5. PRILOGE
5.1. Soglasje staršev
Spoštovani starši,
sem študentka 1. letnika podiplomskega študija na Pedagoški fakulteti, smer Predmetno poučevanje. Z namenom uspešnega zaključka študija pišem magistrsko delo z naslovom Razumevanje matematičnih dokazov in didaktične veljavnosti dokazov v osnovni šoli.
Namen raziskave je preveriti stanje med učenci slovenskih osnovni šol glede sprejemanja in prepoznavanja veljavnosti utemeljitve matematičnega dejstva ter proučiti stališča učencev o matematičnem dokazu.
Učenci bodo anonimno izpolnili preizkus znanja in kratek anketni vprašalnik. Rezultati preizkusa in odgovori na anketni vprašalnik bodo uporabljeni le za namen raziskave.
Prosim vas, da s svojim podpisom dovolite sodelovanje vašega otroka v raziskavi, predstavljeni v mojem magistrskem delu.
Najlepša hvala in lep pozdrav, Manca Cerar
Šola: _______________________________________________________
Priimek in ime učenca: _________________________________________
Razred otroka: ________________________________________________
Podpisani ___________________________ DOVOLJUJEM / NE DOVOLJUJEM (obkrožite) sodelovanje/-a svojega otroka v raziskavi »Razumevanje matematičnih dokazov in veljavnosti dokazov v osnovni šoli«, ki jo izvaja študentka Manca Cerar pod mentorstvom doc. dr. Zlatana Magajne.
Kraj in datum: ____________________________________
Podpis: _________________________________________
5.2. Preizkus znanja
MATEMATIČNI DOKAZI V OSNOVNI ŠOLI
Pozdravljen/-a,
sem Manca Cerar in v svojem magistrskem delu raziskujem, kako učenci razumete veljavnost matematičnih dokazov. Lepo prosim, če natančno prebereš navodila in odgovoriš na vprašanja. Že vnaprej se ti najlepše zahvaljujem za sodelovanje.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1. NALOGA: Leja, Simon, Tanja in Žan so skušali dokazati, da je spodnja matematična
izjava pravilna.
Vsota notranjih kotov v vsakem trikotniku je 180°.
Preberi posamezen odgovor vsakega izmed učencev in odgovori na vprašanja pod vsakim odgovorom učenca.
Lejin odgovor
Narisala sem nek trikotnik ter ga izrezala. Nato sem odtrgala notranje kote in jih postavila skupaj.
Opazila sem, da skupaj tvorijo iztegnjeni kot, ki meri 180°.
Zato je izjava pravilna.
Trditve o Lejinem odgovoru:
a. Lejin odgovor pojasni, zakaj je izjava resnična. DA NE b. Lejin odgovor utemelji, da je izjava zagotovo resnična za vse trikotnike. DA NE c. Lejin odgovor utemelji, da je izjava resnična le v nekaj primerih. DA NE
d. Menim, da Lejin dokaz povsem razumem. DA NE
Simonov odgovor
Narisal sem nek trikotnik in izmeril vse tri njegove notranje kote ter jih seštel. Potem sem narisal še več trikotnikov in v vsakem izmeril vse tri notranje kote in jih seštel. V vseh primerih sem dobil kot vsoto notranjih kotov 180°.
Zato je izjava pravilna.
Trditve o Simonovem odgovoru:
a. Simonov odgovor pojasni, zakaj je izjava resnična. DA NE b. Simonov odgovor utemelji, da je izjava zagotovo resnična za vse trikotnike. DA NE c. Simonov odgovor utemelji, da je izjava resnična le v nekaj primerih. DA NE
d. Menim, da Simonov dokaz povsem razumem. DA NE
Šifra:
Tanjin odgovor
K daljici AB sem skozi točko C narisala vzporednico.
Velja ∠𝐴 = ∠1, saj sta kota z vzporednimi kraki (∠𝐴 in
∠1 sta izmenična kota), za katera velja, da sta skladna.
Velja tudi ∠𝐵 = ∠2, saj sta kota z vzporednimi kraki (∠2 je sokot izmeničnega kota ∠𝐵), za
katera velja, da sta skladna.
Velja ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = ∠2 + ∠1 + ∠𝐶 = 180°.
Trditve o Tanjinem odgovoru:
a. Tanjin odgovor pojasni, zakaj je izjava resnična. DA NE b. Tanjin odgovor utemelji, da je izjava zagotovo resnična za vse trikotnike. DA NE c. Tanjin odgovor utemelji, da je izjava resnična le v nekaj primerih. DA NE
d. Menim, da Tanjin dokaz povsem razumem. DA NE
Žanov odgovor
Učiteljica nam je pri pouku povedala, da izjava velja. Izjavo je zapisala na tablo in prav tako piše v učbeniku. Zato je izjava pravilna.
Trditve o Žanovem odgovoru:
a. Žanov odgovor pojasni, zakaj je izjava resnična. DA NE b. Žanov odgovor utemelji, da je izjava zagotovo resnična za vse trikotnike. DA NE c. Žanov odgovor utemelji, da je izjava resnična le v nekaj primerih. DA NE
d. Menim, da Žanov dokaz povsem razumem. DA NE
2. NALOGA: Anja, Blaž in Matevž so skušali dokazati, da je spodnja matematična izjava pravilna.
Vsota katerihkoli dveh lihih števil je sodo število.
Preberi posamezen odgovor vsakega izmed učencev in odgovori na vprašanja pod vsakim odgovorom učenca.
Anjin odgovor
Vzemimo na primer lihi števili 9 in 13. Njuna vsota je
9 + 13 = (2 ∙ 4 + 1) + (2 ∙ 6 + 1) = 2 ∙ 4 + 2 ∙ 6 + 2 = 2 ∙ (4 + 6 + 1) Pri tem sem uporabila distributivni zakon.
Podobno velja za vse druge primere.
Zato je izjava pravilna.
Trditve o Anjin odgovoru:
a. Anjin odgovor pojasni, zakaj je izjava resnična. DA NE b. Anjin odgovor utemelji, da je izjava zagotovo vedno resnična. DA NE c. Anjin odgovor utemelji, da je izjava resnična le v nekaj primerih. DA NE
d. Menim, da Anjin dokaz povsem razumem. DA NE
Blažev odgovor
Liha števila imajo na mestu enic števko 1, 3, 5, 7 ali 9. Če seštejemo katerikoli dve lihi števili, bo tudi vsota na mestu enic vedno imela števko 0, 2, 4, 6 ali 8, kar pa velja za soda števila.
Zato je izjava pravilna.
Trditve o Blaževem odgovoru:
a. Blažev odgovor pojasni, zakaj je izjava resnična. DA NE b. Blažev odgovor utemelji, da je izjava zagotovo vedno resnična. DA NE c. Blažev odgovor utemelji, da je izjava resnična le v nekaj primerih. DA NE
d. Menim, da Blažev dokaz povsem razumem. DA NE
Matevžev odgovor
Naj bo a poljubno celo število in 𝑏 poljubno celo število.
Potem sta 2𝑎 + 1 in 2𝑏 + 1 poljubni dve lihi števili in velja (2𝑎 + 1) + (2𝑏 + 1) = 2𝑎 + 2𝑏 + 2 = 2 ∙ (𝑎 + 𝑏 + 1).
Zato je izjava pravilna.
Trditve o Matevževem odgovoru:
a. Matevžev odgovor pojasni, zakaj je izjava resnična. DA NE b. Matevžev odgovor utemelji, da je izjava zagotovo vedno resnična. DA NE c. Matevžev odgovor utemelji, da je izjava resnična le v nekaj primerih. DA NE
d. Menim, da Matevžev dokaz povsem razumem. DA NE
3. NALOGA: Alja, Maša in Dejan so skušali dokazati, ali je spodnja izjava pravilna.
Vsota katerihkoli treh zaporednih naravnih števil je deljiva s 3.
Preberi posamezen odgovor vsakega izmed učencev in odgovori na vprašanja pod vsakim odgovorom učenca.
Aljin odgovor
Iz tega je razvidno, da je izjava pravilna.
Trditve o Aljinem odgovoru:
a. Aljin odgovor pojasni, zakaj je izjava resnična. DA NE b. Aljin odgovor utemelji, da je izjava zagotovo vedno resnična. DA NE c. Aljin odgovor utemelji, da je izjava resnična le v nekaj primerih. DA NE
d. Menim, da Aljin dokaz povsem razumem. DA NE
Mašin odgovor
1 + 2 + 3 = 6 in 6 ∶ 3 = 2 4 + 5 + 6 = 15 in 15: 3 = 5 7 + 8 + 9 = 24 in 24 ∶ 3 = 8 Iz tega je razvidno, da je izjava pravilna.
Trditve o Mašinem odgovoru:
a. Mašin odgovor pojasni, zakaj je izjava resnična. DA NE b. Mašin odgovor utemelji, da je izjava zagotovo vedno resnična. DA NE c. Mašin odgovor utemelji, da je izjava resnična le v nekaj primerih. DA NE
d. Menim, da Mašin dokaz povsem razumem. DA NE
Dejanov odgovor
Naj bo 𝑚 srednje število v zaporedju. Vsota treh zaporednih naravnih števil je (𝑚 – 1) + 𝑚 + (𝑚 + 1) = 3𝑚, kar je večkratnik števila 3.
Iz tega je razvidno, da je izjava pravilna.
Trditve o Dejanovem odgovoru:
a. Dejanov odgovor pojasni, zakaj je izjava resnična. DA NE b. Dejanov odgovor utemelji, da je izjava zagotovo vedno resnična. DA NE c. Dejanov odgovor utemelji, da je izjava resnična le v nekaj primerih. DA NE d. Menim, da Dejanov dokaz povsem razumem. DA NE
5.3. Anketni vprašalnik
ANKETNI VPRAŠALNIK Pozdravljen/-a,
v okviru svojega magistrskega dela raziskujem vaše predstave o matematičnem dokazu pri pouku matematike. Lepo prosim, če natančno prebereš spodnje trditve in jih oceniš.
Že vnaprej hvala za sodelovanje.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
1.
Za namen raziskave obkroži zaključno oceno, ki si jo imel v lanskem šolskem letu pri predmetu matematika.1 2 3 4 5
2.
Na lestvici od 1 do 4 s križcem označi, v kolikšni meri se strinjaš s posamezno trditvijo o dokazih pri pouku matematike.1 Težko mi je podati utemeljitev neke matematične izjave.
2 Običajno težko razumem dokaz, ki ga učitelj predstavi pri pouku.
3
Želim si, da bi šolski učbenik vključeval več dokazov
1
Če učitelj pri pouku neko trditev zapiše na tablo, je trditev s tem že dokazana. dokaz in kako je ta videti.
15 Običajno znam presoditi, ali je nek dokaz pravilen ali ne.
16 Poznam namen dokazovanja v matematiki.
17
Če je matematična izjava zapisana v učbeniku, je ni treba dokazati.
18 Za dobro znanje matematike dokazi niso pomembni.