slika 32: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine trikotnika (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 163)
Na sliki 33 je predstavljena utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine trikotnika.
Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer vizualnega dokaza, saj prikazuje pravilnost obrazca za izračun trikotnika z vizualno predstavitvijo, ki ponazarja zrcaljenje trikotnika čez središče stranice. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer utemeljitve z vpogledom, saj vključuje prepričljivo predstavitev zrcaljenja prek točke in s tem utemelji pravilnost obrazca.
Slika 33: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine trikotnika (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 163)
40
Na sliki 34 je predstavljena utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine paralelograma. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer enaktivnega dokaza, saj prikazuje pravilnost obrazca s pomočjo rezanja in lepljenja oziroma ploščinskega preoblikovanja v drugi lik (pravokotnik), katerega obrazec za izračun ploščine učenci že poznajo. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer generičnega dokaza, saj prikazuje pravilnost obrazca na primeru, ki je nek značilni predstavnik svojega razreda, in hkrati prikaže posplošitev pravilnosti obrazca za vse paralelograme.
Slika 34: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine paralelograma (Skrivnost števil in oblik 7, 2019,
str. 161).
Na sliki 35 je predstavljena utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun trapeza. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer enaktivnega dokaza, saj prikazuje pravilnost obrazca s ploščinskim preoblikovanjem trapeza v drugi lik (pravokotnik), katerega obrazec za izračun ploščine učenci že poznajo. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer utemeljitve s sliko, saj vključuje slikovno predstavitev (prikazuje skladnost trikotnikov), ki pomaga razumeti, zakaj je obrazec za izračun ploščine trapeza pravilen in ustrezen.
Slika 35: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine trapeza (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 167)
41
Na sliki 36 je predstavljena utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine deltoida.
Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer enaktivnega dokaza, saj prikazuje pravilnost obrazca s pomočjo rezanja in lepljenja oziroma s ploščinskim preoblikovanjem deltoida v drugi lik (pravokotnik), katerega obrazec za izračun ploščine učenci že poznajo. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer generičnega dokaza, saj s pomočjo vizualne predstavitve na konkretnem primeru predstavlja splošno skladnost nastopajočih trikotnikov in s tem prikazuje splošno pravilnost obrazca za izračun ploščine deltoida.
Slika 36: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine deltoida (Skrivnost števil in oblik 7, 2019, str. 166)
42 2.5.1.2. Učbenik za 8. razred
Analizirali smo razlage matematičnih vsebin v učbeniku »Skrivnosti števil in oblik 8«, kjer lahko najdemo različne neformalne in formalne utemeljitve. Utemeljitve smo po temah proučili po dveh izbranih klasifikacijah.
Tema: Aritmetika in algebra
Na sliki 37 je predstavljena utemeljitev pravilnosti pravila o množenju potenc z enako osnovo. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer manipulativnega dokaza, saj pravilnost pravila utemelji s pomočjo algebraične reprezentacije in manipulacije. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer utemeljitve s primeri (natančneje s primerom), saj prikazuje pravilnost pravila na enem primeru množenja dveh potenc z enako osnovo.
Slika 37: Utemeljitev pravilnosti pravila o množenju potenc z enako osnovo (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 63)
Na sliki 38 je predstavljena utemeljitev pravilnosti pravila o deljenju potenc z enako osnovo. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer manipulativnega dokaza, saj pravilnost pravila utemelji s pomočjo algebraične reprezentacije in manipulacije. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer utemeljitve s primeri (natančneje s primerom), saj prikazuje pravilnost pravila na enem primeru deljenja dveh potenc z enako osnovo.
Slika 38: Utemeljitev pravilnosti pravila o deljenju potenc z enako osnovo (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 63)
43
Na sliki 39 je predstavljena utemeljitev pravilnosti pravila za potenciranje produkta. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer manipulativnega dokaza, saj utemelji s pomočjo algebraične reprezentacije in manipulacije. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer utemeljitve s primeri (natančneje s primerom), saj prikazuje pravilnost pravila na enem primeru potenciranja produkta.
Slika 39: Utemeljitev pravilnosti pravila o potenciranju produkta (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str.
66)
Na sliki 40 je predstavljena utemeljitev pravilnosti pravila za potenciranje količnika. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer manipulativnega dokaza, saj utemelji s pomočjo algebraične reprezentacije in manipulacije. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer utemeljitve s primeri (natančneje s primerom), saj prikazuje pravilnost pravila na enem konkretnem primeru potenciranja količnika.
Slika 40: Utemeljitev pravilnosti pravila o potenciranju količnika (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str.
66)
44
Na sliki 41 je predstavljena utemeljitev pravilnosti pravila potenciranja potenc. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer manipulativnega dokaza, saj pravilnost pravila utemelji s pomočjo algebraične reprezentacije in manipulacije. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer utemeljitve s primeri (natančneje s primerom), saj prikazuje pravilnost pravila na enem konkretnem primeru potenciranja potenc.
Slika 41: Utemeljitev pravilnosti pravila o potenciranju potenc (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 67)
Na sliki 42 je predstavljena utemeljitev pravilnosti pravila za kvadratni koren produkta.
Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer manipulativnega dokaza, saj utemelji s pomočjo algebraične reprezentacije in manipulacije. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer utemeljitve s primeri (natančneje s primerom), saj prikazuje pravilnost pravila na enem konkretnem primeru kvadratnega korena produkta.
Slika 42: Utemeljitev pravilnosti pravila o kvadratnem korenu produkta (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 72)
Na sliki 43 je predstavljena utemeljitev pravilnosti pravila za kvadratni koren količnika.
Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer manipulativnega dokaza, saj utemelji pravilnost s pomočjo algebraične reprezentacije in manipulacije. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer utemeljitve s primeri (natančneje s primerom), saj prikazuje pravilnost pravila na enem konkretnem primeru kvadratnega korena količnika.
Slika 43: Utemeljitev pravilnosti pravila o kvadratnem korenu količnika (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 63)
45
Na sliki 44 je predstavljena utemeljitev pravilnosti pravila o množenju enočlenikov. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer vizualnega dokaza, saj prikazuje vizualno predstavitev, iz katere je razvidna pravilnost pravila o množenju enočlenikov. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer generičnega dokaza, saj je splošna veljavnost pravila prikazana in izpeljana na konkretnem primeru množenja dveh enočlenikov.
Slika 44: Utemeljitev pravilnosti pravila o množenju enočlenikov (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str.
87)
Na sliki 45 je predstavljena utemeljitev pravilnosti pravila o množenju veččlenika z enočlenikom. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer vizualnega dokaza, saj prikazuje vizualno predstavitev pravilnosti pravila množenja veččlenika z enočlenikom.
Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer utemeljitve s sliko, saj s slikovno predstavitvijo prikazuje pravilnost obrazca za izračun ploščine, ki ni predstavljena na konkretnem primeru, ampak predstavlja veljavnost na splošno.
Slika 45: Utemeljitev pravila o množenju veččlenika z enočlenikom (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str.
93)
46
Na sliki 46 je predstavljena utemeljitev pravilnosti pravila o množenju veččlenika z veččlenikom. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer vizualnega dokaza, saj prikazuje vizualno ali slikovno predstavitev pravilnosti pravila za množenje veččlenika z veččlenikom. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer generičnega dokaza, saj z nazorno vizualno predstavitvijo utemelji splošno pravilnost pravila za množenje veččlenika z veččlenikom na konkretnem primeru, ki je nek značilen predstavnik svojega razreda.
Slika 46: Utemeljitev pravilnosti pravila o množenju veččlenika z veččlenikom (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 97)
47
Na sliki 47 je predstavljena utemeljitev pravilnosti pravila o izpostavljanju skupnega faktorja. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer vizualnega dokaza, saj prikazuje vizualno ali slikovno predstavitev, iz katere je razvidna pravilnosti pravila za izpostavljanje skupnega faktorja. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer utemeljitve s sliko, saj prikazuje pravilnost pravila s slikovno predstavitvijo, ki pojasni pravilnost obrazca za izračun ploščine, ki ni predstavljena na konkretnem primeru.
Slika 47: Utemeljitev pravilnosti pravila o izpostavljanju skupnega faktorja (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 95)
Tema: Geometrija in merjenje
Na sliki 48 je predstavljena utemeljitev matematičnega izreka o številu diagonal večkotnika. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer manipulativnega dokaza, saj vključuje izpeljavo ustreznega obrazca s pomočjo algebraične manipulacije in reprezentacije. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer formalnega dokaza, saj vključuje matematične simbole in izpeljavo, ki potrdi splošno pravilnost obrazca o številu diagonal za vsak n-kotnik.
Slika 48: Utemeljitev izreka o številu diagonal večkotnika (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 145)
48
Na sliki 49 je predstavljena utemeljitev izreka o vsoti notranjih kotov večkotnika. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer enaktivnega dokaza, saj od učenca zahteva, da z risanjem diagonal opazuje, na koliko trikotnikov razpade n-kotnik. S fizičnim dejanjem (risanjem večkotnikov in diagonal) utemelji pravilnost izpeljave ustreznega obrazca. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer generičnega dokaza, saj vključuje izpeljavo obrazca na primeru 4-kotnika ter 5-kotnika in nato poda posplošitev ter zapis obrazca za vsak n-kotnik.
Slika 49: Utemeljitev izreka o vsoti notranjih kotov večkotnika (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 148)
Na sliki 50 je predstavljena utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine večkotnika. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev vizualni dokaz, saj prikazuje vizualno predstavitev, s pomočjo katere utemelji pravilnost obrazca. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer generičnega dokaza, saj vključuje izpeljavo na primeru 6-kotnika in nato poda posplošitev ter zapis obrazca za izračun ploščine poljubnega n-kotnika.
Slika 50: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine večkotnika (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 155)
49
Na sliki 51 je predstavljena utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun obsega kroga. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev manipulativni dokaz, saj se obrazec za izračun obsega kroga izpelje s pomočjo algebraične manipulacije na dveh primerih krogov. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer utemeljitve s primeri, saj se obrazec za izračun obsega kroga izpelje na dveh konkretnih primerih.
Slika 51: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun obsega kroga (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str.
162)
50
Na sliki 52 je predstavljena utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun dolžine krožnega loka. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer manipulativnega dokaza, saj se pravilnost obrazca izpelje s pomočjo algebraične manipulacije. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer generičnega dokaza, saj vključuje izpeljavo obrazca za izračun dolžine krožnega loka na več primerih in na koncu poda izpeljani obrazec, ki velja na splošno, torej za poljubni krožni lok.
Slika 52: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun dolžine krožnega loka (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 165)
51
Na sliki 53 je predstavljena utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine kroga. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer enaktivnega dokaza, saj vključuje risanje kroga, razdelitev kroga na med seboj skladne krožne izseke, ki se jih potem zloži drug ob drugega v ravno vrsto. S fizičnim dejanjem (risanjem, rezanjem in zlaganjem) utemelji pravilnost obrazca. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer utemeljitve s sliko, saj vključuje slikovno predstavitev, s pomočjo katere je možno razumeti pravilnost matematičnega obrazca.
Slika 53: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine kroga (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str.
168)
52
Na sliki 54 je predstavljena utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine krožnega izseka. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer manipulativnega dokaza, saj je obrazec za izračun ploščine krožnega izseka na več primerih krožnih izsekov izpeljan s pomočjo algebraične manipulacije in reprezentacije. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer generičnega dokaza, saj vključuje izpeljavo na več konkretnih primerih in nato poda zapis splošnega obrazca za izračun ploščine poljubnega krožnega izseka.
Slika 54: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun ploščine krožnega izseka (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 172)
53
Na sliki 55 je predstavljena utemeljitev pravilnosti matematičnega izreka (Pitagorovega izreka), ki velja v pravokotnem trikotniku. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer vizualnega dokaza, saj s slikovno predstavitvijo prikazuje splošno pravilnost Pitagorovega izreka. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer utemeljitve s primeri (natančneje z enim primerom), saj se obrazec za izračun ploščine krožnega izseka izpelje na enem konkretnem primeru, pri katerem se predpostavi, da je trikotnik zares pravokoten.
Slika 55: Utemeljitev pravilnosti Pitagorovega izreka (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 180)
54
Na sliki 56 je predstavljena utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun površine in prostornine kocke in kvadra. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer vizualnega dokaza, saj s slikovno predstavitvijo prikazuje pravilnost obrazca. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer generičnega dokaza, saj vključuje izpeljavo splošnega obrazca s pomočjo izpeljave na konkretnem primeru telesa.
Slika 56: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun površine in prostornine kocke in kvadra (Skrivnost števil in oblik 8, 2019, str. 201)
55 2.5.1.3. Učbenik za 9. razred
Analizirali smo razlage matematičnih vsebin v učbeniku »Skrivnosti števil in oblik 9«, kjer lahko najdemo različne neformalne in formalne utemeljitve. Utemeljitve smo po temah proučili po dveh izbranih klasifikacijah.
Tema: Geometrija in merjenje
Na sliki 57 je predstavljena utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun prostornine prizme.
Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev primer vizualnega dokaza, saj s slikovno predstavitvijo prikazuje pravilnost obrazca za izračun prostornine prizme. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa je utemeljitev primer formalnega dokaza, saj vključuje matematične simbole in izpeljavo, ki potrdi splošno pravilnost obrazca za poljubno prizmo.
Slika 57: Utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun prostornine prizme (Skrivnost števil in oblik 9, 2013, str. 141)
56
Na sliki 58 so predstavljene utemeljitve pravilnosti obrazcev za izračun površine in volumna tristrane prizme, štiristrane prizme in šeststrane prizme. Po klasifikaciji po Tallu so utemeljitve primer vizualnega dokaza, saj s slikovno predstavitvijo prikazujejo pravilnost obrazcev za izračun površine in volumna prizem. Po klasifikaciji glede strogosti utemeljitve pa so utemeljitve primer utemeljitev s sliko, saj vključujejo slikovno predstavitev, s pomočjo katere je možno razumeti in utemeljiti pravilnost obrazcev.
Slika 58: Utemeljitve pravilnosti obrazcev za izračun površine in prostornine različnih prizem (Skrivnost števil in oblik 9, 2013, str. 142)
57
Na sliki 59 je predstavljena utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun površine in prostornine valja. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev vizualni dokaz, saj s slikovno
Na sliki 59 je predstavljena utemeljitev pravilnosti obrazca za izračun površine in prostornine valja. Po klasifikaciji po Tallu je utemeljitev vizualni dokaz, saj s slikovno